【2019最新】精选高三数学(理)二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第 1 讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1. 三角函数的图象， 涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2018 ·全国卷 ) 已知角 的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a) ，B(2，b) ，且 cos 2，则 |ab| ()A.B.C.D.1解析 由题意知

2、cos >0. 因为 cos 22cos21，所以 cos ， sin ±，得 |tan | . 由题意知 |tan | ，所以 |a b| .欢迎下载。答案B2.(2017 ·全国卷 ) 设函数 f(x) cos，则下列结论错误的是 ()A.f(x)的一个周期为 2B.y f(x) 的图象关于直线x对称C.f(x ) 的一个零点为 xD.f(x)在单调递减解析A项，因为 f(x) 的周期为 2k(k Z且 k0) ，所以 f(x) 的一个周期为 2，A 项正确 .B项，因为 f(x) 图象的对称轴为直线xk(k Z) ，当 k3 时，直线 x是其对称轴， B 项正确

3、 .C 项， f(x ) cos ，将 x代入得到 f cos0，所以 x是 f(x) 的一个零点， C项正确 .D项，因为 f(x) cos 的递减区间为(k Z) ，递增区间为(k Z) ，所以是减区间，是增区间，D项错误 .答案D3. (2018 ·全国卷 ) 已知函数 f(x) 2cos2xsin2x 2，则 ( ) A.f(x) 的最小正周期为 ，最大值为 3 B.f(x) 的最小正周期为 ，最大值为 4C.f(x)的最小正周期为2，最大值为 3D.f(x)的最小正周期为2，最大值为 4解析 易知 f(x) 2cos2x sin2x 23cos2x 131 cos 2x ，

4、则 f(x) 的最小正周期为 ，当 2x2k，即 xk(k Z) 时，【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第讲三角函数的图象与性质f(x) 取得最大值，最大值为4.答案B4.(2018·全国卷) 若f(x)cos xsin x在 a，a 是减函数，则 a 的最大值是()A.B.C.D.解析 f(x) cos x sin x cos，且函数 ycos x 在区间 0 ，上单调递减，则由 0x ，得 x. 因为 f(x) 在 a，a 上是减函数，所以解得 a，所以 0<a，所以 a 的最大值是 . 答案 A考点整合1. 常用三种函数的图象与性

5、质 ( 下表中 kZ)函数y sin xycos xytan x图象递增2k，2k，2k2k2k2k2 2区间递减32k，2k 2k2，2k2区间奇偶性奇函数偶函数奇函数对称k中心(k，0)k 2， 02， 0对称轴xkxk2周期性222. 三角函数的常用结论3/173/17(1)y Asin( x) ，当 k(k Z) 时为奇函数；当 k(k Z) 时为偶函数；对称轴方程可由xk(k Z) 求得 .(2)y Acos( x) ，当 k(k Z) 时为奇函数；当 k(k Z) 时为偶函数；对称轴方程可由xk(k Z)求得 .(3)y Atan( x) ，当 k(k Z) 时为奇函数 .3. 三

6、角函数的两种常见变换热点一 三角函数的定义【例 1】 (1)(2017 ·卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称 . 若 sin，则 cos( ) _.(2) 如图，以 Ox为始边作角 (0< <) ，终边与单位圆相交于点 P，已知点 P 的坐标为，则 _.解析sin当 cos(1) 法一由已知得 (2k 1) (k Z).， sinsin(2k1) sin(k Z).时， cos ， cos( ) cos cos sin sin ×× .当 cos 时， cos ， cos( ) cos cos

7、sin sin .综上可知， cos( ) .法二由已知得 (2k 1) (k Z) ，【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第讲三角函数的图象与性质 sin sin(2k 1) sin ，cos cos(2k 1) cos ，kZ.当 sin 时， cos( ) cos cos sin sin cos2sin2 (1 sin2 ) sin2 2sin2 12× 1 .(2) 由三角函数定义，得 cos ， sin ，原式 2cos22× .18答案(1) (2) 25探究提高 1. 当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解

8、决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误 .2. 任意角的三角函数值仅与角 的终边位置有关，而与角 终边上点 P 的位置无关 . 若角 已经给出，则无论点 P 选择在 终边上的什么位置，角 的三角函数值都是确定的 .【训练 1】 (1)(2018 ·潍坊三模 ) 在直角坐标系中，若角 的终边经过点 P，则 sin( ) ()A.B.C.D.32(2)(2018 ·卷 ) 在平面直角坐标系中，是圆 x2y21 上的四段弧 ( 如图 ) ，点 P 在其中一段上，角 以 Ox为始边， OP为终边 . 若 tan<cos <sin ，则 P 所在的圆弧是 ()A.B.C

9、.D.GH解析(1) 角 的终边过点 P，且 |OP| 1. 由三角函数定义，知sincos . 因此 sin( ) sin .5/175/17(2) 设点 P 的坐标为 (x ，y) ，由三角函数的定义得 <x<y，所以 1<x<0，0<y<1. 所以P 所在的圆弧是.答案(1)C(2)C热点二三角函数的图象考法1三角函数的图象变换【例21】(1)要想得到函数ysin 2x1的图象，只需将函数ycos 2x的图象 ()A. 向左平移个单位长度，再向上平移1 个单位长度B. 向右平移个单位长度，再向上平移1 个单位长度C.向左平移个单位长度，再向下平移1 个

10、单位长度D.向右平移个单位长度，再向下平移1 个单位长度(2)(2018 ·湖南六校联考 ) 已知函数 f(x) sin( x) ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数yf(x) 的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数yf(x)的图象 ()A. 关于点对称B. 关于点对称C.关于直线x对称D. 关于直线x对称解析(1) 因为ysin 2x1cos 1cos 1，故只需将函数ycos 2x的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数ysin 2x 1 的图象 .(2) 由题意， T，2.又 yfsin 的图象关于 y 轴对称 . k， kZ

11、.由| |< ，取 ，因此 f(x) sin ，【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第讲三角函数的图象与性质代入检验 f0，A 正确 .答案(1)B(2)A探究提高 1. “五点法”作图： 设 zx，令 z0，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线可得 .2. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换 . 变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 .考法 2由函数的图象特征求解析式【例 22】 (1) 函数 f(x) Asin( x) 的部分图象如图所示，

12、 则函数 f(x) 的解析式为 ()A.f(x)2sinB.f(x)2sinC.f(x)2sinD.f(x)2sin2x32x6(2)(2018 ·济南调研 ) 函数 f(x) Asin( x ) 的部分图象如图所示，若 x1，x2，且 f(x1)f(x2) ，则 f(x1x2) ()A.1B.C.D.32解析(1) 由题意知 A2，T4 ，2，因为当 x时取得最大值2，所以 22sin ，所以 2× 2k， kZ，解得 2k， kZ，因为 | |< ，得 .因此函数 f(x) 2sin.7/177/17(2) 观察图象可知， A1，T，则 2.又点是“五点法”中的始

13、点，2× 0， .则 f(x) sin.函数图象的对称轴为x .又 x1，x2，且 f(x1) f(x2) ，所以，则 x1x2，因此 f(x1 x2) sin .答案(1)B(2)D探究提高已知函数 yAsin( x)(A>0 ，>0) 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口， 可以从图象的升降找准第一个零点的位置 .【训练 2】 已知函数 f(x) Asin( x)(A 0，0，| | )的部分图象如图所示 .(1) 求函数 f(x) 的解析式；

14、(2) 将函数 yf(x) 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数yg(x) 的图象，求函数g(x) 在区间上的最小值 .解(1) 设函数 f(x) 的最小正周期为T，由题图可知A1，【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第讲三角函数的图象与性质即 T，所以 ，解得 2，所以 f(x) sin(2x ) ，又过点，由 0sin 可得 2k，kZ，则 2k， kZ，因为 | | ，所以 ，故函数 f(x) 的解析式为 f(x) sin.(2) 根据条件得 g(x) sin ，当 x时， 4x，所以当

15、 x时， g(x) 取得最小值，且 g(x) min .热点三三角函数的性质考法 1三角函数性质【例3 1】(2018 ·合肥质检) 已知函数f(x) sinx cosx( >0)的最小正周期为.(1) 求函数 yf(x) 图象的对称轴方程；(2) 讨论函数 f(x) 在上的单调性 .解 (1) f(x) sin xcos xsin ，且 T，2，于是 f(x) sin.令 2x k(k Z) ，得 x (k Z).即函数 f(x) 图象的对称轴方程为x (k Z).(2) 令 2k 2x 2k(k Z) ，得函数 f(x) 的单调递增区间为 (k Z).注意到 x，所以令 k

16、0，得函数 f(x) 在上的单调递增区间为；9/179/17同理，其单调递减区间为.探究提高1. 讨论三角函数的单调性， 研究函数的周期性、 奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数 .2. 求函数 yAsin( x)(A>0 ，>0) 的单调区间，是将 x作为一个整体代入正弦函数增区间 ( 或减区间 ) ，求出的区间即为 yAsin( x) 的增区间 ( 或减区间 ) ，但是当 A0，0 时，需先利用诱导公式变形为 y Asin( x) ，则 yAsin( x)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间 .考法 2三角函数性质与图象的综合

17、应用【例 32】 已知函数 f(x) 2sinxcos x2sin2 x( >0)的最小正周期为.(1) 求函数 f(x) 的单调递增区间 .(2) 将函数 f(x) 的图象向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 yg(x) 的图象，若 yg(x) 在0 ，b(b>0) 上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值 .解 (1)f(x) 2sin xcosx(2sin2 x1) sin 2 xcos 2 x2sin.由最小正周期为，得 1，所以 f(x) 2sin ，由 2k 2x 2k， kZ，整理得 k xkx， kZ，【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档

18、：专题一三角函数与解三角形第讲三角函数的图象与性质所以函数f(x)的单调递增区间是，kZ.(2) 将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1 个单位，得到y2sin 2x1 的图象；所以 g(x) 2sin 2x 1.令 g(x) 0，得 xk或 xk(k Z) ，所以在 0 ，上恰好有两个零点，若yg(x)在0 ，b 上有10 个零点，则b 不小于第10 个零点的横坐标即可.所以 b 的最小值为 4 .探究提高1. 研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为yAsin( x) B(或 yAcos( x) B) 的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解.2. 函数 yAsin( x)(

19、 或 yAcos( x) 的最小正周期 T.应特别注意 y|Asin( x)| 的最小正周期为T.【训练 3】 (2018 ·湖南师大附中质检 ) 已知向量 m(2cos x，1) ，n(sin xcos x，2)( >0) ，函数 f(x) m·n 3，若函数 f(x) 的图象的两个相邻对称中心的距离为 .(1) 求函数 f(x) 的单调增区间；(2) 若将函数 f(x) 的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数 g(x) 的图象，当 x时，求函数 g(x)的值域 .解 (1)f(x) m·n 32cos x(sin xcos

20、 x) 23sin 2 xcos 2 xsin.11/1711/17依题意知，最小正周期T.1，因此 f(x) sin.令 2k2x 2k，kZ，求得 f(x) 的增区间为， kZ.(2) 将函数 f(x) 的图象先向左平移个单位，得 ysin sin 的图象 .然后纵坐标不变， 横坐标缩短为原来的倍， 得到函数 g(x) sin 的图象.故 g(x) sin ，由 x，知 4x. 1sin .故函数 g(x) 的值域是 ， 1.1. 已知函数 yAsin( x) B(A 0，0) 的图象求解析式(1)A ， B.(2) 由函数的周期 T 求 ，.(3) 利用“五点法”中相对应的特殊点求 .

21、2. 运用整体换元法求解单调区间与对称性类比ysin x的性质，只需将yAsin(x) 中的“ x”看成ysin x中的“ x”，采用整体代入求解.(1) 令 xk(k Z) ，可求得对称轴方程；(2) 令 xk(k Z) ，可求得对称中心的横坐标；(3) 将 x 看作整体，可求得 yAsin( x) 的单调区间，注【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题一三角函数与解三角形第讲三角函数的图象与性质意 的符号 .3. 函数 yAsin( x) B 的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin( x) B(一角一函数 ) 的形式；第二

22、步：把“ x ”视为一个整体，借助复合函数性质求y Asin( x) B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2018·全国卷) 函数f(x)的最小正周期为()A.B.C.D.2 解析f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期T .答案C2.(2017 ·全国卷 ) 函数 f(x) sin cos 的最大值为 ()A.B.1C.D.51解析cos cossin ，则 f(x) sin sin sin ，函数的最大值为 .答案A3.(2018 ·湖南六校联考 ) 定义一种运算 adbc，将函数 f(x)的图象向左平移( &g

23、t;0) 个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则 的最小值是 ()A.B.C.D.56解析 f(x) 2cos x 2sin x 4cos，依题意 g(x) f(x ) 4cos 是偶函数 ( 其中 >0).13/1713/17 k，kZ，则 min.答案C4. 偶函数 f(x) Asin( x)(A>0 ，>0，0<<) 的部分图象如图所示，其中 EFG是斜边为 4 的等腰直角三角形 (E，F 是函数与 x轴的交点，点G在图象上) ，则f(1)的值为 ()A.B.C.D.22解析 依题设， |EF| 4，T8，. 函数 f(x) Asin( x) 为偶函数，且，

24、在等腰直角 EGF中，易求 A2.所以 f(x) 2sin 2cosx，则 f(1) .0<<.答案C5.(2018 ·天津卷 ) 将函数 ysin 的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 ()A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减解析把函数 ysin的图象向右平移个单位长度得函数g(x) sin sin 2x 的图象，由 2k2x 2k(k Z) 得 kx k(k Z) ，令 k1，得 x，即函数 g(x) sin 2x 的一个单调递增区间为 .答案A【2019最新】精选高三数学（理）二轮专题复习文档：专题一三角函数与

25、解三角形第讲三角函数的图象与性质二、填空题6.(2018 ·江苏卷 ) 已知函数 ysin(2x ) 的图象关于直线 x对称，则 的值是 _.解析由函数 ysin(2x ) 的图象关于直线x对称，得 sin ± 1.因为 <<，所以 <<，则 ， .答案67. 已知函数 f(x) Asin( x) 的部分图象如图所示，其中 |PQ| 2. 则 f(x) 的解析式为 _.解析由题图可知A2，P(x1， 2) ，Q(x2，2) ，所以 |PQ| 2. 整理得 |x1 x2| 2，所以函数 f(x) 的最小正周期 T2|x1 x2|4，即 4，解得 . 又

26、函数图象过点 (0 ，) ，所以 2sin，即 sin . 又| |< ，所以 ，所以 f(x) 2sin.答案f(x) 2sin2x 38.(2018 ·卷 ) 设函数 f(x) cos( >0). 若 f(x) f 对任意的实数 x 都成立，则 的最小值为 _.解析 由于对任意的实数都有 f(x) f 成立，故当 x时，函数 f(x) 有最大值，故 f 1，2k(k Z) ，8k(k Z). 又 >0，min.2答案3三、解答题9. 已知函数 f(x) 4tan xsin·cos .15/1715/17(1) 求 f(x) 的定义域与最小正周期；(2) 讨论 f(x) 在区间上的单调性 .解 (1)f(x) 的定义域为 x|x k，kZ ，f(x) 4tan xcos xcos 3 4sin