高中数学教学论文 关于两平面向量平行的第三组充要条件的探究_第1页
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文档简介

1、关于两平面向量平行的第三组充要条件的探究如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD边和CD边上的点，AF与BE交于O点，求这道题是我上初中时看到的，当时由于好奇，就把它抄下来自己做一下，谁料想我用自己知道的知识来解它，就是解不出来。后来等自己教书了，教过向量这章内容后，才找到了解题方法。我们在上初中时，学过的这样一个知识，三边上的中线交于一点，此点叫的重心，重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍。如图，ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的中点，则AD、BE、CF交于一点，设为G。这个G点叫ABC的重心，且有。这个比值2可以作辅助线求出来，试想一下，若D、E不是中点，比如，则

2、的比值又如何计算呢？再用作辅助线的方法来计算是非常困难的的了。我们仔细观察这两道题，其实是一个题型，那么有没有解决这个题型的有效方法呢？大家知道，若，则/=，。这是两向量平行（共线）的第一组充要条件；若，则/，这是两平面向量平行（共线）的第二组充要条件；若，、不共线，、R，则由/能推出什么呢？由第一组充要条件可知，/=，所以有=，因为、不共线，所以只有，反过来，也可以由/，所以在这里，由/，这又是两平面向量平行（共线）的一个新的充要条件，我把它叫作两平面向量平行（共线）的第三组充要条件。其实，若把第三组中的、设为单位向量，且使，则根据平面向量的坐标定义可知，此时的坐标就为，的坐标就为，由两平面

3、向量平行（共线）的第二组充要条件也可以推出。从这可以体会出，第三组充要条件是第二组充要条件的推广，第二组充要条件是第三组充要条件的特殊情形。我把两平面向量平行（共线）的第三组充要条件再写一遍，即若，、不共线，、R，则由/。那么，这个充要条件对解决中的求比值问题有用吗？我们试想一下，我先把要求的这个比值设出来，假设设成m，再设出中的一组基向量，在中找到一对平行（共线）向量，把这对平行（共线）向量都用基向量表示出来，把m用到表示平行（共线）向量的参数中去，那么用平面向量平行（共线）的第三组充要条件后，就可以构造只含m的方程，就可以求出m，从而达到上述问题的解决。举个具体例子，如图，ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB边上的点，且有，AD、BE交于O点，求。解：设=m，则，所以，再设=，=，找到一组平行（共线）向量、，下面把、用、分别表示出来，=+=+=+，=+=+=+ =+(+)=+ =+=+ =由/m=所以=看，这道题就这样解决了，利用两平面向量平行（共线）的第三组冲要条件解决了。 开始的那一道题也可用此方法解

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