三维 势阱的研究

1、 三维势阱的研究摘要：本文重点对一维、二维及三维势阱进行了较为详细的讨论。其中一维势阱包括无限深方势阱和一维势阱，二维情形则主要对方势阱进行了相关的讨论，三维势阱的讨论包括球方势阱以及三维势阱的一种特殊情况。讨论的过程中，在深刻理解一维、二维和三维势阱的基础上，通过与自由粒子平面波的相类似的方式，在量子力学范畴内建立合适的球面波函数，进而重点讨论三维势阱具有球对称性的S态，得出该问题的严格解析解。 关键词：一维势阱；三维势阱；球面波目 录引言11.相关量子力学知识12. 一维势阱12.1.一维无限深势阱12.2.一维势阱43.二维势阱53.1.势阱的波函数53.2二维方势阱63.3几种特殊情况

2、84.三维势阱84.1.无限深球方势阱84.2三维势阱11参考文献14英文摘要15致谢15引言势阱是量子力学的基本模型之一，近年来对于它的讨论在涉及以量子力学为基础的各个领域中都取得了很大的成就1,2。正确理解势阱的概念，并对诸如由一维到三维、由简单到复杂等情形作较为深入地探讨与推广，对于量子力学的学习与理解具有非常重要的作用。本科阶段对量子力学的学习主要是侧重于对基本概念的理解与基本方法的把握，从这个层面来看，对于较为复杂势阱的研究有相当大的难度。本文在对量子力学中已有模型讨论方法进行深刻理解的基础之上，来尝试对较为复杂的势阱的特例三维势阱具有球对称性的S态进行讨论，力图给出该模型势阱的解析

3、解，为进一步普遍性地求解三维势阱，提供一定的理论基础。1.相关量子力学知识 一个微观粒子的量子态用波函数来描述，当确定后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测值几率的分布都可以完全确1,2。因此，量子力学中最核心的问题就是要解决波函数如何随时间演化，以及在各种具体情况下找出描述体系状态的各种可能的波函数。在此基础上，引入薛定谔方程 (1.1)它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。2一维势阱2.1一维无限深势阱 粒子在一维力场作用下运动，它的势能在一定区域内为零，在此区域外势场被视为无限大，这种模型被称为一维无限深势阱1。设某质量为、能量为的粒子在一维无限深势阱内运动，它的势能表示为： (2.1)

4、其定态薛定谔方程为： (2.2)考虑到的形式，方程(2.2)可化简为： (2.3)根据E的不同取值范围,方程(2.2)有不同的解(1)时 方程(2.1)可写为 (2.4)其中均为正实数。由于在时，为使波函数满足单值连续有限条件，只有当，(2.4)中第二式成立，由(2.3)和上述条件知： (2.5) 由 的连续性，即得： (2.6) (2.7) 由（2.6）、（2.7）得： (2.8) (2.9) 如果A，B同时为零，处处为零，无意义，所以A，B不能同时为零分为两种情况讨论； （1）时， (2.10) （2) 时， (2.11)由（2.10）、（2.11）知 分别对应的奇数倍和偶数倍。时对应波函

5、数处处为零，不可取。为负整数时与取正整数时线性相关，也不可取，所以有 ： （1） (2.12) （2） (2.13)由，（2.12）（2.13）知 为整数， (2.14)再由（2.5）（2.10）（2.12），得： (2.15)由（2.5）（2.11）（2.13），得： (2.16)由（2.15）（2.16）得： (2.17)由归一化条件，得： ， (2.18)由（2.17）（2.18）得 ， (2.19)由（2.14）式给出，其中，为整数，可知粒子在一维无限深势阱中的能量为一系列分离的值，由（2.19）给出时刻能量为的粒子出现在位置处的概率：。2.2.一维势阱一维势阱是指粒子位于处，势能不为

6、零，为某一常数，而在其他的位置时，粒子的势能为零。考虑在该势阱中可能存在的束缚态，假设质量为m的粒子处在一维势阱中运动，势能函数表示为： (2.20)在该势场中，粒子的Schrodinger方程为 (2.21)在离开原点处，薛定谔方程变为 (2.24) 当时，粒子处于游离态，能量可取任意正实数，能量连续。 当时，体系有可能存在束缚态，由于势能函数满足，且要求束缚态，波函数必有确定宇称。（1）偶宇称 通过求解式（2.24）可得 (2.25)在原点附近的范围内对式（2.24）进行积分，并取极限 (2.26)于是得 (2.27) (2.28)得 (2.29)进而可以得到 (2.30)即一维势阱中运动

7、的粒子的束缚能。由归一化条件 得：， (2.31)考虑（2.25）（2.30）（2.31）得： (2.32)其中由（2.30）给出，（2）奇宇称波函数为： (2.33)由波函数的连续性条件知，不存在束缚态，当时，在，处，为游离态。3二维势阱3.1势阱的波函数二维方势阱与一维有限深势阱相类似3,4。在二维有限宽度内，势能为零，在此区域外势能函数为有限值，如图3.1所示,其中是势阱的深度,势阱的长、宽分别为,势场函数为 (3.1) 图 3.1二维方势阱 取坐标对应的能量、势能分别为这样,势场函数(3.1)式写作 (3.2)设势阱中粒子的质量为, 。则描述粒子的定态薛定谔方程为 (3.3) (3.4

8、)对、进行分离变量，可将上式变形为 (3.5) (3.6)式中 , (3.7) , (3.8)这样,描述粒子在此势阱中运动的波函数为 (3.9)粒子的能量 (3.10)在这里,我们仅讨论(3.5),(3.6)式的偶宇称解 (3.11) (3.12) 由(3.9)式可知,每一个区域的波函数如下 (3.13) 由于概率密度与波函数的关系 (3.14)可以得出粒子在以上个区域出现的概率。3.2二维方势阱根据波函数的连续条件,可以得到如下结果 (3.15)由于（3.15）式是超越方程,没有解析解,可采用图解法求解。令 (3.16)则阱口刚好出现束缚能级的条件为 (3.17) (3.18)由(3.15)

9、与(3.16)式,有 (3.19) (3.20)以与为坐标轴,可作出如图4.1所示的曲线 图4.1超越方程的图解法以上每组方程式所对应的图线交点可得到(3.15)式的解。再由图4.1交点的数值和波函数的归一化条件,可得的值，进而可得势阱中粒子的能量本征值 (3.21)式中 (3.22) (3.23)不同的值对应不同的波形,各能级对应不同的简并态.3.3几种特殊情况(a)时,二维方势阱变成了一个狭长的槽形.这时粒子在狭长的势阱中运动,波函数对应的波形在一个平面上,其形状是一种驻波；(b)时,二维方势阱就变成了一维有限深方势阱; 时,就是一维无限深势阱； (c)时,这时势阱变成一个狭小的深洞,粒子

10、对应的波形变成了一条竖线。4.三维势阱 三维势阱无论是在计算复杂程度上还是在对其物理意义的诠释上，都比一维势阱难度变大。以下我们主要讨论无限深球方势阱和三维势阱5-10。4.1.无限深球方势阱 无限深球方势阱是三维势阱典型特例之一，我们现取无限深方球对称势阱的半径为,狄拉克势也具有球对称性，且位于处。则势场表为 (4.1)考虑质量为的粒子、能量为的粒子在该势阱内运动，可得定态薛定谔方程 (4.2)由于是能函数具有球对称性，可设，代入上式进行分离变量,得到径向方程 （4.3）令,上式简化得 (4.4)设,有 (4.5)由于波函数应满足有限边界条件，即在处波函数,所以有齐次边界条件 (4.6)由于

11、为径向方程(4.3)的奇点,在该点波函数必须有界,所以有自然边界条件 (4.7)泛定方程(4.5)与边界条件(4.6)和(4.7)构成了确定能级的定解问题。显然,在处,泛定方程(4.5)成为 (4.8)这是一个l阶球贝塞尔方程,其通解为 (4.9)其中和分别为l阶球贝塞尔函数和l阶球诺依曼函数。将(4.9)式代入边界条件(4.6)和(4.7)两式,得到 (4.10) 由于势阱中存在狄拉克势,在该处波函数的导数不连续,其跃变条件可以通过对方程(4.5)的邻域积分 得到 (4.11)波函数应在处连续,考虑上述给出的跃变条件式(4.11)有 (4.12) (4.13) 由(4.10)和(4.11)两

12、式可以确定波数和振幅,代入公式(4.9)即得到对应的波函数。当时,将(4.13)式两边除以,并利用(4.11)式,得到 (4.14)上式给出了一个由参数和确定的方程,由此可以进一步计算出能量 (4.15)为了简化计算,我们把方程(4.14)变形 (4.16)由此得到 (4.17)上式可以进一步简化为 (4.18)给出了参数和角量子数后,由上式求出一系列的值,代入(4.15)可以确定对应的能级,它们组成了能谱的一个分支。当时,(4.10)式成为 (4.19)于是得到 (4.20)这样,我们又可以得到相应能谱的另一个分支。将球贝塞尔函数和球诺依曼函数的具体形式代入能级的计算公式(4.18)和(4.

13、20),再进行数值计算,就可以得到能谱。下面,我们以的情况为例,来进行具体的计算。当时,球贝塞尔函数和球诺依曼函数的具体形式为 , (4.21)代入(4.18)式后得到 (4.22)由上式可以发现,无量纲波数随着势垒高度的增加而增加,但是增加的速度在变慢,当等于零时,第个能级的无量纲波数为；当趋向于无穷大时,第个能级的无量纲波数趋向于。通过上面的分析与计算,可以清楚地看出狄拉克势对球对称无限深方势阱中能级的影响。当不存在狄拉克势垒的时候,角量子数的态的无量纲波数为；在附加狄拉克势垒之后,偶数能级的无量纲波数仍然保持不变,奇数能级的无量纲波数随着势垒高度的增加,从逐渐增大到。4.2三维势阱三维势

14、阱时粒子位于某一位置处的势能不为零，而是某一负值，在其他位置时，粒子的势能函数为零。设某质量为能量为的粒子在三维势阱中运动，其势能函数可表示为：， (4.23)考虑在该势阱中的具有球对称性的，S态。由定态薛定谔方程得： ， (4.24)由（4.23）（4.24）得， (4.25)考虑的情况，在处，方程（4.25）化为 ： (4.26)其中， 由于考虑的是具有球对称性的态，所以波函数可以可取 (4.27)对于（4.27）式在时，发散，故可以把取摸方再乘以，得： (4.28)由波函数在处连续得： (4.34)对（4.26）式积分取极限即得跃变条件： ， (4.35)由（4.35）得：， (4.36

15、)由（4.34)(4.36)得反射系数： (4.37)透射系数： (4.48) 的物理意义是时刻，能量为E的粒子出现在半径为的球面上的概率。 结论本文在对几个典型的一维、二维和三维势阱中微观粒子运动规律进行求解的基础上，重点讨论了三维势阱中微观粒子的运动规律。利用其与一维势阱的内在联系，对三维无限深方势阱中的能量及波函数进行了讨论，并详细分析了能级的简并度；计算了狄拉克势对球对称无限深方势阱中能级的影响，并得到：当不存在狄拉克势垒的时候,角量子数的态的无量纲波数为；在附加狄拉克势垒之后,偶数能级的无量纲波数仍然保持不变,奇数能级的无量纲波数随着势垒高度的增加,从逐渐增大到。通过改造球面波，进而

16、讨论了三维势阱中具有球对称性的态波函数、透射系数、反射系数及改造之后波函数的物理意义。参考文献1 周世勋量子力学教程M北京：高等教育出版社，1979：107-1282 曾谨言量子力学导论（第二版）M北京：北京大学出版社，1998：198-2403 孙元和二维有限深矩形势阱中电子的束缚能量状态J内蒙古民族大学学报，2008，14(04):9-104 何菊明，彭云雄用图解法研究二维势阱J武汉化工学院学报，2006,28 (02)：86-885 刘建军，裴晓林三维无限深方势阱能级简并度与对称性关系的讨论J河北师范大学学报，1993，17(03):32-366 袁通全，韦吉爵三维无限深势阱中粒子运动的

17、路径积分解法J西南大学学报（自然科学版），2009,31(03):34-377 曲晓英N维无限深势阱中Klein-Gordon方程和Dirac方程的解J贵州大学学报（自然科学版），2007，24(03):240-2438 黄新堂，梁妙园无限深势阱圆筒中粒子能级近似解析式J华中师范大学学报（自然科学版），1992，26(04):37-409 石晓燕，杨武关于量子力学中一维势阱的探讨J科技信息（学术研究），2008,(18)：75-76.10 李明明，陈岗无限深方势阱势后的定态解J山东师大学报（自然科学版），2004，19(04):96-97 Research on Three-dimension

18、al Potential TrapAbstract:The article mainly discusses one, two and three dimensional potential traps. One-dimensional potential trap includes infinitely deep square potential trap and the one-dimensional potential trap, two-dimensional case mainly discusses square potential trap, and three-dimensional potential trap researches square potential trap and one special circumst