高数学习资料含讲义及全部内容

1、第一章函数与极限函数和极限都是高等数学中最重要、最基本的概念，极值方法是最基本的方法，一 切内容都将从这二者开始。§ 1、 函 数 一、集合、常量与变量 1、集合：集合是具有某种特定性质的事物所组成的全体。通常用大写字母A、B、C等来表示，组成集合的各个事物称为该集合的元素。若事物 a是集合M的一个元素，就记a M (读a属于M);若事物a不是集合M的一个元素，就记a M或a M (读a不 属于M);集合有时也简称为集。注1:若一集合只有有限个元素，就称为有限集；否则称为无限集。2:集合的表示方法：、若集合为有限集，就 可用列举出其全体元素 的方法来表示，如： A 1,2,3, 10

2、, B 一只猫，一只狗，一只 鸡;(ii)、对无限集，若知道其 元素的规律，也可类似 写出，如：A 1,2,3,为全体自然数集，B 2,46为全体偶数集；枚举法(iii )、列不出全体元素或找 不到元素规律的集合，若知其元素有某种性质，那么该集合可表示为：A xx所具有的某种性质，即：有此性质的必在 A中，且A中的元素必 须有此性质。如：A xx3 5x2 7x 3 0； B xx为我校的学生； C (x, y)点 (x, y)在D中等。3:全体自然数集记为N,全体整数的集合记为Z,全体有理数的集合记为 Q,全体实数的 集合记为Ro以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集。4:集合间的基本关系

3、：若集合A的元素都是集合B的元素，即若有x A,必有x B, 就称A为B的子集，记为A B,或B A (读B包含A)。显然：N Z Q R.若A B,同时B A,就称A、B相等，记为A=B。5:当集合中的元素重复时，重复的元素只算一次.如：1,2,2,3=1,2,3。6:不含任何元素的集称为空集，记为，如：xx2 1 0, x R二 ,x: 2x 1=,空集是任何集合的子集，即 Ao7:区间：所有大于a、小于b(a<b)的实数组成一个集合，称之为开区间，记为(a,b),即(a,b)=xa x b。同理：a,b=xa x b为闭区间，a,b xa x b和 a,b xa x b分别 称为左

4、闭右开、左开右闭的区间，统称为半开区问。以上均成为有限区间，a、b分别称为左、右端点。对无穷区间有：，b xx b, (a, ) xa x, ( , ) x x R ,在不特别要求下，有限区间、无限区间统称为区间，用 I表示。8：邻域：设a和 为两个实数，且 0.集合Xx a 称为点a的 邻域，记为U(a, ),a为该邻域的中心，为该邻域的半径，事实上，U (a, ) xa x a (a ,a )。同理：我们称U(a, ) x0 |x a 为2的去心 邻域，或a的空心 邻域。9:集合的内容很多，其它内容(如集合的运算)在此不作一一介绍了。2、常量与变量：在自然科学中，我们会遇到各种不同的量，然

5、而在观察这些量时，发 现有着非常不同的状态，有的量在过程中不起变化，保持一定的数值，此量称为常量； 又有些量有变化，可取各种不同的数值，这种量称为变量。【例】掷同一铅球数次，发现铅球的质量、体积为常量，而投掷距离、上抛角度、用 力大小均为变量。注1:常量与变量是相对而言的，同一量在不同场合下，可能是常量，也可能是变量， 如在一天或在一年中观察某小孩的身高；从小范围和大范围而言，重力加速度可是常量 和变量，然而，一旦环境确定了，同一量不能既为常量又为变量，二者必居其一。2：常量一般用a,b,c等字母表示，变量用x,y,u,t等字母表示，常量a为一定 值，在数轴上可用定点表示，变量 x代表该量可能

6、取的任一值，在数轴上可用动点表示，如：x (a,b)表示x可代表(a,b)中的任一个数。二、函数的概念【例】正方形的边长x与面积S之间的关系为：S x2,显然当x确定了，S也就确定了。这就是说，同一过程中变量之间往往存在着某种内在的联系。它们在遵循某一规律时相 互联系、相互约束着。定义：设x和y为两个变量，D为一个给定的数集，如果对每一个 x D,按照一定的法则f变量y总有确定的数值与之对应，就称y为x的函数，记为y f (x).数集D称为该函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。当x取数值x0 D时，依法则f的对应值称为函数y "*)在* x0时的函数值。所有函数值组成的集合 W

7、 yy f(x),x D称为函数y f (x)的值域。注1:函数通常还可用y g(x), y F(x), s u(t)等表示。2:约定：函数的定义域就是自变量所能取的，使算式有意义的一切实数值的全体。【例1】y sin x的定义域为(，),值域为1,1。【例2】y J1 x的定义域为1,),值域为0,)2 x 0x11【例3】y x 0的定义域为1,1,值域为0,2。21 x 1 x 0x .【例4】f(x) 1的定义域为(,),h(x)的定义域为(，0) (0,)，从而显然 xf (x) h(x) o3、若对每一个x D,只有唯一的一个y与之对应，就称函数y f(x)为单值函数； 若有不止一

8、个y与之对应，就称为多值函数。如：x2 y2 1,x2 y2 1等。以后若不特 别声明，只讨论单信函数。4、函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助 于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法，注意例3的法则是：当自变量x在(0,1上1取值，其函数值为x ;当x取0时，f(x)；当x在1,0)上取值时，其函数值为1 x 0 (这种函数称为分段函数，在以后经常遇见，希望注意！)尽管有几个不同的算式，但它 们合起来只表示一个函数！5、对D中任一固定的x,依照法则有一个数y与之对应，以x为横坐标，y为纵坐标 在坐标平面上就确定了一个点。当x取遍D中的每一数时，便得到一个点

9、集 C (x,y)y f (x),x D,我们称之为函数y f (x)的图形。换言之，当x在D中变动时，点(x, y)的轨迹就是y f(x)的图形。【例5】 书上的几个例子。(同学们自己看)【例6】 例3的图形如下图三、函数的几种特性1、函数的有界性：设y f(x)在D上有定义，若对 x D, M 0,使得：| f(x) M , 就称f(x)在D上有界，否则称为无界。注：1、若又t x D, M ,使得f(x) M (f(x) M),就称f (x)在D上有上(下)界。f(x)在D上有界f (x)在D上同时有上界和下界。2、f (x)在D上无界也可这样说：对 M 0,总x0 D,使得f(x0)

10、M。 【例7】 上段例1、3、4中的函数是有界的；例2中的函数是无界的，但有下界。2、函数的单调性：设函数f(x)在区间I上有定义，若对 xx2 I ,当x2时总有：(1) f(xi) f(x2),就称f(x)在I上单调递增，特别当严格不等式f(xi) f(x2)成 立时，就称f(x)在I上严格单调递增。(2) f(xi) f(x2),就称f(x)在I上单调递减，特别当严格不等式f(xi) f(x2)成 立时，就称f(x)在I上严格单调递减。注：1、此处的定义与书上有区别，希望注意！2、这样的函数分别称为单调函数和严格单调函数。3、调递增有时简称单增、递增或不减，其它也一样。【例81符号函数和

11、取整函数均为单增函数，但不严格单调。1 .【例9】y 在(0,)上是严格单减函数。 x【例10例3中的函数在定义域1,1上不是单调的，但在1,0)上是严格单减的，在 (0,1上是严格单增的。3、函数的奇偶性：设函数f (x)的定义域D为对称于原点的数集，即若x D ,有x D , 若对x D,有f( x) f(x)恒成立，就称f(x)为偶函数。 若对x D,有f( x) f(x)恒成立，就称f(x)为奇函数。【例11】y x2, y cosx , y x ,是偶函数，y x3, y sin x, y sgnx ,是奇函数。y x2 x3, y cosx sin x是非奇非偶函数。【例11* y

12、 ln(x 71 x2)是奇函数。注：1、偶函数的图形是关于y轴对称的，奇函数的图形是关于原点对称的。2、若f(x)是奇函数，且0 D,则必有f(0) 0。3、两偶函数和为偶函数；两奇函数和为奇函数；两偶函数的积为偶函数；两奇函数 的积也为偶函数；一奇一偶的积为奇函数。4、周期性：设函数f(x)的定义域为D,如果l 0,使得对x D,有x l D,且f(x l) f(x)恒成立，就称f(x)为周期函数，l称为f(x)的周期。【例12】y sin x, y cosx,y tgx分别为周期为2 ,2 ,的周期函数，y x x为周期为1的函数。注1:若l为f(x)的周期，由定义知2l,3l,4l 也

13、都是f(x)的周期，故周期函数有无穷多个周期，通常说的周期是指最小正周期(基本周期)，然而最小正周期未必都存 在(为什么？)例如：y sin2 x cos2 x 1 ,设有最小正周期。2:周期函数在一每个周期(a kl,a (k 1)l) (a为任意数，k为任意常数)上，有相 同的形状。四、反函数设f (x)的定义域为D ,值域为W ,因此，对 y W ,必x D ,使得f (x) y ,这样的x可能不止一个，若将y当作自变量，x当作因变量，按函数的概念，就得到一新函数x (y),称之为函数y f(x)的反函数，而f(x)叫做直接函数。注1:反函数x(y)的定义域为W ,值域为D ;2:由上讨

14、论知，即使y f(x)为单值函数，其反函数却未必是单信函数，以后对此问题还作研究；3:在习惯上往往用x表示自变量，y表示因变量，因此将x (y)中的x与y对换一下，y f(x)的反函数就变成y (x),事实上函数y (x)与x(y)是表示同一函数的，因为，表示函数关系的字母”“没变，仅自变量与因变量的字母变了，这没什么关系。所以说：若y f(x)的反函数为x (y),那么y (x)也是y f(x)的反函数，且后者较常用；4:反函数y(x)的图形与直接函数y f(x)的图形是对称于y x (证明很简单，大家自己看书)；5:有些书上，对反函数的定义与此不同，希加与之区别。y b1 .一【例13】

15、函数y ax b, y x , y x的反函数分别为：x , x < y ,x y3或分a1别为 y -, yVx, y x3。a§ 1、2 初等函数一、幕函数形如y x (为常数)的函数叫做幕函数。其定义域较为复杂，下作一些简单的讨论：(1)当为非负整数时，定义域为(，)；(2)当 为负整数时，定义域为(，0) (0,);(3)当为其它有理数时，要视情况而定。1【例1】y x3的定义域为(，)；13y x2, y x4的定义域为Q ;1y x 2的定义域为(0,)。(4)当 为无理数时，规定其定义域为(Q ),其图形也很复杂，但不论取何值，图形总过(1, 1)点，当 >

16、0时，还过(0, 0)点。二、指数函数与对数函数1、指数函数：形如y ax(a 0,a 1)的函数称为指数函数，其定义域为 (，)，其图形总在x轴上方，且过(0, 1)点，(1) 当a 1时，y ax是单调增加的；(2) 当0 a 1时，y ax是单调减少的；以后我们经常遇到这样一个指数函数 y ex,e的意义以后讲，其图形大致如下图所示，特别地，y ax与y a x关于y轴对称2、对数函数：指数函数y ax的反函数，记为y logax（a为常数，a 0,a 1）,称为对数 函数，其定义域为（0,）,由前面反函数的概念知：y ax的图形和y logaX的图形是 关于y x对称的，从此，不难得y

17、 logax的图形，y log ax的图形总在y轴右方，且过（1, 0）点（1）当a 1时，y logax单调递增，且在（0, 1）为负，（1,）上为正；（2）当0 a 1时，y logax单调递减，且在（0, 1）为正，（1,）上为负；特别当a取e时，函数记为y ln x ,称为自然对数函数。三、三角函数与反三角函数1、 三角函数正弦函数：y sin x余弦函数：y cosx正切函数：y tanx余切函数：y cot x三角函数主要是：x (,)x (,)x n n 0, 1, 2, 2x nn 0, 1, 2,正弦函数和余弦函数均为周期为 2的周期函数，正切函数和余切函数均为周期为 的周期

18、函数。正弦函数、正切函数、余切函数都是奇函数，余弦函数为偶函数；另外还1 .一1有两个：正割y secx 和余割y cscx ,其图形在此不做讨论了。cosxsinx2、反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，它们分别为：反正弦函数：y Arc sin x x 1,1反余弦函数：y Arc cosx x 1,1反正切函数：y Arc tan x x (,)反余切函数：y Arc cot x显然反三角函数都是多信函数，单我们可选取其一个单值分支，叫做主值，选法如下：将y Arc sin x限制在,±,得一单值函数，记为y arcsin x ,它就是所取主信函数，,叫做主值区间，显然

19、一 arcsinx , 2 222同理：将y Arc cosx限制在0,上，得y arccosx将 y Arc tan x 限制在,±,得 y arctanx将 y Arc cot x 限制在0,上，得 y arc cot x从图中不难看出arcsinx和arctanx是单调递增的，arccosx和arc cot x是单调递减的。四、复合函数和初等函数设y f(u),定义域为Di, u (x),定义域为D2 ,值域为W2,且W2Di,这样对于x D2,由u (x)可算出函数值u W2Di,所以u Di ,由y f(u)又可算出其函数值y,因此对于x D2,有确定的值y与之对应，从而得

20、一个以x为自变量，y为因 变量的函数，我们称之为以y f(u)为外函数，u(x)为内函数复合成的复合函数，记为y f ( (x),其中u为中间变量。【例i】y sin 2 x就是y u2和u sin x复合而成；y cosx2就是y cosu和u x2复合而成。注i:并非任何两函数都可以复合的，例如：y arcsin u和u 2 x2不能复合；y 五和u i x2也不能复合。2:复合可推广到三个或更多的函数上去，如：y tan(lnx)2就是 y tanu,u v2,v In x复合成的。3:在函数复合中，未必都有y f(u)、u (x)的形式，一般为y "*)和丫 g(x), 这时

21、候就要注意哪个为外函数，哪个为内函数，从而复合后有y f(x)和y g(x)之分。2、初等函数我们把幕函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子 表示的函数，称为初等函数。1 sin x .【例 2】y v1 x, y x-1 2 ,y sin x, y tan(ln x) , y arctan J等都是初等函.1 sin x数。本教材讨论的主要都是初等函数。五、双曲函数和反双曲函数x x 双曲正弦： y shx x (,)2 x x e e双曲余弦：y chx x (,)2 shx ex e

22、 x双曲正切： y thx x x (,)反双曲正弦：y arshx ln(xx2 1)x (,)x 1,)chx e e反双曲余弦：y archx ln(x. x2 1)(多信函数y ln(x & 1)取“+”号为主值)1 1 x反双曲正切：y arthx lnx ( 1,1)2 1 x由于这类以后用得较少，只要掌握上面的内容就行了，其它的此外不细讲了§ 1、3 数列的极限所谓的数列，通俗地讲，就是将一系列的数排成一列(排)o在数学中，我们可用这 样的话来定义：定义：数列是定义在自然数集上的函数，记为 xn f(n), n 1,2,3,由于全体自然数可以从小到大排成一列，因

23、此数列的对应值也可以排成一列：x1,x2,xn这就是最常见的数列表现形式了，有时也简记为xn或数列xn。数列中的每一数称为数列的项，第n项xn称为一般项或通项。【例11书上用圆内接正 6 2n 1边形的面积来近似代替该圆的面积时，得到数列（多边形的面积数列）【例2】长一尺的棒子，每天截去一半，无限制地进行下去，那么剩下部分的长构成一数列：1，2 22 23一 1 1【例3】1,1,1, 2 32,4,6,12n，1一 ；n,2n,一 1,通项为一-°2n1, 1,( 1)n1,c 3 4 n 12,二，,2 3 n都是数列，其通项分别为1,（ 1）n1,2n,亡nn注：在数轴上，数列

24、的每项都相应有点对应它。如果将 Xn依次在数轴上描出点的位置,我们能否发现点的位置的变化趋势呢？显然,-1,1是无限接近于0的；2n2nn是无限增大的；（1）n1的项是在1与1两点跳动的，不接近于某一常数； U n无限接近常数1。对于数列来说，最重要的是研究其在变化过程中无限接近某一常数的那种渐趋稳定的状态，这就是常说的数列的极限问题。我们来观察 的情况。从图中不难发现随着n的增大，无限制地接近1,nn亦即n充分大时，区与1可以任意地接近，即n1可以任意地小，换言之，当n充分大时31可以小于预先给定的无论多么小的正数 n例如，取 ,，由100n 1111- n n 100一 n 1n 100

25、, 即从第 101 项开始， n以后的项x101102103,X102 Z101102 1 .都满足不等式|xn 1 ,或者说，当n 100时，有1100同理,1, 右取,由10000从第10001项开始，以后的项x10001Xn 11000011000010000 ,即 n1000210003/ccc),X10002 /cccc1000110002一,n 110000 时，有1110000都满足不等式般地，不论给定的正数多么小，总存在一个正整数 N ,当n N时，有这就充分体现了当n越来越大时，无限接近1这一事实。这个数“1”称为当n n时,的极限。定义：若对 0 （不论多么小），总自然数N

26、 0,使得当时都有xn立，这是就称常数a是数列Xn的极限，或称数列Xn收敛于a,记为lim xnna,或Xna ( n如果数列没有极限，就说数列是发放的。【例4】证明数列234J,2 3收敛于1。证明：对0,要使得,只须n 1 ,所以取N工，当nN时,limn注1:是衡量Xn与a的接近程度的，除要求为正以外，无任何限制。然而，尽管 具有任意性，但一经给出，就应视为不变。（另外， 具有任意性，那么,2 , 2等也2具有任意性，它们也可代替 ）2: N是随 的变小而变大的，是 的函数，即N是依赖于 的。在解题中，N等于多少关系不大，重要的是它的存在性，只要存在一个N ,使得当n N时，有Xn a就

27、行了，而不必求最小的【例5】证明lim n证明：对0,因为（此处不妨设a0,，因为22显然有lim -2a22n( , n a n)1)所以要使得:22n a1n就行了。所以取N2N时，因为有,所以limn注3:有时找N比较困难，这时我们可把Xn a适当地变形、放大（千万不可缩小！）,若放大后小于，那么必有xna【例3】设q 1,证明1,q,q2,n 1,q的极限为0,即limqn1 0on证明：若q 0,结论是显然的，现设01,对 0,（因为 越小越好，不妨设 1）,要使得qn 1 0了。因为0取 N 1 lnIn q只须两边放对数后，（n1)ln qln成立就行1 ,所以ln q0,所以n

28、1比 ln qlnIn q,所以当n N时，有0 成立。收敛数列的有关性质:定理1:（唯一性）数列Xn不能收敛于两个不同的极限。证明：设a和b为xn的任意两个极限，下证a b。由极限的定义，对0,必分别自然数N1，4，当nW 时，有 Xna (1)成立。现考虑:Xn(2)令 N Max N1, N2，当 n N 时，(1), (2)同时由于a,b均为常数b)Xn bXn ab,所以Xn的极限只能有一个。注：本定理的证明方法很多，书上的证明自己看12【例4】证明数列4 ( 1)n 1是发散的证明：(反证法)假设Xn收敛，由唯一性，设limxn a,按定义，对 n1当 n N 时，xn a -,考

29、虑 xn 1 xnxn 1 a xn24, 41总是一个“1”，一个“1"，所以xm %1,所以矛盾,所以xn( 1)n1发散定理2.(有界性)若数列xn收敛，那么它一定有界，即：对于数列 xn,若正数M ,对一切n ,有|xn M 0证明：设limxn a,由定义对1,自然数N,当n N时，xn a 1 ,所以当n Nn1时，xn xn a a 1 a ,令 M Max x1, x?xn ,1 a,显然对一切 n ,xn M 。注：本定理的逆定理不成立，即有界未必收敛。例如数列xn ( 1)n1是有界的(xn 1), 但函数收敛。此点希望注意！§1、4 函数的极限由上节知

30、，数列是自变量取自然数时的函数，xn f(n),因此，数列是函数的一种特性情况。此处讲的是函数的极限，就是数列极限意义的。它主要表现在两个方面：一、 自变量x任意接近于有限值x0 ,或讲趋向(于)x0 (记x x0)时，相应的函数值f(x)的变化情况。二、当自变量x的绝对值x无限增大，或讲趋向无穷大(记 x )时，相应的函数值f(x)的变化情况。一、自变量趋向有限值x。时函数的极限与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值x。时的函数极限可理解为：当 xx。时，f(x) A (A为某常数)，即当x x。时，f(x)与A无限地接近，或说|f(x) A可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数(不论多么小

31、)，当X与X0充分接近时，可使得f(x) A小于。用数学的语言说，即定义1:如果对 0 (不论它多么小)，总 0,使得对于适合不等式0 X X。 的一切X所对应的函数值f(x)满足：f (x) A ,就称常数A为函数f(x)当X X。时的极限，记为lim f (x) A ,或 f (x) A (当 xx0时)n注1： “X与X。充分接近”在定义中表现为：0,有0 |x X。，即x U(x。，)。显然 越小，x与X0接近就越好，此 与数列极限中的N所起的作用是一样的， 它也依赖于 。一般地，越小，相应地也小一些。2 :定义中0 x x0表示x x0 ,这说明当xx0时，f(x)有无限与f(x0)

32、在x0点(是否有)的定义无关(可以无定义，即使有定义，与f(x0)值也无关)。3 :几何解释：对 0,作两条平行直线y A ,y A 。由定义，对此，00当x0x x0 ，且x x0时，有A f (x) A 。即函数y f(x)的图形夹在直线y A ,y A 之间(f(x0)可能除外)。换 言之：当x U(x0,)时，f(x) U(A,)。从图中也可见 不唯一！【例1】 证明lim C C (C为一常数) X X0证明：对 0,可取任一正数，当0 1x x0时，f(x) A |C C 0,所以lim C C。X x0【例 2】证明 lim (ax b) ax0 b (a 0)X x0证明：对

33、0,要使得(ax b) (axo b) a(x x0)Wx x0,只须x x0| 口，所以取 ,-1 0 显然当 x x0时，有(ax b) (ax0 b) 。aa【例3】证明limx 1x2 12x2 x 1证明：对0 ,因为a 1,所以x 1 0.x2 122x2 x 1 3x 122x 1 31 x3(2x 1) 此处x 1,即考虑x。1附近的情况，故不妨限制x为。x 1 1,即0 x 2,x 1。因为 2x 1 1,，只须1 x |x 1|x2 12,要使2 -3(2x 1)32x2 x 1 3min1,3(从图形中解释)，当0 x 1 时,x2 12x2 x 1定理1:(保号性)设l

34、im f (x) x x)A,(i ) 若 A0(A 0),则0,当 x U(x),)时,f(x)0 (f (x) 0)。(ii ) 若 f (x) 0(f (x) 0),必有 A 0( A 0)。A证明：(i)先证A 0的情形。取 C,由定义，对此 ，0,当x U(x),)时,2f (x) A A,即0 A A £ f (x) A - 3A f(x) 0。22222A 一当A 0时，取同理得证。2(ii )(反证法)若A 0,由(i) f (x) 0 矛盾，所以A 0o当f(x) 0时，类似可证。注：(i)中的“工" ”不能改为“在(ii)中，若f (x) 0 ,未必有A

35、 00在函数极限的定义中，x是既从x0的左边(即从小于x)的方向)趋于x),也从x0的右边(即从大于x)的方向)趋于x)。但有时只能或需要x从x0的某一侧趋于x)的极限。如分段函数及在区间的端点处等等。这样，就有必要引进单侧极限的定义:定义2:对 0,0,当x0 xx0时，当x0 xXo时，有|f(x) AAo这时就称A为f(x)当xx。时的左右极限，记为lim f(x)A或f(x 0)A。x Xo 0lim f (x)A或 f(x0 0)x0 0定理2:lim f (x) A x %lim f (x)x % 0lim o f (x) A【例4】lim sgn(x)x 0 0Um 0sgn(x

36、)因为1 1 ,所以lim sgn(x)不存在。x 0【例5】设 f (x)12x,求 lim f (x)。x 0解：显然lim f (x)x 0 0lim 1 1x 0 0lim f (x) x 0 0lim (2x 1) 1x 0 0因为 lim f (x)x 0 0州0 f(x) 1,所以 lim f (x) 1 o x 0定义3:设f(x)当x二、自变量趋向无穷大时函数的极限a(a 0)时是有定义的，若对 0, X( a),当x X时,f(x) A，就称A为f(x)当x 时的极限，记为！imf(x) A或f(x)(当x注1:设f (x)在a,时)。),(,b)上有定义,若对0, X0,

37、当 x X(x X)时,有f (x) A ，就称A为f (x)当x (x )时的极限，记为Jim f(x) A,或 f(x) A (当 x ) ( Jim f(x) A,或 f(x) A (当 x )。2 : lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A。 xxx3 :若！im f(x) A ,就称y A为yf (x)的图形的水平渐近线(若 Jim f (x) A或lim f(x) A,有类似的渐近线) x【例6】 证明lim 皿 0。X x证明：对 0 ,因为sinx 八 0xsin x1 一 一 一 一一,所以要使得sin x工,所以当x X时，有股 0xlimxsi

38、n x0o§1、5无穷小与无穷大一、无穷小若f(x)当xxo或x时的极限为零，就称f(x)为当xxo或x 时的无穷小，即有定义1:对 0,若 0(X 0),使得当0 |x xo|(x X)时，有|f(x) 成立,就称f(x)为当x x0(x )时的无穷小，记为lim f (x) 0( lim f (x) 0)。 x x0x注1:除上两种之外，还有x , x , x x0 0, x x0 0的情形。2:无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数(极限为0),不要将其与非常小的数混淆， 因为任一常数不可能任意地小，除非是 0函数，由此得：0是唯一可作为无穷小的 常数。【例1】 因为lim(2x

39、 4)x 22 2 4 0,所以 2x4当x 2时为无穷小;同理：lim sinx x x而 lim (2x 4)x 00,所以则且当xx4 0 ,所以2x 4当x时为无穷小,0时不是无穷小。定理1:当自变量在同一变化过程x x0 (或x )中时:(i)具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和,即：A为f(x)的极限f (x) A为无穷小。(ii )若一函数可表示为一常数与无穷小之和， 那么该常数就是其极限(证明在下一节)。、无穷大若当xx0或x时f (x),就称f(x)为当x x0或x 时的无穷大定义2:若对M 0,0(X 0),使得当 0 x x°(x X)时，有 f(x) M

40、,就称 f (x)当 xx0(x)时的无穷大，记作：lim x x0f (x) (lim f(x) ) ox注1:同理还有f(x),f(x)时的定义2 :无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。3 :若lim f(x) 或lim f(x) ,按通常意义将，f(x)的极限不存在 x X0x【例2】可证明lim 4,所以当x 0时J2为无穷大。x 0 xx定理2:当自变量在同一变化过程中时，(i)若f(x)为无穷大，则,为无穷小。 f (x)1(ii )若f(x)为无穷小，且f(x) 0,则，为无穷大。 f(x)(证明自己看)§ 1、6 极限运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也

41、是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。定理1:有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 lim 0,lim 0 lim( ) 0 (证明 在后面)。注1: u与 都表示函数u(x)与(x),而不是常数。2 :“lim”下放没标自变量的变化过程，这说明对 xx。及x均成立，但须同一过程。定理2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设 u有界，lim 0 lim u 0。证明：证明xx0时的情况，设函数u在h的某邻域U(x0, 1)内有界，即 M 0,当x U(x0, 1)时，有u M ,又设 为当xx0时的无穷小，即lim 0,故x x对 0,0(1),当 x U(x0,)时，有I I |u I u|

42、I M M11 M所以limu 0,即u为无穷小；同理可证x 时的情形。 x x0推论1:常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若 k为常数，lim 0 lim k 0。推论2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设lim 1 lim 2lim n 0 lim( 1 2 n) 0。则 lim f (x) g(x)存在，且定理 3 : 若 lim f(x) A,limg(x) Blim f(x) g(x) A B lim f (x) lim g(x)。证明：只证lim f(x) g(x) A B,过程为x x0,对 0, i 0,当0 x凡 i时，有|f(x) A,，对此， 20,当0 1x %2时，有g(

43、x) B万，取 min 1, 2，当 0 x x0时，有(f(x) g(x) (A B) |(f(x) A) (g(x) B) |f(x) A |g(x) B -所以 lim(f(x) g(x) A B o x x0其它情况类似可证。注1:本定理可推广到有限个函数的情形。2 :在本定理中，设 lim f(x) A,g(x) A(lim g(x) A) lim( f(x) A) A A 0 ,反之,若 f (x) A ,其中 lim 0 lim f (x) lim( A ) A lim A ,即证 § 1.5定理1。3:若令A A 0,即证定理1。定理 4:若 lim f (x) A,

44、 lim g(x) B ,则 lim f (x) g(x)存在,且lim f (x) g(x) AB lim f (x) lim g(x)。证明：因为 lim f (x) A,lim g(x) B ,由 § 1.5 定理 1 (i ) f (x) A ,g(x) B ,(,均为无穷小) f(x)g(x) (A)(B)AB (A,由定理2的推论1.2及定理1为无穷小,再由§ 1.5定理lim f (x)g(x) AB o推论lim cf (x)clim f (x) ( c 为常数)。推论2:lim f(x)nlim f (x)n ( n 为正整数)。定理5:设 lim f (

45、x)A,lim g(x) B 0 ,则 limf(x)g(x)lim f (x)。lim g(x)证明：设f(x) A,g(x) B (,为无穷小)，考虑差:f(x) A A gCx) B BABAB B(B )其分子B A为无穷小，分母B(B )B2 1,一0,我们不难证明 1有界B(B )(详细过程见书上)-为无穷小,B(B )记为，所以胃A ，由 § 1.5 B定理 1 (ii )lim 2)g(x)注：以上定理对数列亦成立。定理6:如果(x)(x),且 lim(x) a,lim(x)【例11lim (axx xob) lim ax limx % x a lim xx xob

46、ax0 b 0【例2】lim xnx xolim xnx0n 。x x)推论1:设 f (x)nn 1a0xa1xan ixan为一多项式,1x0 an f (xo)nn 1lim f (x) a0x0a1x0x x0推论2:设P(x),Q(x)均为多项式，且Q%)0,由定理5,lim % x x0Q(x)P(xO)oQ(x。)【例3】lim(x2 5x 10 12 5 1 13。x 1【例4】3_3_x7x907095lim -7 3 (因为 00 3x 0 x5 x 305 0 30)。注：若Q(x°) 0,则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。22【例5】求lim 2。x 1

47、2x x 3解：当x 1时，分子、分母均趋于0,因为x 1 ,约去公因子(x 1)x2 x 2 x 23所以 lim -2 lim -。x 12x2 x 3 x 1 2x 35【例6】求lim (解：当x1，x3 x3-3- x-全没有极限，故不能直接用定理13,但当x 1时,(x 1)(x 2)(x1)(x2x 1)lim (x 1 xlim 丁x 1x2(1)21 2Tn【例7】求lim解：当x 2时，x 20,故不能直接用定理5,又4,考虑:limx 2x 22x0,由§ 1.5定理2 (ii2. x limx 2 x 2【例8】设a0 0,b00,m, n为自然数,limxn

48、a°xaxmboxm 1b1x曳bma。 bo0证明：当x时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5,先变形:nn 1a1 a。ana°xaxlimmm 1ann mlim xxnxKb1b0一xbmm xmm 1xb0xbxbm xa0 0010b000a0000 0b000a0 00b0 00【例9】求lim (24三)。n n nn先变形:1o2解：当n 时，这是无穷多项相加，故不能用§ 1.6定理3,【例10】证明limx证明：先考虑11, x为x的整数部分。x，因为x x是有界函数，且当x0,所以由x§ 1.6定理2xx)0

49、lim x x xxx xlim 0 lim(1x xx§ 1.7 极限存在准则、两个重要极限准则I :如果数列xn,Yn,zn满足下列条件:。)对 n, Ynxnzn;(ii ) lim yn lim znann0, N10 ,当 n N1 时,Yn那么，数列xn的极限存在，且limxnn证明：因为lim yn lim zn a ,所以对 nnaYna，对N2，当nzn a ，即 azn因为YnxnznMaxN1, N2时，有 aynxnZn即有：axn，即Xnlim xn na。准则I '如果函数f (x), g(x), h(x)满足下列条件:(i )当 x U (x。,

50、 r)( xM )时，有 g(x) f (x)h(x) 0(ii )当 xX0(X)时,有 g(x) A, h(x)那么当x x0 (x)时，f(x)的极限存在，且等于A。作为准则I '的应用，下面将证明第一个重要极限:sin x limx 0 x证明：作单位圆，如下图:设x为圆心角AOB,并设0 x 见图不难发现:2S AOBSU形 AOBS AOD ，即：一-sin x21 -x 2xsinx1-tanx ,即21sinx x tanx,cosxsin x /cosx 1x【例11【例2】【例3】【例4】（因为0 x2 ,所以上不等式不改变方向）当x改变符号时，cosx,x sinx士 sinxx ,有 cosx 及1的值均不变,故对满足0 |x 万的一切又因为cosx 12所以1 -2(1cosx而 lim cosx lim 1 1cosx)2 x1 2sin ()2lim cosxx 0sin x2 x 24证毕。一 令 tcsin x t lim x 0 xarcsin xlimt 0tsin t1 limt 0 sin ttlimxlimx 0sinxx tan3xlimxlim