统编人教A版高中必修第一册数学《2.3二次函数与一元二次方程、不等式》集体备课教案教学设计

1、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第 1 课时 一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1 .掌握一元二次不等式的解法(重点).2 .能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1 一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，称为一元二次不等式成立 ” 不等式x2>1 的解集及其含义是什么？提示 ： 不等式x2>1 的解集为x|x< 1 或 x>1， 该集合中每一个元素都是不 等式的解 ， 即不等式的每一个解均使不等式成立4 三个 “ 二次 ” 的关系设yax2bxc(a>0)，方程

2、ax2bxc0 的判别式b24ac判别式> 0 0< 0解不等式y> 0或y< 0的步骤求方程y 0 的解有两个不相等的实数根x1 ， x2(x1< x2)有两个相等的实数根x1 x2b2a没有 实数根画函数y ax2 bx c(a> 0)的图象解 得等的 集不式y> 0 x|x<x1_或x>x2bx x2aRy< 0 x|x1<x<x2?思考3： 若一元二次不等式ax2 x 1>0 的解集为R， 则实数 a 应满足什么条件？提示 ： 结合二次函数图象可知， 若一元二次不等式ax2 x 1>0 的解集为R，a&

3、gt;0，则解得a ?， 所以不存在a 使不等式ax2 x 1>0 的解集为R.1 4a<0，1不等式3 5x 2x2 0 的解集为 ()1A. x x> 3或 x< 21B. x 2 x 31C. x x 3或 x2D R1C35x2x20?2x25x30?（x3）（2x1）0?x3 或x 2.1B. x 3< x< 12不等式3x2 2x 1> 0的解集为 ()1A. x 1< x<3C ?D RD因为（2）24×3×14128<0，所以不等式3x22x1> 0R.3不等式x2 2x 5>2x的解集

4、是 x|x>5 或 x< 1由x22x5>2x，得x24x5>0，因为x24x501,5，故 x2 4x 5>0 的解集为 x|x< 1 或 x>5 4不等式3x2 5x 4>0的解集为 ?原不等式变形为3x25x4<0.因为(5)24×3×423<0， 所以3x2 5x 4 0 无解 由函数y 3x2 5x 4 的图象可知， 3x2 5x 4<0 的解集为?.一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x2 7x 3>0；281(2) 4x2 18x 4 0；(3) 2x2 3x 2<0.

5、解(1)因为724×2×325>0，所以方程2x27x30 有两个不等1实根x13， x22.又二次函数y 2x2 7x 3 的图象开口向上， 所以原不等1式的解集为x x> 2或 x< 3 .929(2)原不等式可化为2x 2 0， 所以原不等式的解集为x x 4 .(3)原不等式可化为2x23x2>0，因为 94×2×27<0，所以方程2x2 3x 2 0 无实根 ， 又二次函数y 2x2 3x 2 的图象开口向上， 所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1 化标准 . 通过对不等式的变形，使不等式

6、右侧为0，使二次项系数为正2 判别式. 对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式3 求实根. 求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根4 画草图. 根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.5 写解集 . 根据图象写出不等式的解集.1解下列不等式(1)2x2 3x 2>0；(2)x2 4x 4>0；(3) x2 2x 3<0；(4) 3x2 5x 2>0.1解(1)>0，方程2x23x20的根是x12，x22，不等式2x2 3x 2>0 的解集为x x< 2或 x>2 .(2)0，方程x24x40 的根是x1

7、x22， 不等式x2 4x 4>0 的解集为 x|x 2 .(3)原不等式可化为x2 2x 3>0，由于 <0， 方程xa 2x 3 0 无解 ， 不等式x2 2x 3<0 的解集为R.（4）原不等式可化为3x2 5x 2<0，22由于 >0，方程 3x 5x20 的两根为x1，x21，32 不等式3x2 5x 2>0 的解集为x 3<x<1 .含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于 x的不等式ax2 （a 1）x 1<0.思路点拨 对于二次项的系数a 是否分a 0， a<0， a>0 三类进行讨论？ 当 a 0 时

8、， 是否还要比较两根的大小？解 当 a 0 时 ， 原不等式可化为x>1.当 a 0 时 ， 原不等式可化为（ax 1）（x 1）<0.1当 a<0 时 ， 不等式可化为x a （x 1）>0， 等式的解集为x|x>1； 当 0<a<1 时 ， 原不等式的解集为x 1<x<； 当 a 1 时 ，<1，x<1或 x>1.aa1当 a>0 时 ， 原不等式可化为x a （x 1）<0.11若 a<1， 即 a>1， 则 a<x<1；1若 1， 即 a 1， 则 x ?； a若 1>1，

9、 即 0<a<1 ， 则 1<x<1. aa1综上所述 ， 当 a<0 时 ， 原不等式的解集为x x< 或 x>1 ；当a 0 时 ， 原不a原不等式的解集为?；当a>1 时 ， 原不等式的解集为x 1<x<1a解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒： 对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集不能合并 2解关于x的不等式：ax当 2<a<0 时 ， x 1；a当 a2 时 ， x1；当 a< 2 时 ， 1 x.a综上所述 ，当 2<a<0 时 ， 解集为 x 2 x 1 ； a当 a

10、2 时 ， 解集为 x|x1；2a 2 时 ， 解集为 x 1 xa 2 2x ax(a<0)解 原不等式移项得ax2 (a 2)x 2 0，化简为(x 1)(ax 2) 0. a<0，(x 1) x 2 0.a三个 “ 二次 ” 的关系 探究问题 1 利用函数y x2 2x 3 的图象说明当y>0、 y<0、 y 0 时 x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、 二次不等式有何关系？提示 ： y x2 2x 3 的图象如图所示函数y x2 2x 3 的值满足y>0 时自变量x组成的集合， 亦即二次函数yx2 2x 3 的图象在x轴上方时点的横坐标x的集

11、合x|x< 1 或 x>3；同理 ， 满足 y<0时 x的取值集合为x| 1<x<3， 满足y 0 时 x的取值集合， 亦即y x2 2x 3 图象与 x 轴交点横坐标组成的集合 1,3 这说明：方程ax2bxc0(a0)和不等式ax2bxc>0(a>0)或ax2bxc<0(a>0)是函数y ax2 bx c(a 0)的一种特殊情况， 它们之间是一种包含关系， 也就是当 y 0 时 ， 函数y ax2 bx c(a 0)就转化为方程， 当 y>0 或 y<0 时 ， 就转化为一元二次不等式2 方程x2 2x 3 0 与不等式x2

12、 2x 3>0 的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示 ： 方程x2 2x 3 0 的解集为 1,3 不等式x2 2x 3>0的解集为 x|x< 1 或 x>3， 观察发现不等式x2 2x 3>0解集的端点值恰好是方程x2 2x 3 0 的根 3 设一元二次不等式ax2 bx c>0(a>0)和 ax2 bx c<0(a>0)的解集分别为提示 ：x|x<x1 或 x>x2， x|x1<x<x2(x1<x2)， 则 x1 x2， x1x2 为何值？ax2 bx c>0(a>0)和

13、 ax2 bx c<0(a>0)的解集分别bx1 x2，为 x|x<x1 或 x>x2， x|x1<x<x2(x1<x2)， 则acx1x2，a端点值是相应方程的根【例3】已知关于x的不等式ax2 bx c>0 的解集为 x|2<x<3，求关于xcx2 bx a<0 的解集18解 法一： 由不等式ax2 bx c>0 的解集为 x|2<x<3可知 ， a<0， 且 2和3 是方程ax2bxc0 的两根 ， 由根与系数的关系可知b5，c6.由a<0 知aa1x> 2c<0，cb65，故不等

14、式cx2bxa<0，即x2cbxca>0，即x265x61>0， 解得11x<3或 x>2， 所以不等式cx2 bx a<0的解集为x x<法二： 由不等式ax2 bx c>0的解集为 x|2<x<3可知 ， a<0， 且 2和 3 是方程ax2bxc0 的两根 ， 所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6a?b22115a，c6a，故不等式cx bxa<0，即 6ax 5axa<0? 6ax3x2<0，故原不等式的解集为x x<1x> 2解 由根与系数的关系知b5， c 6 且 a<

15、0.aa c<0， 故不等式cx设方程cx2 bx a 0 的两根分别为x1， x2， ba 则 x1 x2， x1 · x2， bx a>0，c6即 x2 bcx ac<0， 即x2 6已知以a， b， c 为参数的不等式如ax2 bx c> 0 的解集， 求解其他不等式的解集时，一般遵循：x 6b1 c法二： 由已知得a< 0 且 3 2a， 3 × 2 a知 c> 0，<0.11解之得 x 2<x< 3 .2 （变条件）若将本例中的条件“关于x的不等式ax2 bx c>0 的解集为1 x|2<x<

16、3变为“关于x的不等式ax2 bx c 0的解集是x 3 x 2 .求不等式 cx2 bx a<0 的解集11解 法一： 由ax2bxc0 的解集为x x2 知 a<0.又× 233ca< 0， 则 c> 0.1又 ， 2为方程ax2 bx c 0 的两个根 ，3b5b5 ， a 3，a3.c252又 a3，b3a， c3a， 不等式变为 23a x2 35a x a< 0，2即 2ax 5ax 3a> 0.又 a< 0，2x2 5x 3< 0，1所求不等式的解集为x 3< x< 12 .a1其中c1 3× 根据根

17、与系数的关系把b， c 用 a 表示出来并代入所要解的不等式； 约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2bxc>0(a>0)或ax2bxc<0(a> 0)；求方程ax2bxc0(a>0)的根，并画出对应函数yax2bxc 图象的简图；由图象得出不等式的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当 m<n 时，若(x m)(x n)> 0，则可得x|x> n 或 x<

18、; m ；若 (x m)(x n)< 0，则可得 x|m< x< n有口诀如下：大于取两边，小于取中间2含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，32，ba cca13 211511 22，x111 3， x2 21.33×2 31往往要对参数进行分类讨论，为了做不等式cx2 bx a< 0 的解集为x 3< x< 2 到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a> 0， a< 0， a 0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根( >0)，一根( 0)，无根( &l

19、t;0)(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1> x2，x1 x2， x1 < x2.3由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.1思考辨析(1)mx2 5x<0 是一元二次不等式(2)若a>0，则一元二次不等式ax2 1>0 无解 ()(3)若一元二次方程ax2 bx c 0 的两根为x1， x2(x1<x2)，则一元二次不等式 ax2bxc<0 的解集为 x|x1<x<x2 ()(4)不等式 x22x3>0 的解集为R.()提示 (1)错误 当m 0 时 ， 是一元一次不等式；当m 0 时 ， 是一元

20、二次不等式 (2)错误 因为a>0， 所以不等式ax2 1>0 恒成立 ， 即原不等式的解集为R.(3)错误 当 a>0 时 ， ax2 bx c<0 的解集为x|x1<x<x2， 否则不成立(4)正确 因为 ( 2)2 12<0， 所以不等式x2 2x 3>0的解集为R.答案 (1)×(2)×(3)×(4)2设a< 1，则关于x的不等式a(x a) x a1 <0的解集为 x x<a或x>1因为a<1， 所以a(xa) ·x1 <0?(xa) · x1 >0.又aaaa< 1， 所以>a， 所以 x> 或 x<a.aa13已知关于x的