2010-2019历年高考数学《空间中点、直线、平面之间的位置关系》真题汇总

1、2010-2019历年高考数学空间中点、直线、平面之间的位置关系真题汇总2010-2019历年高考数学空间中点、直线、平面之间的位置关系真题汇总专题八立体几何第二十三讲 空间中点、直线、平面之间的位置关系2019 年1. (2019全国III文8)如图，点 N为正方形 ABCD的中心， ECD为正三角形，平面 ECDX平面ABCD，M是线段ED的中点，则A. BM=EN,且直线BM、EN是相交直线B. BM王N,且直线 BM, EN是相交直线C. BM=EN,且直线 BM、EN是异面直线D. BM4N,且直线BM, EN是异面直线2. （2019全国1文19）如图，直四棱柱 ABCD- A1B

2、1C1D1的底面是菱形， AA=4, AB=2, /BAD=60° , E, M, N 分别是 BC, BB1, A1D 的中点.Di Ci(1)证明：MN /平面 C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离.3. （2019全国II文7）设a, 3为两个平面，则 all 3的充要条件是A. a内有无数条直线与 3平行B. a内有两条相交直线与3平行C. % 3平行于同一条直线D. % 3垂直于同一平面4. （2019北京文13）已知l, m是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断:Um;m /;l，.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：5. （20

3、19江苏16）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分别为 BC, AC的中点，AB=BC.求证：（1） A1B1/平面 DEC; BEX C1E.6. （2019全国II文17）如图，长方体 ABCD*1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点 E在棱AA1上，BEX EC.（1）证明：BE,平面EBC1；(2)若AE=AiE, AB=3,求四棱锥E BBC1C的体积.7. (2019全国III文19)图1是由矩形 ADER Rt/XABC和菱形BFGC&成的一个平面图形，其中AB=1, BE=BF=2, /FBG=60°.将其沿 AB, BC折起使得 BE与BF

4、重合，连结 DG,如图2.(1)证明图2中的A, C, G, D四点共面，且平面 ABC平面BCGE(2)求图2中的四边形 ACGD的面积.8. (2019北京文18)如图，在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCQ底部ABCD为菱形,E为CD的中点.(I )求证：BDL平面PAC;(II)若/ ABC=60° ,求证：平面 PABL平面 PAE;(出)棱PB上是否存在点F,使得CF/平面PAE?说明理由.JiC9. (2019天津文17)如图，在四B隹P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，VPCD为等边三角形，平面 PAC 平面PCD, PA CD , CD 2, AD 3,P

5、(I)设G , H分别为PB , AC的中点，求证： GH /平面PAD ;(n)求证：PA 平面PCD ;(出)求直线 AD与平面PAC所成角的正弦值.10. (2019江苏16)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，D, E分别为BC, AC的中点，AB=BC.求证：(1) A1B1/平面 DEC;(2) BEX GE.11. ( 2019浙江19 )如图，已知三棱柱ABC A1B1C1 ,平面A1ACC1平面ABC, ABC 90 ,BAC 30 ,AA Ac AC, E,F 分别是 AC, A1B1 的中点.(1)证明：EF BC;(2)求直线EF与平面ARC所成角的余弦值12.

6、(2019北京文18)如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面ABCD,底部ABCD为菱形，E为CD的中点.(I )求证：BD,平面PAC；(n)若/ ABC=60° ,求证：平面 PABL平面 PAE(出)棱PB上是否存在点F,使得CF/平面PAE?说明理由.13. (2019全国1文16)已知/ ACB=90° , P为平面ABC外一点，PO2,点P至IJ/ACB两边AC, BC的距离均为 J3,那么P到平面ABC的距离为 14. （2019全国1文19）如图，直四棱柱 ABCD- A1B1C1D1的底面是菱形， AA=4, AB=2, /BAD=60° ,

7、 E, M, N 分别是 BC, BB1, A1D 的中点.(1)证明：MN /平面 C1DE;(2)求点C到平面GDE的距离.15. (2019天津文17)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为平行四边形， VPCD为等边三角形，平面 PAC 平面PCD, PA CD , CD 2, AD 3,(I)设G , H分别为PB , AC的中点，求证： GH /平面PAD ;(n)求证：PA 平面PCD ;(m)求直线 AD与平面PAC所成角的正弦值.16. (2019浙江8)设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不 含端点)，记直线PB与直线AC所成角为”,

8、直线PB与平面ABC所成角为&二面角P-AC-B的平面角为%则A.火丫，长丫B. 3<a, 3<rC.伊 F aD. a< 3, F 317. ( 2019浙江19 )如图，已知三棱柱ABC A1B1C1 ,平面AACC1平面ABC, ABC 90, BAC 30, AA AC AC,E,F 分别是 AC, A1B1 的中点.(1)证明：EF BC ;(2)求直线EF与平面AiBC所成角的余弦值2010-2018 年、选择题（2018全国卷n ）在正方体ABCDAB1C1D1 中,E为棱CC1的中点，则异面直线 AE与2.3.CD所成角的正切值为B.D."2

9、（2018浙江）已知平面n满足mA.充分不必要条件C.充分必要条件（2017新课标I）如图，在下列四个正方体中,Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接B.D.必要不充分条件既不充分也不必要条件B为正方体的两个顶点，M , N ,AB与平面MNQ不平行的是4. （2017新课标出）在正方体 ABCD AB1clD1中，E为棱CD的中点，则A. A1E DC1B. A1E BDC. AE BC1D. AE AC5.（2016年全国I卷）平面 a过正方体 ABCD- A1B1C1D1的顶点A, a/平面CB1D1, al平面ABCD=maI平面ABB1 A1=n,则m, n所成角的正弦值为6.2

10、B. 21D.一3（2016年浙江）已知互相垂直的平面交于直线l.若直线 m, n满足m / a, n± 3,C.n± l7.（2015新课标1）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： 今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？ ”其意思为： 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有A. 14 斛B. 22 斛C. 36斛8.（2015新课标2）已知A、B是球。的球面上两点,AOB 90

11、, C为该球面上的动9.点.若三棱锥 O ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为A. 36B. 64C. 144D. 256（2015广东）若直线11和12是异面直线,11在平面内,l2在平面 内，l是平面 与平的交线，则下列命题正确的是C.l与l1 , l 2都不相交l至多与l1，l2中的一条相交B. l 与 Ii,D. l至少与12都相交l-l2中的一条相交10. （2015浙江）如图，已知 ABC, D是AB的中点，沿直线CD将 ACD翻折成 ACD所成二面角 A CD B的平面角为，则11. （2014广东）若空间中四条两两不同的直线11/2,134 ,满足11 121213,13

12、 L,则卜面结论一定正确的是A.1114 B .11/14C.11,14既不垂直也不平行D . 11,14的位置关系不确定12.（2014浙江）设m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面13.A.若 m n , n/ ，则 mB.若 m/C LI *.右m（2014辽宁）A.若 m/,n ,n 则 mD.若m已知m, n表示两条不同直线,n/，则 m/nB.若m表不平面,卜列说法正确的是，则m nC.若mD.若 m/ , m14.（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面 ABC的墙面前的点 A处进行射击训练，已准目标点P所成角）。若30A.5B.1015.（2014四川）如图，在正方体ABC

13、D A4GD1中，点O为线段BD的中点。设点P在知点A到墙面的距离为 AB,某目标点P沿墙面的射击线 CM移动，此人为了准确瞄需计算由点 A观察点P的仰角 的大小（仰角 为直线AP与平面ABCAB 15m, AC 25m, BCM 30 则 tan 的最大值线段CCi上，直线OP与平面ABD所成的角为 ，则sin的取值范围是3A. 3，116. （2013新课标l ,l17.18.19.20.C36,2322 2D 3 ，12）已知m,n为异面直线,且l /c. 与相交，且交线垂直于（2013广东）设 m, n是两条不同的直线A.,nB./,m,nC.n,m,nD.,m/n,n/（2012浙江

14、）设l是直线,，则m n，则 m/n，则，则，平面 ，n，平面C.若（2012浙江）已知矩形.直线l满足l m,l n ,D . 与相交，且交线平行于l是两个不同的平面，下列命题中正确的是是两个不同的平面ABCD, AB 1在的直线进行翻折，在翻折过程中,A.存在某个位置，使得直线B.存在某个位置，使得直线C.存在某个位置，使得直线D.对任意位置，三对直线“（2011浙江）下列命题中错误A.如果平面平面，AC与直线AB与直线AD与直线B.若 l /D.若BD垂直CD垂直BC垂直ABD沿矩形的对角线 BD所AC与 BD”，“ AB与 CD”,“ AD与BC ”均不垂直的是那么平面内一定存在直线平

15、行于平面B.如果平面 不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面平面，平面 平面 ，=1 ,那么l 平面D.如果平面 平面,那么平面内所有直线都垂直于平面21. （2010山东）在空间，下列命题正确的是A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行二、填空题22. （2018全国卷H ）已知圆锥的顶点为 S,母线SA, SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角 为30 ,若4SAB的面积为8,则该圆锥的体积为 .三、解答题23. （2018全国卷H）如图，在三棱锥 P ABC中，AB BC 2 J2 ,PA

16、 PB PC AC 4,。为 AC 的中点.证明：PO 平面ABC；（2）若点M在BC上，且MC 2MB ,求点C到平面POM的距离.24. （2018全国卷出）如图，矩形 abcd所在平面与半圆弧 Cd所在平面垂直， m是Cd 上异于C, D的点.证明：平面AMD，平面BMC ；（2）在线段AM上是否存在点P ,使得MC /平面PBD ?说明理由.25. (2018北京)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD，平面ABCD, PA ± PD , PA=PD, E, F 分别为 AD , PB 的中点.(1)求证：PELBC；(2)求证：平面PAB,平面PCD

17、；求证：EF/平面PCD.26. (2018天津)如图，在四面体ABCD中，ABC是等边三角形，平面ABC，平面ABD , 点 M 为棱 AB 的中点， AB 2, AD 203, BAD 900.(1)求证：AD ± BC ；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.27. （2018 江苏）在平行六面体 ABCD A1B1clD1 中，AA1 AB, AB1 B1cl.求证：（1）AB/ 平面 AB1C；（2）平面ABB1A 平面ABC.28. （2018浙江）如图，已知多面体 ABCA1B1C1 , A1A, B1B , C1C均垂直

18、于平面 ABC, ABC 120°, A1A 4, C1c 1 , AB BC B1B 2 .(1)证明：AB1L平面 AB1G ;(2)求直线AC与平面ABB1所成的角的正弦值.29. (2017新课标n)如图，四棱锥 P ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面1 _°ABCD, AB BC AD , BAD ABC 90 .2证明：直线BC/平面PAD；(2)若 PCD的面积为2 J7 ,求四棱锥P ABCD的体积。30. (2017新课标出)如图，四面体 ABCD中，ABC是正三角形， AD CD.(1)证明：AC BD；(2)已知 ACD是直角三角形，AB

19、BD .若E为棱BD上与D不重合的点，且AE EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.31. (2017天津)如图，在四麴i P ABCD 中，AD 平面 PDC , AD/ BC , PD PB ,AD 1, BC 3, CD 4, PD 2.(I)求异面直线 AP与BC所成角的余弦值；(n)求证：PD 平面PBC ;(m)求直线 AB与平面PBC所成角的正弦值.32. (2017山东)由四棱柱 ABCD ABCQi截去三棱锥C BCDI后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD为正方形，。为AC与BD的交点，E为AD的中点，AE 平面 ABCD,(I)证明：AO /平面 BiCDi

20、；(n)设M是OD的中点，证明：平面 A1EM 平面B1CD1 .33. （ 2017 北京）如图，在三棱锥 P ABC 中，PA AB, PA BC , AB BC ,PA ABBC2, D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(I )求证:(n)求证:PA平面BD ;BDE 平面 PAC ；(出)当PA /平面BDE时，求三棱锥 E BCD的体积.34.（2017浙江）如图，已知四棱锥 P ABCD , PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC/AD, CD AD, PC AD 2DC 2CB , E 为 PD 的中点.（I）证明：CE /平面PAB;（n ）求直线 CE与平面PBC所成

21、角的正弦值.35.（2017江苏）如图，在三棱锥 A BCD中，AB，AD, BCXBD,平面 ABD,平面 BCD, 点E、F （E与A、D不重合）分别在棱 AD, BD上，且EFXAD .求证：（1） EF /平面ABC;2. ） AD LAC.36.（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器n的高均为32cm,容器I的底面对角线 AC的长为10 77 cm,容器n的两底面对角线 EG , E1Gl的长分别为14cm和62cm.分别在容器I和容器n中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在

22、容器I中，l的一端置于点 A处，另一端置于侧棱 CC1上，求l没入水中 部分的长度；(2)将l放在容器n中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱 GG1上，求l没入水中部分的长度.37. (2016年山东)在如图所示的几何体中,D是AC的中点，EF/DB.(I)已知 AB=BC, AE=EC.求证：ACXFB;(II)已知 G, H分别是EC和FB的中点.求证：GH/平面 ABC.38. (2016年天津)如图，四边形ABCD是平行四边形， 平面AED 平面ABCD , EF / AB,AB=2, BC=EF=1 , AE=V6, DE=3, / BAD=60o, G 为 BC 的中点.(I )

23、求证：FG /平面BED;(n)求证：平面BED 平面AED;(出)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.2010-2019历年高考数学空间中点、直线、平面之间的位置关系真题汇总CBDFAE39. (2016年全国I卷)如图，已知正三棱锥 P ABC的侧面是直角三角形，PA 6,顶点P在平面ABC内的正投影为点 D , D在平面PAB内的正投影为点 E ,连结PE并 延长交AB于点G .(I)证明：G是AB的中点；(II)在图中作出点 E在平面PAC内的正投影 F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.B40. (2016年全国II卷)如图，菱形 ABCD的对角线AC与BD交于点。，点

24、E、F分别 在AD , CD上，AE CF , EF交BD于点H ,将ADEF沿EF折到AD EF的位 置.(I)证明：AC HD'；(n)若 AB 5,AC 6,AE 5,OD' 2，2,求五棱锥 D ABCFE 体积.AB=AD AC 3, PA BC 4, M 为线段 AD 上一点，AM 2MD , N 为 PC 的中点.(I)证明MN P平面PAB；(n)求四面体 N BCM的体积.42. (2015新课标1)如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE 平面ABCD .(I)证明：平面 AEC 平面BED ；(n)若 ABC 120°, AE EC,三

25、棱锥E ACD的体积为-6 ,求该三棱锥的3侧面积.43. (2015新课标2)如图，长方体ABCD ABC1D1中，AB 16,BC 10, AA1 8点E, F 分别在 A1B1, D1cl 上，A1E D1F 4 .过点 E , F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.疗！(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)(n)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.44. (2014山东)如图，四棱锥 P ABCD中，AP 平面PCD, AD/ BC ,1，、，一AB BC AD,E,F分别为线段 AD ,PC的中点. 25(I)求证：AP/平面BEF ;(n)求证：BE 平面P

26、AC.45. (2014江苏)如图，在三棱锥 P ABC中，D, E, F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA AC, PA 6, BC 8,DF 5.求证：(I)直线PA /平面DEF ;(n )平面BDE 平面ABC .46. (2014新课标2)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA，平面ABCD ,E为PD的中点.(I)证明：PB /平面AEC ；(n)设二面角D AE C为60。，AP=1, AD = J3,求三棱锥E ACD的体积.47.(2014天津)如图，四棱锥P ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA BD 近,AD 2,PA PD V5,E,F分别是棱A

27、D, PC的中点.(I)证明：EF /平面PAB ;(n )若二面角 P AD B为60°,(i )证明：平面 PBC，平面ABCD ；(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.E48.(2013 浙江)如图，在四棱锥 P ABCD 中，FAL面 ABCD, AB=BC=2, AD=CD=V7,PA=A ABC=120° , G为线段PC上的点.(I )证明：BD,面 APC ;(n )若G是PC的中点，求DG与APC所成的角的正切值；(出)若G满足PC,面BGD,求PG的值.GC49. (2013辽宁)如图，AB是圆。的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆。上 的点.

28、(I)求证：BC 平面PAC ；(n)设Q为PA的中点，G为 AOC的重心，求证： QG /平面PBC .AB1C1 中，A1B1ACi50. （2012江苏）如图，在直三棱柱ABCD , E分别是棱BC , CCi上的点（点D不同于点C）,且ADDE,F为B1C1的中点.求证：（I）平面ADE 平面BCC1B1；（n）直线AF平面ADE .51. .（2012广东）如图所示，在四麴隹P ABCD中，AB 平面PAD , AB/CD,PD AD,1_pCE是PB中点，F是DC上的点，且DF AB, PH为 PAD中AD边上的高. 2（I）证明：PH 平面ABCD；（n）若PH 1,AD 72,

29、 FC 1 ,求三棱锥E BCF的体积；（出）证明：EF 平面PAB .52. （2011 江苏）如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD，平面 ABCD ,AB=AD,/BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.2010-2019历年高考数学空间中点、直线、平面之间的位置关系真题汇总求证：(I)直线EF/平面PCD;(n)平面BEF，平面PAD .53. (2011广东)如图，在椎体 P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，且/ DAB=60 PA PD J2,PB=2, E, F 分别是 BC,PC 的中点.(I )证明：AD 平面DEF ;(n )求二面角 P-AD

30、-B的余弦值.54. (2010天津)如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA，平面ABCD ,BC / AD , CD =1, AD = 22 , Z BAD = / CDA = 45 .(I)求异面直线 CE与AF所成角的余弦值;(n)证明CD，平面ABF ;(出)求二面角 B EF A的正切值.55. (2010浙江)如图，在平行四边形 ABCD中，AB =2 BC , / ABC=120 . E为线段2010-2019历年高考数学空间中点、直线、平面之间的位置关系真题汇总AB的中点，将 ADE沿直线DE翻折成 ADE ,使平面A DE，平面BCD , F为 线段AC的

31、中点.(I)求证：BF /平面ADE ；(n)设M为线段DE的中点，求直线 FM与平面A DE所成角的余弦值.答案部分2019 年2019 年1.解析如图所示，联结BE , BD.因为点N为正方形ABCD的中心，AECD为正三角形，平面ECD平面ABCD , M是线段ED的中点，所以BM 平面BDE , EN 平面BDE ,因为BM是4BDE中DE边上的中线，EN是4BDE中BD边上的中线，直线 BM , EN是相交直l BE J3a2_5 a2 V2a线，设 DE a,则 BD V2a, V44,BM a EN . ：1- a2 a2 a所以 2, V44,所以BM EN .故选b.2.解析

32、(1)连结B1C，ME.因为M, E分别为班凤的中点，所以ME " B1c，且1 -MEB1C2.又因为N为AD的中点，所以1NDA1D2由题设知A1B1= DC,可得BC= AD,故ME= ND，因此四边形mnde为平行四边形，MN/ED .XMN 平面 C1DE ,所以 MN/平面 C1DE.(2)过C作C1E的垂线，垂足为 H.由已知可得DE BC , DE C1C,所以DEL平面C1CE ,故DECH.从而CH，平面C1DE ,故CH的长即为C到平面C1DE的距离,由已知可得CE=1, CiC=4,所以C1E4.万174%万从而点C到平面C1DE的距离为 173.解析：对于A

33、, 内有无数条直线与平行，则 与相交或对于B,内有两条相交直线与平行，则 ；对于C,平行于同一条直线，则 与 相交或11 ,排除；对于D,垂直于同一平面，则 与 相交或11 ,排除.故选B.4 .解析若m ，过m作平面I m,则m/m，又l ，则1 m，又m,同在内，所以l m ,即.5 .证明：(1)因为D, E分别为BC, AC的中点， 所以 ED / AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB/A1B1,所以 A1B1 / ED.又因为ED?平面DEC1, A1B1 平面DEC1,所以A1B1 /平面DEC1.(2)因为AB=BC, E为AC的中点，所以 BEXAC.因为三棱柱AB

34、C-A1B1C1是直棱柱，所以 CC平面ABC.又因为BE?平面ABC,所以CCiXBE.因为 CiC?平面 AiACC 1, AC?平面 A1ACC1, CiCAAC=C,所以BE，平面 AiACCi.因为CiE?平面AiACCi,所以BEXCiE.6 .解：（1）由已知得BiC平面ABBiAi, BE 平面ABBiAi, 故 BG BE.又BE EG,所以be,平面EBG.AiEBi 45（2）由（i）知/ BEBi=90°.由题设知 RtAABERtAAi BiE,所以' 故 AE=AB=3, AA 2AE 6.作EF BBi,垂足为f,则ef,平面BBiCiC，且EF

35、 AB 3.iV 3 6 3 i8所以，四棱锥E BB>CiC的体积3.7.解析(i)由已知得 AD PBE, CG PBE,所以AD PCG,故AD, CG确定A, C, G, D四点共面.由已知得AB BE, AB BC,故AB 平面BCGE.又因为AB 平面ABC,所以平面ABC 平面BCGE.(2)取CG的中点M ,联结EM , DM .因为AB/ DE , AB 平面BCGE,所以DE 平面BCGE ,故DE由已知，四边形BCGE是菱形，且 EBC 60得EM CG ,故CG 因此DM CG .一个平面，从而CG.平面DEM .在 RtA DEM 中，DE i ,EM，故 DM

36、 2所以四边形ACGD的面积为4.8 .解析（I ）因为PA 平面ABCD,且BD 平面ABCD ,所以PA BD .又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC .又 PA 平面 PAC, AC 平面 PAC, PAI AC A所以BD 平面PAC.P（n）因为 PA，平面 ABCD, AE 平面ABCD, 所以FAXAE.因为底面ABCD为菱形，/ ABC=60° ,且E为CD的中点, 所以AEXCD.又 AB/CD ,所以 ABXAE.又PA 平面PAB , AB 平面PAB , PAI AB A ,所以AEL平面PAB.又AE 平面PAE ,所以平面PAB，平面PAE .（出）棱

37、PB上存在点F,且F为PB的中点，使得CF/平面PAE.取F为PB的中点，取 G为PA的中点，连结 CF, FG, EG.工因为G , F分另为PA , PB的中点，则FG / AB,且FG= 2 ab .因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，2所以 CE/ AB,且 CE= 2 ab.所以 FG / CE,且 FG = CE.所以四边形CEGF为平行四边形，所以 CF / EG .因为CF 平面PAE, EG 平面RAE, 所以CF /平面PAE.9 .解析（I）连接 BD ,易知 AC I BD H , BH DH .又由 BG PG ,故 GH / PD , 又因为GH 平面PAD

38、, PD 平面PAD ,所以GH /平面PAD .（n）取棱PC的中点N ,连接DN .依题意，得DN PC，又因为平面PAC 平面PCD , 平面PACI平面PCD PC ,所以DN 平面PAC，又PA 平面PAC，故DN PA. 又已知PA CD, CDI DN D ,所以PA平面PCD.（出）连接AN ,由（n）中DN 平面PAC ,可知DAN为直线AD与平面PAC所成 的角，因为PCD为等边三角形，CD 2且N为PC的中点，所以DN J3.又DN AN,sin DAN故在RtAAND中，DN 3AD 3所以，直线ad与平面PAC所成角的正弦值为1.1. 证明：（1）因为D, E分别为B

39、C, AC的中点，所以 ED / AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB/A1B1,所以 A1B1 / ED.又因为ED?平面DEC1, A1B1 平面DEC1, 所以AiBi /平面DECi.（2）因为AB=BC, E为AC的中点，所以 BEXAC.因为三棱柱ABC-AiBiCi是直棱柱，所以 CC平面ABC.又因为BE?平面ABC,所以CCiXBE.因为 CiC?平面 AiACC 1, AC?平面 AiACCi, CiCAAC=C, 所以BE,平面AiACCi.因为CiE?平面AiACCi,所以BEXCiE.11 . （I）连接AiE,因为AiA=AiC, E是AC的中点，所以

40、AiEXAC. 又平面AiACCi，平面ABC, A1E 平面A1ACC1,平面 AiACCi 叶面 ABC=AC,所以，AiEL平面 ABC,则 AiEXBC.又因为 A1F/AB, /ABC=90°,故 BCXAiF.所以BCL平面AiEF.因此EFXBC.ft第19题图（n）取BC中点G,连接EG, GF,则EGFAi是平行四边形.由于AiE，平面ABC,故AEiXEG,所以平行四边形 EGFAi为矩形.由（I）得BCL平面EGFAi,则平面AiBC,平面EGFAi,所以EF在平面AiBC上的射影在直线 AiG上.连接AiG交EF于O,则/ EOG是直线EF与平面AiBC所成的

41、角（或其补角）不妨设AC=4,则在Rt区iEG中，AiE=23, EG= J3 .EO OG由于。为AiG的中点，故A1G2EO2 OG2 EG23cos EOG所以2EO OG 5.3因此，直线EF与平面AiBC所成角的余弦值是 5 .12 .解析（I）因为PA 平面ABCD,且BD 平面ABCD ,所以PA BD .又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC .又PA平面PAC , AC平面 PAC)PA I AC A所以BD 平面PAC.（n）因为 PA，平面 ABCD, AE 平面 ABCD, 所以PAXAE.因为底面ABCD为菱形，/ ABC=60° ,且E为CD的中点, 所

42、以AEXCD.又 AB/CD ,所以 AB± AE.又PA 平面PAB , AB 平面PAB , PAI AB A ,所以AE，平面PAB.又AE 平面PAE ,所以平面PAB，平面PAE .（出）棱PB上存在点F,且F为PB的中点，使得CF/平面PAE.取F为PB的中点，取 G为PA的中点，连结 CF, FG, EG.1因为G , F分别为PA , PB的中点，则FG / AB,且FG= 2 ab .因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，1所以 CE/ AB,且 CE= 2 ab.所以 FG / CE,且 FG = CE.所以四边形CEGF为平行四边形，所以 CF / EG .

43、因为CF 平面PAE, EG 平面PAE, 所以CF /平面PAE.13.过点P作POL平面ABC交平面ABC于点O,过点P作PDLAC交AC于点D,作PE，BC交BC于点E,联结OD , OC, OE ,则AC 平面POD , BC 平面POE,所以 AC OD,BC OE,又 ACB 90故四边形ODCE为矩形.有所做辅助线可知PD PE遮,所以CDCE所以矩形ODCE为边长是1的正方形，则OC J2.在 rqpco 中，PC 2,0c 72 所以 po V2PO即为点P到平面ABC的距离，即所求距离为 J2.14.解析（1）连结B1C,ME .因为M, E分别为BB1,BC的中点，所以M

44、E ” BC ,且1 -1MEB1cND AD2 .又因为N为AD的中点，所以 2.由题设知AbjDC可得BC= AD,故ME= ND,因此四边形mnde为平行四边形，MN/ED .yMN 平面 C1DE，所以 mn/平面 C1DE .1 2)过C作C1E的垂线，垂足为 H.由已知可得DE BC , DE C1C,所以DE，平面C1CE ,故DECH.从而CH，平面C1DE ,故CH的长即为C到平面C1DE的距离,由已知可得CE=1,CC=4,所以C1E后CH故4.万17417从而点C到平面C1DE的距离为 17DH .又由 BG PG ,故 GH / PD ,15 .解析（I ）连接BD ,

45、易知AC I BD H , BH又因为GH 平面PAD , PD 平面PAD ,所以GH /平面PAD(n)取棱PC的中点N ,连接DN .依题意，得DN PC，又因为平面PAC平面PCD , 平面PAC I平面PCD PC ,所以DN 平面PAC ,又PA 平面PAC ,故DN PA, 又已知PA CD , CD I DN D ,所以PA平面PCD.(出)连接AN ,由(n)中DN 平面PAC ,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为4PCD为等边三角形，CD 2且N为PC的中点，所以DN J3.又DN AN,sin DAN故在RtAAND中，DN _/3AD 3所以，直线AD与平面

46、PAC所成角的正弦值为16 .解析：解法一：如图 G为AC的中点，V在底面的射影为 。，则P在底面上的射影 D在 线段AO上， 作 DE AC于 e,易得 PE/ VG,过 p作 PF/AC于 f,过D作DH / AC ,交BG于H,BPFPBDPEDPF EG DHBDcos则cosPB PBPBPB,可得tanPDEDPDBDtan解法二：由最小值定理可得，记V AC B的平面角为（显然）,由最大角定理可得P为VA的中点,解法三（特殊图形法）：设三棱锥V ABC为棱长为2的正四面体,_6_1 -二 一 可生2:333 .n_3_ 二338ssinsin易得”36 ,可得6 ,33 ,2故选

47、B.17. (I)连接 AiE,因为AiA=AiC, E是AC的中点，所以 AiEXAC.又平面AiACCi,平面ABC, AiE 平面A1ACC1,平面 AiACCi 叶面 ABC=AC,所以，AiE，平面 ABC,则 AiEXBC.又因为 A1F/AB, /ABC=90°,故 BCXAiF.所以BC，平面AiEF.因此EFXBC./?* 第四题图（n）取BC中点G,连接EG, GF,则EGFAi是平行四边形.由于AiE，平面ABC,故AEiXEG,所以平行四边形 EGFAi为矩形.由（I）得BCL平面EGFAi,则平面AiBC,平面EGFAi,所以EF在平面AiBC上的射影在直线

48、 AiG上.连接AiG交EF于O,则/ EOG是直线EF与平面AiBC所成的角（或其补角）不妨设AC=4,则在Rt区iEG中，AiE=2氏，EG= J3 .EO OG由于。为AiG的中点，故A1G222cos EOG所以EO2 OG2 EG22EO OG3因此，直线EF与平面AiBC所成角的余弦值是 5 .20i0-20i8 年1. C【解析】如图，连接BE,因为AB / CD ,所以异面直线AE与CD所成角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB .不妨设正方体的棱长为2,则CE i, BC 2,由勾股定理得BE -5 ,又由AB平面BCCiBi,可得AB BE,tan EAB所以BE .5

49、AB 2 ,故选c.2. A【解析】若m , n , m / n ,由线面平行的判定定理知 m / .若m / m , n ,不一定推出m / n ,直线m与n可能异面，故“ m / n ”是“ m / 的充分不必要条件.故选 A.3. A【解析】由正方体的线线关系，易知B、C、D中AB " MQ ,所以AB /平面MNQ ,只有A不满足.选A.4. C【解析】如图，连结AD,易知ADi平面AiDE，所以ADi AE，又BCi/ ADi,所以BCi平面ADE，故AE BG,选。,5. A【解析】因为过点A的平面 与平面cBiDi平行，平面ABCD /平面AiBiCiDi,所A1B ,

50、则BD与A1B所成的角为所求以 m /B1D1 / BD ,又 AB /平面 CBiDi，所以 n /角，所以m , n所成角的正弦值为6. C【解析】选项只有当m或m 时，m /l ；选项B,只有当m 时m / n ；选项C,由于l选项D,只有当m或m 时，m n ,故选c.7. B【解析】由V 4 3 r2h1 256498得圆锥底面的半径16 163 ,所以米堆的体积3209 ,所以堆放的米有3201.62 229斛.VO ABC VC OAB8. C【解析】三棱锥二 SOAB h. 一3,其中h为点C到平面OAB的距离，而底面三角形0AB时直角三角形，顶点C到平面OAB的最大距离是球的

51、半径,VO ABCVC OAB故1 Sa0AB h 1 1 R3 363=3 2，其中R为球。的半径,2内，l2在平面 内，l是平面 与平面所以R 6,所以球。的表面积S 4 R 1449. D【解析】若直线l1和l2是异面直线，l1在平面的交线，则l至少与l1, l2中的一条相交，故选 A.10. B【解析】解法设ADC , AB 2,则由题意知AD BD AD 1 .在空间图形中，连结 AB,设AB = t._22_2222_2cos A DB在MDB中，AD DB AB 11 t 2 t2AD DB 2 1 12过A作AN DC,过B作BM DC ,垂足分别为N、M .过N作NP2MB，使四边形BPNM为平行四边形，则NP DC , 连结ap，bp，则 A NP就是二面角A