2019年河北省中考数学试卷及答案【2020新审】

1、2019年河北省中考数学试卷在每小题给出、选择题（本大题有 16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分,的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（3分）下列图形为正多边形的是（1 .（一 2）表不向右移动A. +3B. - 33.2记作+2,则（-3）表不向左移动（3分）如图，从点 C观测点D的仰角是（C.3记作（/ ADC4.（3分）语句“ x的g与x的和不超过5”可以表示为（"+X> 5C.工+5<5+x= 5C. / DCA5.（3分）如图，菱形 ABCD中，/ D=150° ,则/ 1=（6.A. 30°C. 20°

2、;15°（3分）小明总结了以下结论: a (b+c) = ab+ac; a (b c) = ab ac; (bc) +a=b+a c+a (aw0); a+ (b+c) =a+b+a+c (aw0)其中一定成立的个数是（C. 3A. 17.（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容H/已知：如图,修EC=/H-4.求证：.4BIICD/、证明：延长BE交 景 于点F。尸C则/EEC=_+/C三隹形的外角等于与它不相邻两个内用之 和3又 ZBECuB-£C 得 CB= .故AB ICDC您 相等厂两戢平行）,则回答正确的是（）B. 代表同位角D.代表AB

3、A. 代表/ FECC. 代表/ EFC8. （3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为150000150000用科学记数法表示为（一 4A. 5X 10一 5B. 5X 10一 4C. 2X10一 5D. 2X109. （3分）如图，在小正三角形组成的网格中,已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑 n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（A. 10B. 6C. 3D.10. （3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（11. （2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤:从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类去图书

4、馆收集学生借阅图书的记录绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确统计步骤的顺序是（）A.一一一B.一一一 C.一一一D.一一一的图象所在坐标系的原点是A.点MB.点NC.点PD.点Q13. （2分）如图，若x为正整数，则表示s+1的值的点落在（'0 20.411.62.2A.段B.段C.段D.段若用S表布面积，S ±= x2+2x, S左=+*,则S俯=（14. （2分）图2是图1中长方体的三视图,A . x2+3x+2B . x2+2C. x2+2x+1D. 2x2+3x215. （2分）小刚在解关于 x的万程ax+bx+c= 0 （aw0）

5、时，只抄对了 a=1, b=4,解出其中一个根是x= - 1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是（）A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x= - 1D.有两个相等的实数根16. （2分）对于题目：“如图1,平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x,再取最小整数n.甲：如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n=13.乙：如图3,思路是当丙：如图4,思路是当x为矩形外接圆直

6、径长时就可移转过去；结果取 n=14.x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n= 13.卜列正确的是（A.甲的思路错，他的 n值对B.乙的思路和他的 n值都对C.甲和丙的n值都对D.甲、乙的思路都错，而丙的思路对、填空题（本大题有3个小题，共11分，17小题3分：1819小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上）17. （3 分）若 T葭XTlx 70=7p,则 p 的值为18. （4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.则（1）用含x的式子表示m=;（2）当y= 2时，n的值为.W（V）19. （4分）勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A,

7、 B, C三地的坐标，数据如图（单位：km）.笔直铁路经过 A, B两地.（1） A, B间的距离为 km；（2）计划修一条从 C到铁路AB的最短公路1,并在l上建一个维修站 D,使D到A, C的距离20. （8分）有个填写运算符号的游戏：在“ 1口2口6口9”中的每个口内，填入 +, X, +中的 某一个（可重复使用），然后计算结果.（1）计算：1+2 - 6 - 9;(2)若1+2*6口9= - 6,请推算口内的符号;2+ (2n) 2,整式 B>0.(3)在“ 1口2口6-9”的口内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.21. (9分)已知：整式 A= ( n2 - 1

8、)尝试化简整式A.联想 由上可知，B2= (n2-1) 2+发现A=B2,求整式B.(2n) 2,当n>1时，n2- 1, 2n, B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中 B的值:直角三角形三边n22n勾股数组I35勾股数组n22. (9分)某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是 7, 8, 9 (单位：元)三种.从中随机拿出个球，已知 P (一次拿到 8元球)=(1)求这4个球价格的众数;(2)若甲组已拿走一个 7元球训练，乙组准备从剩余 3个球中随机拿一个训练.所剩的3个球价格的中位数与原来 4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由;乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用

9、列表法(如图)求乙组两次都拿到元球的概率.又拿先拿23. (9 分)如图， ABC ADE 中，AB=AD = 6, BC=DE, / B=/ D = 30° ,边 AD 与边 BC 交于点P (不与点B, C重合)，点B, E在AD异侧，I为APC的内心.(1)求证：/ BAD = / CAE;(2)设AP = x，请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值；(3)当 AB± AC时，/ AIC的取值范围为 m° <Z AIC<n° ,分别直接写出m, n的值.D24. (10分)长为300m的春游队伍，以v (m/s)的速度向东彳亍进，如图

10、 1和图2,当队伍排尾行 进到位置。时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v (m/s),当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置。开始行进的时间为t (s),排头与O的距离为S头(m).a尾）关«-甲T星 至甲图2(1)当v=2时，解答:求S头与t的函数关系式(不写 t的取值范围)；当甲赶到排头位置时， 求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置。的距离为S甲(m),求S甲与t的函数关系式(不写 t的取值范围)(2)设甲这次往返队伍的总时间为T (s),求T与v的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程.42

11、5. （10 分）如图 1 和 2, ?ABCD 中，AB = 3, BC=15, tan/DAB=.点JP为AB延长线上一点,过点A作。切CP于点P,设BP=x.(1)如图1, x为何值时，圆心 。落在AP上？若此时。交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;(2)当x=4时，如图2,。与AC交于点Q,求/ CAP的度数，并通过计算比较弦 AP与劣弧PQ长度的大小;DB 05图2备用图(3)当OO与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.A26. (12分)如图，若b是正数，直线l: y=b与y轴交于点A;直线a： y=x-b与y轴交于点B; 抛物线L: y=- x2+bx的顶点为

12、C,且L与x轴右交点为D.(1)若AB=8,求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设 x0W0,点(x0, yi) , (x0, y2), (x0, y3)分别在 l, a 和 L 上，且 y3是 yi, y2 的平均数， 求点(x。，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点” ，分别直 接写出b=2019和b= 2019.5时“美点”的个数.参考答案与试题解析、选择题（本大题有 16个小题，共42分,1-10小题各3分,11-16小题各2分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

13、合题目要求的）（3分）下列图形为正多边形的是（A.B .【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案.【解答】解：正五边形五个角相等，五条边都相等,【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义.2.（3分）规定：（- 2）表示向右移动2记作+2,则（- 3）表示向左移动 3记作（）A. +3B. - 3C.【分析】在一对具有相反意义的量中,先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.“正”和“负”相对，所以，如果（- 2）表示向右移动2记作+2,则（-3）表不向左移动3记作-3.【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果（2）表不向右移动 2记作+

14、2,则（-3）表不向左移动3记作-3.故选：B.【点评】此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量.3.（3分）如图，从点 C观测点D的仰角是（C. / DCAD. / ADC【分析】根据仰角的定义进行解答便可.【解答】解：二.从点 C观测点D的视线是CD,水平线是CE,从点C观测点D的仰角是/ DCE,故选：B.【点评】本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键.仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.4.（3分）语句“ x的工与x的和不超过5”可以表示为（OA. +x< 58-+X> 5C.h+5&

15、lt;5+x=58【分析】x的工即J_x,不超过5是小于或等于5的数，按语言叙述列出式子即可.同回【解答】解："x的工与x的和不超过5”用不等式表示为 lx+x< 5.88故选：A.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算 的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.5. (3 分)如图，菱形 ABCD 中，/ D=150° ,则/ 1=()A. 30°B, 25°C. 20°D, 15°【分析】由菱形的性质得出AB/CD, /BAD=2/1,求出/ BA

16、D = 30° ,即可得出/ 1=15【解答】解：.四边形 ABCD是菱形，/ D=150° , .AB / CD, / BAD=2Z 1, ./ BAD + ZD=180° , ./ BAD = 180° - 150° = 30° , / 1 = 15° ;故选：D.【点评】此题考查了菱形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解本题的关键.6. (3分)小明总结了以下结论： a (b+c) = ab+ac; a (b - c) = ab - ac;(b-c) +a=b+a- c+a (aw0); a+ (b+c)

17、=a+b+a+c (aw0)其中一定成立的个数是()A. 1B. 2C. 3D . 4【分析】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案.【解答】解：a (b+c) =ab+ac,正确； a (b c) = ab - ac,正确；(bc) +a=b+ac+a (aw0), 正确；a+ (b+c) =a+b+a+c (aw0),错误，无法分解计算.故选：C.【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法 则是解题关键.7. （3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容一4-Z5已知：如图,/BEC=/B"C.

18、纹求证：AB【I CD/ 、证明：延长BE交 赛 于点F,D F c贝！IZBEC=_2"C三用形的外隹等于与它不相邻两个内角之 和）.XBEC-ZB-ZC 得曲.故ABllCDt , 相等 篇画蛙平行）.则回答正确的是（）A. 代表/ FECB. 代表同位角C. 代表/ EFCD.代表AB【分析】根据图形可知代表CD,即可判断D;根据三角形外角的性质可得代表/EFC,即可判断A;利用等量代换得出代表/EFC,即可判断C;根据图形已经内错角定义可知 代表内错角.【解答】证明：延长 BE交CD于点F ,则/ BEC=Z EFC+ZC （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）又/ BE

19、C=Z B+Z C,得/ B = Z EFC .故AB / CD （内错角相等，两直线平行）.故选：C.【点评】本题考查了平行线的判定，三角形外角的性质，比较简单.8. （3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为 需而p把f焉万用科学记数法表示为（）A. 5X10 4B . 5X10 5C. 2X10 4D . 2X10 5【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为ax 10n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数哥，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【解答】解： 一-=0.00002=2X 10-5.50000故选：D.【点评】本题考查用科学记数

20、法表示较小的数，一般形式为aX10n,其中1W|a|v10, n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.9. （3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（）A. 10B. 6C. 3D. 2【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案.【解答】解：如图所示，n的最小值为3,故选：C.【点评】本题主要考查利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形 的性质.10（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是【分析】根据三角形外心的定义，三角形

21、外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基本作图格选项进行判断.【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心.故选：C.【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也 考查了三角形的外心.11（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类去图书馆收集学生借阅图书的记录绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比整理借阅图书记录并绘制频数分布表正确

22、统计步骤的顺序是（）A.一一一B.一一一 C.一一一D.一一一【分析】根据题意和频数分布表、扇形统计图制作的步骤，可以解答本题.【解答】解：由题意可得，正确统计步骤的顺序是：去图书馆收集学生借阅图书的记录一 整理借阅图书记录并绘制频数分布表一绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比一从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选：D.【点评】本题考查扇形统计图、频数分布表，解答本题的关键是明确制作频数分布表和扇形统计图的制作步骤.（工-12. （2分）如图，函数 y=的图象所在坐标系的原点是（） 廿2T tA.点MB.点NC.点PD.点Q【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；【解答】解：由

23、已知可知函数y=工关于y轴对称,a<Q） x所以点M是原点;故选：A.【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键.213. （2分）如图，若x为正整数，则表示-占的值的点落在（）入，4工+4戈+1d-JQ4 1A.段B.段C.段D.段【分析】将所给分式的分母配方化简，再利用分式加减法化简，根据 x为正整数，从所给图中可得正确答案.【解答】解1x+T(肝2)21I_1(x+2)2工+1工+1一 "l故表示的值的点落在 工，+4k+4 京+1故选：B.【点评】本题考查了分式的化简及分式加减运算，同时考查了分式值的估算，总体难度中等.14

24、. (2分)图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主=x2+2x, S左= x2+x,则S俯=(A. x2+3x+2B. x2+2C. x2+2x+1D. 2x2+3x【分析】由主视图和左视图的宽为x,结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案.【解答】解：S主=x2+2x= x (x+2), S左= x2+x= x (x+1),，俯视图的长为x+2,宽为x+1 ,则俯视图的面积 S俯=(x+2) (x+1) = x2+3x+2, 故选：A.【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高.1

25、5. (2分)小刚在解关于 x的方程ax2+bx+c= 0 (aw0)时，只抄对了 a=1, b=4,解出其中一个根是x= - 1.他核对时发现所抄的 c比原方程的c值小2.则原方程的根的情况是()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是x= - 1D.有两个相等的实数根【分析】直接把已知数据代入进而得出c的值，再解方程求出答案.【解答】解：.小刚在解关于 x的方程ax2+bx+c=0 (aw 0)时，只抄对了 a=1, b= 4,解出其 中一个根是x= - 1,(- 1) 2 - 4+c= 0,解得：c=3,故原方程中c=5,则 b2- 4ac= 16- 4X 1X 5= -

26、4<0,则原方程的根的情况是不存在实数根.故选：A.c的值是解题关键.【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出16. （2分）对于题目：“如图1,平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x,再取最小整数n.甲：如图2,思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n=13.乙：如图3,思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n=14.丙：如图4,思路是当x为矩形的长与宽之和的 YZ倍时就可移转过去；结果取 n=

27、13.2卜列正确的是（）A.甲的思路错，他的 n值对B.乙的思路和他的 n值都对C.甲和丙的n值都对D.甲、乙的思路都错，而丙的思路对【分析】平行四边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角； 边：邻边垂直； 对角线：矩形的对角线相等； 矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有 2条对称轴，分 别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.【解答】解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n= 14;乙的思路与计算都正确；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B.【点评】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的

28、关键.二、填空题（本大题有 3个小题，共11分，17小题3分：1819小题各有2个空，每空2分，把 答案写在题中横线上）17. （3 分）若 T葭XTFx 70=7p,则 p 的值为 -3 .【分析】直接利用同底数哥的乘法运算法则进而得出答案.【解答】解：: 72X 71X 70=7p, - 2 - 1+0 = p,解得：p = - 3.故答案为：-3.【点评】此题主要考查了同底数哥的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.18. （4分）如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数.示例:则(1)用含x的式子表示m= 3x ;(2)当y= 2时，n的值为 1 .m【分析】(1

29、)根据约定的方法即可求出 m;(2)根据约定的方法即可求出n.【解答】解：(1)根据约定的方法可得:m= x+2x=3x;故答案为：3x;(2)根据约定的方法即可求出nx+2x+2x+3= m+n= y.当 y = - 2 时，5x+3 = - 2.解得x= - 1.n = 2x+3 = 2+3 = 1.故答案为：1.【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法.19. (4分)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A, B, C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过 A, B两地.(1) A, B间的距离为20 km；(2)计划修一条从 C到铁

30、路AB的最短公路1,并在l上建一个维修站 D,使D到A, C的距离【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出 CE与AE的长度，设 CD=x,根据勾股定理即可求出 x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB/x轴，.AB = 12- ( 8) = 20;(2)过点C作吐AB于点E,连接AC,作AC的垂直平分线交直线l于点D, 由(1)可知：CE= 1 一 ( 17) = 18,AE= 12,设 CD = x,.-.AD = CD=x,由勾股定理可知：x2= (18-x) 2+122,解得：x= 13,.CD =

31、 13,【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是根据A、B、C三点的坐标求出相关线段的长度，本题属于中等题型.三、解答题(本大题有 7个小题，共67分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20. (8分)有个填写运算符号的游戏：在“1口2口6口9”中的每个口内，填入 +,X, +中的某一个(可重复使用)，然后计算结果.(1)计算：1+2 - 6 - 9;(2)若1+2*6口9= - 6,请推算口内的符号；(3)在“ 1口2口6-9”的口内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.【分析】(1)根据有理数的加减法可以解答本题；(2)根据题目中式子的结果，可以得到口内的符号；(3)先写出

32、结果，然后说明理由即可.【解答】解：(1) 1+2-6-9=3 - 6 - 9=-3 - 9= -12;(2) 1-2X609=- 6,.1 x-i-x 6口9= - 6, 3口9= - 6,口内的符号是”；(3)这个最小数是-20,理由：在“ 1口2口6-9”的口内填入符号后，使计算所得数最小，1 口 2口 6的结果是负数即可，1 口 2口 6 的最小值是 1 - 2 X 6= - 11,1D2D6- 9 的最小值是-11-9=- 20, 这个最小数是-20.【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题得关键是明确有理数混合运算的计算方法.21. （9分）已知：整式A= (n2 1) 2+ (

33、2n) 2,整式 B>0.尝试化简整式A.发现A=B2,求整式B.联想由上可知,B2= （n2-1） 2+ （2n） 2,当n>1时，n2T, 2n, B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中 B的值:直角三角形三边勾股数组I勾股数组nn2- 1/352n8/B1737【分析】先根据整式的混合运算法则求出A,进而求出B,再把n的值代入即可解答.【解答】解：A= (n21) 2+ (2n) 2= n4 2n2+1+4n2= n4+2n2+1 = (n2+1) 2, A=B2, B>0,B = n2+1,当 2n=8 时，n= 4, . n2+1 =42+1= 17;当 n2-

34、1 = 35 时，n2+1 = 37.故答案为：17; 37【点评】本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知ABC的三边满足a2+b2= c2,则4ABC是直角三角形.22. （9分）某球室有三种品牌的 4个乒乓球，价格是 7,8, 9 （单位：元）三种.从中随机拿出个球，已知 P （一次拿到 8元球）=（1）求这4个球价格的众数;（2）若甲组已拿走一个 7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练.所剩的3个球价格的中位数与原来 4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由;乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法（如图）求乙组两次都拿到8元球的概率.又拿先拿【分析】

35、（1）由概率公式求出 8元球的个数，由众数的定义即可得出答案;（2）由中位数的定义即可得出答案;用列表法得出所有结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，由概率公式即可得出答案.【解答】解：（1） . P （一次拿到8元球）=y, 8元球的个数为4X.|_=2 （个），按照从小到大的顺序排列为7, 8, 8, 9,，这4个球价格的众数为 8元；（2）所剩的3个球价格的中位数与原来 4个球价格的中位数相同；理由如下：原来4个球的价格按照从小到大的顺序排列为7, 8, 8, 9,原来4个球价格的中位数为弩"=8 （元），所剩的3个球价格为8, 8, 9, .所剩的3个球价格的中位数为 8元

36、，所剩的3个球价格的中位数与原来 4个球价格的中位数相同；列表如图所示：共有 9个等可能的结果，乙组两次都拿到8元球的结果有4个，乙组两次都拿到 8元球的概率为 暂.【点评】本题考查了众数、中位数以及列表法求概率；熟练掌握众数、中位数的定义，列表得 出所有结果是解题的关键.23. (9 分)如图， ABC 和 ADE 中，AB=AD = 6, BC=DE, Z B=Z D = 30° ,边 AD 与边 BC 交于点P (不与点B, C重合)，点B, E在AD异侧，I为APC的内心.(1)求证：/ BAD = / CAE;(2)设AP = x，请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值；

37、(3)当 AB± AC时，/ AIC的取值范围为 m° <Z AIC<n° ,分别直接写出m, n的【分析】(1)由条件易证 ABCA ADE,(2) PD= AD-AP=6-x, .点 P 在线段 时AP的长度，此时PD可得最大值.(3) I为 APC的内心，即得/ BAC=/DAE, BAD = / CAE.BC上且不与 B、C重合，二 AP的最小值即 APXBCI为4APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180 ° “及角平分线定义即可表示出/ AIC,从而得到m, n的值.【解答】解：(1)在 ABC和4ADE中，(如图1)“A

38、B 二 AD, ZB=ZDbBC=DE .ABCA ADE (SAS) ./ BAC=Z DAE即/ BAD + ZDAC = Z DAC + /CAE ./ BAD = Z CAE.(2) AD = 6, AP = x,PD = 6 - x当ADBC时，AP=1AB = 3最小，即 PD = 6 3= 3为PD的最大值.2(3)如图 2,设/ BAP= % 贝U/ APC= a+30° , .ABXAC，/BAC=90° , / PCA=60° , / PAC=90° - a, . I为APC的内心 .AI、CI 分别平分/ FAC, / PCA,IA

39、C = Z PAC, Z ICA= ZPCA22，/AIC=180° - (/ IAC+/ICA)= 180° - (/PAC+/PCA)2= 1809 90 - o+60 )2=a+10520 V a< 90 ,105° <_La+105° <150° ,即 105° V/AICV1502. m=105, n=150.【点评】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30。的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值.2

40、4.（10分）长为300m的春游队伍，以 v （m/s）的速度向东彳亍进，如图 1和图2,当队伍排尾行 进到位置。时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v （m/s）,当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进.设排尾从位置。开始行进的时间为t （s）,排头与O的距离为S头（m） .比尾）头 一东Q 尾 卖东*« -甲T一甲（1）当v=2时，解答：求S头与t的函数关系式（不写 t的取值范围）；当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）,求S甲与t的函数关系式（不写 t的取值范围）（2）设甲这次往返队伍的总时间

41、为T （s）,求T与v的函数关系式（不写 v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.【分析】（1）排头与。的距离为S头（m）.等于排头行走的路程+队伍的长300,而排头行进的时间也是t （s）,速度是2m/s,可以求出S头与t的函数关系式；甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求 S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置 。的距离为S甲(m)是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间(总时间t减去甲从排尾赶到排头的时间)，于是可以求S甲与t的函数关系式；(2)甲这次往返队伍的总时间为T (s),是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问

42、题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行 进的路程=队伍速度X返回时间.【解答】解：(1)排尾从位置。开始行进的时间为t (s),则排头也离开原排头t (s),.S 头=2t+300甲从排尾赶到排头的时间为300+ (2v-v) =300+v= 300+2= 150 s,此时S头=2t+300 = 600m甲返回时间为：(t- 150) s.S 甲=$头一S 甲回=2X 150+300 - 4 (t 150) =- 4t+1200;因此，S头与t的函数关系式为 S头=2t+300,当甲赶到排头位置时，求 S的值为600m,在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为

43、 S甲=-4t+1200.T=t追及+t返回=2v+v在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：vx即1 - = 400;400m.因此T与v的函数关系式为：丁=皂四，此时队伍在此过程中行进的路程为比尾)头 一 东o 星M东*- 甲一.甲圉1图2【点评】考查行程问题中相遇、追及问题的数量关系的理解和应用，同时函数思想方法的应用,切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误.25. (10 分)如图 1 和 2, ?ABCD 中，AB = 3, BC=15, tan/DAB=.点 P 为 AB 延长线上一点，过点A作。切CP于点P,设BP=x.(1)如图1 , x为何值时，圆心

44、 O落在AP上？若此时。交AD于点E,直接指出 PE与BC 的位置关系；(2)当x=4时，如图2,。与AC交于点Q,求/ CAP的度数，并通过计算比较弦 AP与劣 弧1!长度的大小；(3)当OO与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.Dfry【分析】(1)由三角函数定义知：RtAPBC中，,i2P. = tanZPBC=tanZ DAB=J-,设CP=4k,BP3BP=3k,由勾股定理可求得 BP,根据“直径所对的圆周角是直角”可得PEXAD,由此可得PEXBC;(2)作CGLAB,运用勾股定理和三角函数可求CG和AG,再应用三角函数求/ CAP,应用弧长公式求劣弧而长度，再比较它与

45、 AP长度的大小；(3)当。O与线段AD只有一个公共点时， 。与AD相切于点A,或。O与线段DA的延长线 相交于另一点，此时，BP只有最小值，即 x> 18.【解答】解：(1)如图1, AP经过圆心O, CP与。O相切于P,，/APC=90° , .7ABCD,.AD / BC, ./ PBC=Z DAB，正=tan/PBC = tan/DAB=4,设 CP = 4k, BP=3k,由 CP2+BP2=BC2,BP3得（4k） 2+ （3k） 2=152,解得 k1= - 3 （舍去），k2=3,.-.x=BP=3X3=9,故当x=9时，圆心O落在AP上；.AP是。O的直径，/

46、AEP=90° , PEXAD, .?ABCD,BC / AD PEXBC(2)如图2,过点C作CGAP于G,1 .?ABCD,2 .BC /AD,3 ./ CBG = Z DABCG4. = tan/ CBG = tanZ DAB=BG3设 CG = 4m, BG=3m,由勾股定理得：(4m) 2+ (3m) 2=152,解得 m = 3, .CG = 4X 3=12, BG=3X3=9, PG=BG- BP=9-4 = 5, AP= AB+BP = 3+4= 7,4 .AG = AB+BG= 3+9=125 .tan/CAP =1,AG 12=90° , PH=L526

47、 .Z CAP =45° ;连接 OP, OQ,过点 O 作 OHAP 于 H,则/ POQ = 2/CAP = 2X45在 RgcPG 中，CP=，PG2+CG2 = ViW=13,7 .CP是。O的切线，8 .Z OPC = Z OHP = 90 ° , Z OPH + ZCPG= 90° , / PCG+Z CPG = 90° ./ OPH = Z PCGPH 0G op-cp'嘲.,.OPHA PCG即 PHXCP=CGXOP,工X13=12OP291-907TX 劣弧"18091.H<2 tK 748.弦AP的长度劣弧

48、而长度.(3)如图3,。与线段AD只有一个公共点，即圆心 O位于直线AB下方，且/ OAD>90° ,当/OAD = 90° , /CPM=/DAB时，此时BP取得最小值，过点 C作CM，AB于M, . / DAB = Z CBP, ./ CPM = Z CBP.CB = CP, . CM ±AB .BP = 2BM = 2X9= 18,图工D, CSi【点评】本题是一道几何综合题，考查了圆的切线性质，相似三角形性质，三角函数解直角三 角形，勾股定理，弧长计算等；综合性较强，学生解题时要灵活运用所学数学知识解决问题.26.(12分)如图，若b是正数，直线l: y=b与y轴交于点A;直线a： y=x-b与y轴交于点B; 抛物线L: y=-x2+bx的顶点为C,且L与x轴右交点为D .(1)若AB=8,求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设 x0W0,点(x0, yi) , (xo, y2), (xo, y3)分别在 l, a 和 L 上，且 y3是 yi, y