导数压轴题分类极值点偏移问题

1、导数压轴题分类(2)-极值点偏移问题极值点偏移问题常见的处理方法有构造一元差函数F x f x f 2x0 x或者F x f xo x f xo x.其中xo为函数y f x的极值点.利用对数平均不等式.而b a b变换主元等方法.ln a ln b2任务一、完成下面问题,总结极值点偏移问题的解决方法.1.设函数 f(x)a2 ln x x2 ax(a R)(1)试讨论函数f (x)的单调性；(2)f (x) m有两解x, x(x1x2),求证:x1x22a解析：(1)由 f(x)a2 In2x x ax可知f (x)2 a 2x ax2x22ax a (2xa)(xa)xx由于函数f(x)的

2、定义域为(0,),所以 假设a 0时,当x (0,a)时,f (x) 0 ,函数f (x)单调递减, 当x (a,)时,f (x) 0,函数f (x)单调递增； 假设a 0时,当f (x) 2x 0在x (0,)内恒成立,函数f (x)单调递增；a、 右a .时,当x (0,)时,f (x) 0 ,函数f (x)单调递减,2,a当x (,)时,f (x) 0 ,函数f (x)单调递增；2(2)要证x1 x2 2a ,只需证丑一x2 a ,22- a.2xa,那么 g(x)20g(x) f(x)为增函数.xf (a) 0,即证- 21、0 x,+x2 a 0(*)x1 x2 a2 -2m, a

3、In x2 x2ax2 m,两式相减整理得：x2 a) 0 ,把 -12 (x1 x2 a) 12 代入(*) 式,即证: ax1 x2g(x)(x)只需证:x1f =2a2xx2p2 I又 a In x1In x1In x22 x1ax才(x1In X|In x20化为:x1 x2x1x22(也 1)乂2x2ln生乂20,令 4_=t,即证：2(t ： lnt 0X2令(t)2(t 1)-ln t(0 t 1t 1),那么(t)(t 1)2白0 t 1 t所以为减函数,综上得：原不等式得证.2-设 Ag yi) , B(X2,y2)是函数 f (x)2 ax(12a) x In x图象C上不

4、同的两点,M为线段AB的中点,过点M作x轴的垂线交曲线C于点N ,试问：曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB?解:由题意可得y122ax1 (1 2a)x1 ln x1, y2 ax2 (12a)x2 In x2,且X1 X2,故直线AB的斜率k 芸一y1agx2xxi)ln X2 ln x1 1 2 aX2X1由题意可知曲线C在点N处的切线的斜率为 f'(与x2),因此我们只需判断直线 AB的斜率x2)是否相等即可.又由于f'(x)1 _ r 2ax 1 2a ,因此 f'(x1X2)a(xix2) 122a % x2g(x)f'(x),那么 g(x)xx2

5、ln x2ln xX2X1丑由 (ln x2 ln x1) x2X2(也_2_X2 X1 X2 1X11)-lnx2.ix1不妨令0Xix2,那么 tX2X11那么由h'(t) -42(t 1)(t 1)2站工,工心一站0可知(t)在(1,)上递增.t(t 1)故 h(t) h(1)0.从而可得h(x) 0,即直线AB的斜率k与f '(X-X2)不相等,也即曲线C在点N处的切线 与直线AB不平行.任务二、完成下面练习,体验极值点偏移问题的解决方法在解题中的运用.3.设函数 f(x) x2 (a 2)x aln x .(1)求函数f (x)的单调区间;解:(1)由(2)假设方程f

6、(x) C有两个不等实根 a f '(x) 2x (a 2)- xx1, x2 ,求证：f ( x1_ ) 0 .2(x 1)(2 x a) 口,且x 0可知:0时,f'(x) 0,此时函数f(x)在(0,)上单调递增;, aa t0 ；右x 一,那么f '(x) 0 ；此时,函数f (x)在(0, )上22当a 0时,假设0 x a,那么f '(x)2单调递减；在(a,)上单调递增.2 由x,x2 (0 x x2)是方程2x1 (a 2)x alnx2x2 (a 2)x2 aln x2两式作差可得(x x2)(x x2) (af (x) c的两个不等实根可知c

7、,c.2)( x1x2) a(ln x1In x2)0In x?In x1故 x2x1a 2 a .由 f '(x) 2x (a 2) a 可得"(_2) X1 x2X2 (a 2)2aX1X2ln X2lnx12a aa (ln x2 ln x)x2 x1x2x1 x2 为2(X2 xjx2 x1aX2ln X1X? x12(丝 1).至1Xi由0 X1x2可知tXX11,因此由g(t) Int四1)t_ ,1那么由g'(t)-4(t 1)2,2 -(= 0 可知 g(t)在(1, (t 1)t(t 1)故 g(t) g(i)0,从而可知*)4.设函数f (X)2

8、In x mx2X有两个零点 Xi ; X2 (XiX2),且x0是x1, x2的等差中项,求证：f'(Xo)0.证实：由X1, X2 (x1X2 )是函数f (X)2ln xmX2 .X的两个零点可知2ln x mx2X1 =0 ,2ln x2 mx2X2=0,两式作差可得2(ln x1 In x2) m(X1X2)(X1 X2)(X1X2)0.ln x2ln x1故 x1x2m 221X2X1,2由 f '(x) m x2x ,及 x0X1f'(X0)*)X1X2m (x1 x2)42 ln x2 ln xX2 X1X2X1X2 (ln x2ln x-i)(-2X1

9、x2 xX2Jln 兰Xi2(些 1).竺1X1Xix2可知tXX1g(t)lnt2(t那么由g'(t)4(t 1)2,2 -(一.可知 g(t)在(1, (t 1)2t(t 1)2故 g(t) g(i)0,从而可知f'(x0) 0.5. (2021年高考数学全国I理科第 21题)函数f(x)(x 2)ex a(x 1)2有两个零点.(I)求a的取值范围;X2(n)设x1,x2是f (x)的两个零点,证实：x1解：(l)函数f(X)的定义域为R,当 a 0时,f (x) (x 2)ex.,得x 2 ,只有个零点,不合题意;当 a 0时,f (x) (x 1)ex2a当a 0时,

10、由f (x).得,X 1 ,由 f (x).得,X 1 ,由 f (x)故,X 1是f(x)的极小值点,也是 f(x)的最小值点,所以f(x)minf(1) e 0又f(2) a 0,故在区间(1,2 )内存在一个零点X2,即1x22土x X 212由 lim (x 2)e lim lim x 0,又 a(x 1)0,所以,f(x)在区间(,1)存在唯一零点x,即X 1 ,故a 0时,f (x)存在两个零点;当 a 0时,由 f (x).得,x 1 或x ln( 2a),e假设ln( 2a) 1,即a e时,f (x) 0,故f(x)在R上单调递增,2与题意不符假设 ln( 2a) 1 ,即2

11、e点,右ln( 2a) 1 ,即a 一时,易证22 一 一 一 f (x)极大值=f (ln( 2a) a(ln ( 2a)a 0时,易证f(x)极大值=f (1)e 0故f (x)在R上只有一 个零4ln(2 a) 5)f (x)在R上只有一个零点综上述,a 0(n)解法一、根据函数的单调性证实由(i)知,a0 且 x11 x2 2令 h(x) f (x)f (2 x) (x 2)ex2 xex,x 1那么 h (x)(x 1)(e2(x1) 1)由于 x 1,所以 x 1 0,e2(x1) 10 ,所以h (x) 0 ,所以h(x)在(1,)内单调递增,所以h(x) h(1) 0,即 f

12、(x) f (2 x),所以 f (x2)f(2 x2),所以 f(x)f(2 x2),由于x 1,2 x2 1 , f (x)在区间(,1)内单调递减,所以x12 x2,即 x1 x22解法二、利用对数平均不等式证实由(I)知,a 0,又f (0) a 2所以,当0 a 2时,x10 且 1 x2 2 ,故 x1x22当a 2时,0 x11x2 2 ,又由于a(X2)e*(x1 1)2(x2 1)2(2 x2)e'2(x2 1)2所以 ln(2x)x12ln(1x1)ln(2x2) x2 2ln( x2所以 ln(2 x1) ln(2 x2) 2(ln(1 x1) ln(x2 1)

13、x2所以 1 2ln(1X1) Kg 1)(2 天)(2x2)ln(2x1) ln(2 x2)ln(2x1) ln(2x2)1)x(2 x)(2x2)4 x1 x22所以x X2 22 ln(1 x)ln(x2 1)2 ln(2x1) ln(2x2)任卜面用反证法证实不等式成立由于 0 x 1 x2 2,所以2x1 2 x20,所以 ln(2 xi) ln(2 X2) 0假设x1x22 ,当x1X22,x1 x2 220且2ln(1 x1) ln(x2 1) =0 ,与矛盾;ln(2 x1) ln(2 x2)当x1x22时0且 2ln(1 x1)ln( x2 1)ln(2x1) ln(2<0 ,与矛盾,故假设不成立x2)所以xx26.设函数f(x)lnx ax有两个零点xi, x2 ,求证：xix2证实：由x1, x2 (x1x2)是函数f(x)ln xax的两个零点可得：ln x ax1=0,ln x2 ax2=0 ,两式相减可得ln xln x2a(xx2)ln x2ln xx2x1两式相加可得ln玉ln x2a(xx2)ln x2ln xx2x1故有a %lnx1x2xln x2ln x12.由于