谈向量教学与学生能力的培养

1、谈向量教学与学生能力的培养江苏省宜兴职业教育中心校 汤朝亚在现实世界中存在着许许多多既有大小又有方向的量，如位移、速度、力和动量等，这些量必须用一种数学方法来表示，也就是向量。向量在数学、物理学以及许多生产实践中有着广泛的应用。通过向量的学习，将使学生对量的数学表达的认识进入一个新的领域，同时学生对平面几何乃至立体几何的定理及有关性质的推导和证明，对解析几何有关问题的理解及应用，三角函数公式及其性质的来源、证明和运用等又达到了“质”的飞跃。20世纪初，人们利用空间的性质与向量运算的联系，使学生进一步领会数形结合和分类讨论等数学方法，进而成为一种优良的数学体系通过向量的实际应用培养学生空间想象力

2、，思维能力，把实际问题转化为数学模型的能力。本文结合实际，谈谈笔者在新教材的教学过程中，对此的理解和应用。一、 培养学生观察能力及建立数学模型的能力。观察能力是学生获得数学知识的必要条件，只有培养学生敏锐细致的观察能力才能使他们及时发现问题，只有发现问题才能产生疑惑，才能提出问题，只有提出问题才能激发释疑的欲望，促使寻找分析与解决问题的决心和毅力。爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要”。善于观察的人可以将常人熟视无睹的问题提出来，并加以研究解决。例如牛顿的“万有引力定律”是受观察苹果落地启发的。在平面几何中常用的定理在初中教学过程中都以“默认”的形式存在，学生是知其然而不知其所以

3、然，因而数学意识并不强烈，让很多有意义的问题擦肩而过。在引入向量的知识后，因为“向量”具有几何形式和代数形式的“双重身份”，它可作为联系代数与几何的纽带，是中学数学知识的一个交汇点，以前学过的平面几何、三角函数等知识均能得到较充分的应用，可借助它解决部分定理的证明。因此在教学中我有意识在这里充分发挥，设计了一批例题，并加以实施，以其达到培养学生观察、分析、解决问题的能力，乃至提高建立数学模型的能力。（1）、运用向量方法解决平面几何问题，向量方法是借助向量的几何意义，把问题转化为向量的计算，通过向量计算达到求解目的。用向量方法解决几何问题，一方面体现向量的应用性，另一方面能在应用中达到对向量知识

4、的理解与掌握。为此，我选择学生在初三熟知的一个定理，用通过向量的运算及其几何意义来解决：例1、 求证：直径所对的圆周角为直角。由于本例只须通过向量的运算便可得出结论，使学生得到很大的启发，既巩固了向量运算的方法，又明白了向量对于解决数学问题的作用。因尝到了甜头而提高了学习的兴趣。（2）运用向量运算解决平面几何中较难解决的证明题，进一步提高学生运用向量解决问题的潜意识。为此，我设计了另一个问题进行说教：例2、 用向量证明三角形的三条中线共点。分析：本题的意图是为了提高学生用向量证明平面几何命题的能力，在教学时启发学生，要证明三线共点，可转化为先证明三线中两线分别共点于G1，G2，然后再证明点G1

5、与点G2重合。这样便可达到证明三线共点的目的。如图2所示，可设AD与BE相交于点G1，AD与CF相交于点G2，然后证明G1与G2点重合。例3、 求证ABC的三条高相交于一点。证法1、设ABC的AB、AC边高分别为CF、BE，它们交于点H，连接AH（如图3）二、 培养学生归纳和类比推理的能力。1、 数学教学是数学活动的教学，因此，不要仅仅呈现数学的结论，也要关注知识产生的过程。数学知识产生的其中一种是归纳和类比的推理，因此在教学中，我注意启发学生运用归纳或类比推理的方法，从特殊前提想象猜测出一般结论，其中归纳想象是从个别的有限的事物推广到一般的无限的事物。类比想象是从个别事情联想到类似事情的认识

6、，在数学中常用这种归纳、类比的方法来获得猜想结果。例4、“正弦定理”的证明。该内容既是重点又是难点。因此我利用教材先从直角三角形（因为初三已有锐角三角函数的基础）的特殊情况推导出正弦定理的结论，具体的步骤是：利用向量知识证明正弦定理。下面我再将在锐角三角形的正弦定理证明的教学过程再阐述一下：怎样引导学生运用向量的数量积与三角形的边长与三角函数联系起来呢？三、 培养学生运用向量寻找解决某些几何问题方法的能力 当然，向量的应用不仅仅局限于平面图形中的应用，在立体几何中也有广泛的应用。在有些立体几何题目中，用向量来解决问题可以起到事半功倍的效果。例5：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BC,A1D1的中点，求棱AD与平面B1EDF夹角的余弦.解：设正方体棱长为a,如图建立空间直角坐标系，则各点的坐标分别为A(a,0,a),B(a,a,a),C(0,a,a),D(0,0,a),A1(a,0,0),D1(0,0,0)。由中点公式，可求得E()，F（），设平面的法向量，则必有，即，令，得，即.设AD于平面的