垂直于弦的直径

1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的它的跨度跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究用纸剪一个圆用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径沿着圆的任意一条直径所在的

2、直线对折所在的直线对折, 重复做几次重复做几次, 你发现了你发现了什么什么? 由此你能得到什么结论由此你能得到什么结论?可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE思考思考（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所

3、在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，活活 动动 二二CAEBO.D想一想：想一想：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。并且平分弦对的两条弧。CD为为 O的直径的直径CDAB 条件条件结论结论推论：推论：平分弦（不是直平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条弧弧OABCDECDAB,n由由 CD是直径是直径 AE=BEAC=BC,AD=BD.可推得可推得推论：推论：E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC

4、CE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB BO OB BA AE ED在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧的线段或相等的圆弧.O O课堂讨论课堂讨论根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导：过圆心的直径过圆心的直径垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧（1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。对的两条弧。（3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过

5、圆心，并且平分弦所对的两条弧。（2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。OABCDE1.已知已知AB=10cm,以以AB为直径作圆为直径作圆,那么在此那么在此 圆上到圆上到AB的距离等于的距离等于5的点共有的点共有( )A.无数个无数个 B.1个个 C.2个个 D.4个个C2.下列说法中正确的个数是（下列说法中正确的个数是（ ）.直径是弦直径是弦 .半圆是弧半圆是弧 .平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦 .圆是轴对称图形，对称轴是直径圆是轴对称图形，对称轴是直径A.1个个 B.2个个 C.

6、3个个 D.4个个B 练习练习 1D3.3.下列命题中正确的是下列命题中正确的是( )( )A.A.弦的垂线平分弦所对的弧弦的垂线平分弦所对的弧; ;B.B.平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦; ;C.C.过弦的中点的直线必过圆心过弦的中点的直线必过圆心; ;D.D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦且过圆心且过圆心; ;解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m

7、.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 表示主桥拱，设表示主桥拱，设 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O O，半径，半径为为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与与AB AB 相交于点相交于点D D，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的中点，的中点，C C是是 的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高ABABABcm32cm32 8cm1 1半径半径为为4cm4cm的的O O中，弦中，弦AB=4cmAB=4

8、cm, , 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 。2 2O O的的直径直径为为10cm10cm，圆心，圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦，则弦ABAB的长是的长是 。3 3半径半径为为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 。4.4.在直径为在直径为20cm20cm的的 O中，中，AOB是是60那么那么AB的弦心距是（的弦心距是（ ） 练习练习 2A AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E D A B O5 3cm3cm6.已知已知P为为内一点，且内一点，且

9、OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，则过，则过P点的最长点的最长的弦等于的弦等于.最短的弦等于最短的弦等于_。 o oOAPBNM7如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE例：为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，例：为改善市民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm 。若水管截面半径为若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为，则污水的最大深度为_ dm。若水深若水深1dm，则

10、水管截面半径为，则水管截面半径为_dm.OBA28.5弓形问题中：弓形问题中：半径、弦长、弦心距、弓形半径、弦长、弦心距、弓形高高“知二求二知二求二”7 7。某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为。某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为.2m .2m ，过过O O作作OCABOCAB于于D D，交圆弧于，交圆弧于C C，CD=2.4mCD=2.4m，现有一艘宽，现有一艘宽3m3m，船舱，船舱顶部为方形并高出水面（顶部为方形并高出水面（ABAB）2m2m的货船要经过拱桥，此货船能的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO.E小结小结: : 解决

11、有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线，或，或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂径定等辅助线，为应用垂径定理创造条件。理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO1 1。如图，。如图，O的半径为的半径为5，弦，弦AB的长为的长为8，M是弦是弦AB上的动点，则线段上的动点，则线段OM的长的最小的长的最小值为值为_._.最大值为最大值为_._. 352。已知：如图，在以。已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。试说明：试说明：ACBD。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则，则 AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO 3。已知。已知 O的直径是的直径是50 cm， O的两的两条平行弦条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，求弦求弦AB与与CD之间的距离。之间的距离。