2.4平面向量的数量积(习题课)打印稿

1、1.向量的夹角：已知两个向量a和b，作OA囂,OBU，则AOB"、知识要点:(0：_二_180；)叫做向量a与b的夹角。当v - 90时，我们说a与b垂直，记作a_b .2.向量数量积的定义： 已知两个非零向量 做a与b的数量积(或内积，俗称点乘)2.4平面向量的数量积(习题课)a和b，它们的夹角为厂则数量1g叫 ，记作 a b，即 a b =| a | | b | cos .两个向量的数量积是一个数量 ；实数与向量的积是一个向量 ； 特别注意： 0 a =0而0g=0，后者是向量，前者是数！3数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。

2、4.向量数量积的运算律i.交换律：a弓b寸J' a) b = - (a b) =a ( b) 3. (a b) c 二 a c b c .【注意】:(i) (a b) ca(b c);.4!一44呻一4 4 4 呻才 _a b = 0二 a = 0 or b =0不成立！ (3) a b 二 b c= a-不成立！设a、b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos，4ia|b| ； a_b= ab = 0 ；5. 数量积的性质:当a与b同向时，a b =|a|b|；当a与b反向时，a 特别地:a a =i；i2或|；戶、a a；石；6. 向量数量积的坐标表示：扌彳设 a =(xi,yi),

3、b =(X2,y2), ab=XiX2 y2.7. 长度、夹角、垂直的坐标表示： 长度：a=(x, y)=| a-Xi)2 (y2 - yi)2 ; 两点间的距离公式j屮A(Xi, yi), B(X2, y2)，则 夹角：cos»”=占再匕；|a| |b| Qxi + yi 】X2 匚y2 垂直的等价条件：ab=ab=0,即卩a b= x2 yiy2=0题型1.平面向量数量积的直接运算【例1】(i) (05上海高考)在ABC中 护已知厂紀二、典例分析:C=90",|AC|= BC =4,求 AB BC.一 n , b=m+2 n , c=2m-3 n，其中 m=2 ,n=

4、1, m 丄 n，求 a 3a b -2b c 1 的值。解:题型2利用平面向量数量积解决长度问题【例24i44 T已知a =1b=v2, (1)若a b，求a b ; (2)若a,b的夹角为60，求a +b14 4,a +b=2，求a b。（3 ）若题型3.两向量的夹角问题【例31 (1)设平面上有四个互异的点 A,B,C,D ,已知(DB求L ABC的形状；DC2DA）（AtAC）p=4,求a,b夹角的余弦值；(3)向量 a,b满足(a 3b) _ (7a -5b)，(a -4b) _ (7a' -2；)，求 a,b夹角的余弦值。(2)向量 a,b 满足(a -b)(2a b)=&

5、#39;， 且彳题型4利用平面向量数量积解决垂直问题则点0是：ABC的三条边的则实数m =(4)已知=2b=1, a与b的夹角为60 ,若向量2a + kb与a+b垂直，实数k的值为_。【例4( 1)点0是三角形ABC所在平面内的一点，满足 OA OB = OB OC = OC 0A，线的交点；，(2)P是厶ABC所在平面上一点，若PA = PB = PC PA，则P是厶ABC的 心;(3) ABC的外接圆的圆心为 0,两条边上的高的交点为 H, 0H二m(0A OB OC)，题型5.平面向量数量积的坐标运算二 2®5,且 ca,【例引已知a、b、c是同一平面内的三个向量，其中a =

6、1,2 .( 1)若c求c的坐标；(2)若b二1,m m ： 0且a+2b与a-2 b垂直，求a与b的夹角二.题型6.利用平面向量坐标运算解决垂直问题),B(3,2), C(3,-1),BC边上的高为 AD .。求AD的坐标。【例6】(1)在LABC中，A(生1_斗 q(2)0A =(2,5), BO =(3,1),0C =(6,3),在 0C 上是否存在一点 M，使 MA JVB ' ?若存在, 求出点的坐标；若不存在，请说明理由。题型7.平面向量的长度、距离和夹角公式的应用【例7】已知四边形ABCD顶点分别为A(2,1),B(5,4), C(2,7), D(_1,4),判别四边形ABCD的形状。题型8.平面向量数量积的综合应用4 厂勺 44444【例8已知a =(2,7=3, a与b的夹角为45",右向量a+&b与人a + b的夹角为钝角求实数的范围。【例9已知向量a -(3, -1), b = (1, -3), (1)证明：a _ b ； (2)若存在不同时为零的2 2实数 k 和 t,使 x = a (t2 -3