2.5平面向量的应用

1、2.5向量的应用0B (OC -OA) =0(2)一、教学目标:1、知识与技能（1）进一步理解向量的各种运算；（2）掌握向量在数学其他分支中的应用；（3）学会将实际问题转化为数学问题并加以解决。2、过程与方法通过简单问题引入，回忆各种向量运算；师生共同探索，形成数学问题，并经过讨论, 最终解决问题；注重实际问题的数学化表示。3、情感、态度与价值观通过讨论探究，培养学生与人合作的精神和对实际问题的抽象、概括能力。二、教学重、难点重点：用平面向量解决实际问题难点：实际问题数学化（数学建模）三、学法与教学用具学法：自主、探究、合作教具：多媒体等四、教学设想（一）创设情境问题1：向量加法是怎么定义的？

2、向量减法是怎么定义的？ 问题2：观察两力，你能作出两力的合力吗？从而可知解决实际问求两力的合力问题就是我们数学上的两个向量的加法法则的应用， 题的关键在于能从中抽象出数学模型。（二）应用探究【例1】轮船在静水中的速度为 10j3km/h，河水自西向东流速为10km/h，若轮船向正南方向航行，求船的实际速度和方 向。分析：船的实际速度为静水速度与水流速度的合成。方向是静水的方向和水流方向的合成。TI解：设水流速度为 Vi，船在静水中的速度为 VT *T以V，V2作平行四边形，则其起点的对角线V合为船的E MB 实际速度。V合 二（才+才二 J（10爲）2+102 = 20厂厂“ 4 si=10

3、3 = 3vV1,V合X 60° ,从而船的航行方向为东偏南 60°202答：船的实际速度大小为 20km/h，方向为东偏南60°向量是解决实际问题的一种反思：物理学中有关的矢量抽象出来的数学模型就是向量问题。 重要工具。思考1:若要船的实际方向为正南方向，速度大小为10km/h，则船头应向哪个方向开，大小 为多少？ 解：设V1为水流速度， V2为船在静水中的速度,V合 为船的实际速度，如图T T TV合=20sin 日=10=20答：船的实际速度大小为20 km/h, 方向为南偏西60°。Vi +V2 =v 合【例3】已知0A丄BCAC ,求证：0C丄

4、AB解：因为0A丄BC,OB丄oABC=00B AC = 00A (0C - OB) =0(1)【例2】如图所示，无弹性的细绳0A 0B的一端分别固定在 A，B处，同质量的细绳 0C下方系着一个托盘，使得，试分析三根绳子受力大小关系，判断哪根绳子先断。解：设0A,0B,0C三根绳子受力分别是 a,b,c则 a+b+c=0所以 | a+b|=| c|，由图可知 |a|>| b| , | a|>| c|所以细绳0A受力最大，0A最先断。分析：这是一道几何问题，在平面几何中就是证明三角形的三条高线交于一点而用向量证明只需证得OC AB = 0即可。(2) - (1)得 OC(OB OA)

5、 = 0 即 Oc A = 0 所以 OC丄AB,即OC丄AB【例4】点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 222 T2OA +BC =OB +CA=OC + AB ,则点O是AABC的三条边的线的交点。【例5】在三角形ABC中,G是三角形ABC的重心，aGA+bGB +cGC =0,求证三角形ABC为等边三角形。【例6】点0是等边三角形ABC所在平面内的一点，从 0作三边的垂线，垂足为F,求证AF + BD + CE为定值。【例7】（备）如图，一根绳子穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3N, 2N的重物,个滑轮之间的绳上，挂一个重量为m（N）的重物，恰好使得系统平衡状态，求正数范围。现在在两

6、m的取值解：如图：系统受力的水平分量和竖直分量和为零。得I2sin a- 3sin 3= 0I 2sina= 3sin3即.2cosa+ 3cos3= m 2cosa = m -3cos3(1)(2)由(1) 2+(2) 2得 4 = 9 6mcos供m,即 m-6mcos 屏5=0,解得 m=3cosP± v9co3-5.上为锐角，仆 3cosP>0,从而 m=3cosP+J9COS52又9cos 3-5 >0,得< cos 比1, V5 W m<5即系统处于平衡状态时,m的取值范围是J5,5）（四）巩固深化3已知 0<| a | < 2,且函数 f（x）=cos 2x-|