3稳恒电流的磁场

1、第五章稳恒电流的磁场一.磁感应强度B的定义1从运动电荷受的力（洛仑兹力）:f洛 qv b2从电流元受的力（安培力）:d F安 I dl B3从磁矩受的力矩:S=IS?PmPm ISMPm BB的物理意义（例如从安培力的角度）：d F安 maxI dl单位电流元在该处所受的最大安培力。磁力线磁通量磁力线的特征:1闭合曲线2与电流相互套连3方向与电流的方向服从右手螺旋定则磁通量的定义d m B dSB也叫磁通密度。B dS三.磁场的基本规律1基本实验规律（1）毕奥萨伐尔定律dBoI dl ?42 r真空磁导率o410 7T m/A（2）叠加原理BiBiBdB利用毕奥-萨伐尔定律和叠加原理，原则上可

2、以求任意电流 的磁场。2.基本定理（1）B的高斯定理（磁通连续方程）：° B ds 0sB的高斯定理在分析一些问题时很有用。（2）安培环路定理：° B d l o I 内 _l它只适用于稳恒电流。I内有正、负，与L成右手螺旋关系为正。B是全空间电流的贡献，但只有I内对环流°B dl有贡献。一L般 B dl o，说明B为非保守场（称为涡旋场）。安培环路定理 L在计算具有对称性分布的磁场时很有用。四.B的计算方法“毕奥-萨伐尔定律 +叠加原理”法例.已知无限长密绕螺线管轴线上的磁感应强度B= onI,试证:管内为均匀磁场，管外无磁场。【证】先分析B的方向：设场点P处B

3、 Br? B ? Bz?过场点P作轴对称的圆形环路L（如图所示），由安培环路定理BrradcIFP内=nablB BzLHB +d'c'B dl o I内L有'Bdl> Br dlB dlBz dlLLLL0 B 2r 00 0所以B = 0。长为I ,半径为r（如过场点P，作一个轴对称的圆柱面为高斯面， 图所示）， 由高斯定律B dS ； Br dSBzdSsssBr dS侧Bz右dSBz左dSBr 2 rlBzdSBzdS右左Br2 rl0所以 Br = 0因此，B Bz?设管内任一场点P',过该点作矩形环路a b c d（如上图所示）, 利用安培环路

4、定理-B dlB轴 ab BP, ab 0 0 0Bp，B 轴0nl设管外任一场点P，过该点作矩形环路a b C d'（女吐图所示），有B 轴 ab BP ,ab0nablBp,3.叠加法 如果有几个电流B 轴°nl 0证毕。所以典型电流的磁感应强度五.几种典型电流的B一段载流直导线0 1Bcos 14 r,则有 BBiiB必须记住。COS 2无限长载流直导线B无限长均匀载流薄圆筒I2 r无限长载流密绕直螺线管，细螺绕环B内°nl，B外0圆电流圈的圆心和轴线上B_0LB中心2RB0ISB轴线22 3/22 R2x2无限大均匀平面电流的为通过垂直电流方向的单位磁场，两

5、侧为均匀磁场， 方向相反（右手定则），0 J大小为B 2j -面电流密度矢量的大小， 长度上的电流。第六章 磁场中的磁介质§ 1磁介质对磁场的影响在磁场作用下能发生变化并能反过来影响磁场的媒质叫 做磁介质。事实上，在磁场中的实物物质都是磁介质。电场：在充电的平行板电容器的均匀电场中放一块与极板绝缘 的导体，导体内的场强削弱为零。若放一块电介质，电介质内的场强也有一定程度的削弱。磁场：在一个通电流I的长直螺线管中有一个均匀磁场 Bo,将磁 介质充满该磁场（保持电流不变）。实验发现:不同磁介质中 的磁场不同，有的比 Bo略小，有的比Bo略大，有的比Bo大许 多倍。B内r B0r该磁介质的

6、相对磁导率（1）抗磁质 略<1 （铜,银，氢等）（2） 顺磁质r略>1 （铝,锰，氧等）（3） 铁磁质r >> 1（铁,钻,镍等）%r B00 rnInl式中磁介质的磁导率§ 2磁介质的磁化在外磁场作用下磁介质出现磁性或磁性发生变化的现象称 为磁化。Pm分子是一个复杂的带电 系统。一个分子有一个等 效电流i , 相应有一个 分子等效磁矩Pm i SPm是各个的电子轨道磁矩、电子自旋磁 矩、原子核磁矩的总和。一.顺磁质顺磁质的分子等效磁矩Pm工0,称为分子固有磁矩。一般由于分子的热运动，Pm完全是混乱的，但是在外磁场中Pm会发生转向，这就是顺磁质的“磁化”。 外

7、磁场越强，转向排列越整齐。d Ldt如图所示，顺磁质内部的磁场是被加强的 ，而且顺磁质会被 磁铁吸引。二.抗磁质抗磁质的分子固有磁矩 Pm =0。但是在外磁场中会产生 分子感应磁矩。以分子中某个电子的轨道运动为例（分子固有磁矩为零分子中某个电子的轨道磁矩不见得为零），电子的轨道运动角动量L与轨道磁矩pm如图所示,该磁矩在外磁场中要受力矩M ,MPm B所以d L的方向即M的方向，L要发生进动（俯视为逆 时针方向进动）。进动附加的进动角动量 L是与B的方向一致的。与这一进动相应的磁矩，称感应磁矩Pm，它是与B反向的。这是以分子中某个电子的轨道运动为例，总的来说，一个 抗磁质分子在外磁场中会产生一

8、个与外磁场反方向的分子 感应磁矩。抗磁质中，与分子感应磁矩相应的分子感应电流i的方向如图所示。这就是抗磁质的磁化。因此,在抗磁质内部的磁场是被 削弱的，而且抗磁质会被磁铁排斥。虽然顺磁质分子也会产生感应磁矩，但由于它远小于固有磁矩,所以顺磁质中主要是固有磁矩起作用。总之：在外磁场的作用下，磁介质表面出现感应电流，即束缚电 流。§ 3 H的环路定理磁场中有磁介质存在的时候如何求 B?设传导电流Io Bo；束缚电流I B；B Bo B基本规律应是对总B :高斯定律B dS 0s安培环路定理c B d 1 o （1 o内 1 内）L引入辅助量磁场强度H。o H dl1卄有 HIo内H的环路

9、定理L磁场中沿任一闭合路径的磁场强度的环流 ，等于该闭合路 径所套连的传导电流的代数和。当无磁介质时，上式就过渡到真空时的安培环路定理。 对各向同性的磁介质若传导电流的分布有对称性，就可以利用H的环路定理，由传导电流求出H,然后再得到磁感应强度 B一、基本要求1.掌握磁感应强度的概念。理解毕奥一萨伐尔定律，能计算一些简单问题中的磁感应强度。2 理解稳恒磁场的规律，磁场高斯定理和安培环路定理。3. 理解用安培环路定理计算磁感应强度的条件和方法。4. 理解安培定律和洛伦兹力公式。5. 了解电偶极矩和磁矩的概念。能计算简单几何形状载流导体和载流平面线圈在均匀磁场中，或 在无限长直载流导线产生的非均匀

10、磁场中所受的力和力矩。能分析点电荷在均匀磁场中的受力和 运动。6. 了解介质的磁化现象及其微观解释。了解介质中的安培环路定理。二、知识系统图例题1 如图所示，两电流元l1dl1和l2dl2距离为r；并互相垂直，这 两电流元之间的相互作用力是否大小相等、方向相反？如果不是，那么是否违反牛顿第三定律？分析：I 1dl 1QB耳2 *'*12dl 2B21由毕奥一萨伐尔定律，hdh在l2dl2处产生的场强大小为卩 o Iidl i2，方向垂直向里，如图所示。由安培定律，n r所受作用力大小为 dF21I2dl2B12，方向如图所示。同理，l2dl2在l1dl1处产生的磁场大小为B120 ,

11、l1dl1所受作用力大小为dF120由此可见，这两个电流元之间的相互作用力似乎不遵守牛顿第三定律。但仔细想一想会发现，两个电流源受到的是当地磁场的力，施力者是磁场，受力者是电流元，如电流元Jdh受力dF12对应的反作用力，应该是磁场受力dF12，而不是l2dl2受到的作用力dF21, dF和l2dl2dF12才是一对作用力和反作用力，而 dF12、dF21两者不等，并不违反牛顿第三定律。实际上，当考虑稳恒电流时， 并不存在两个孤立的电流元，谈两个电流元的作用和反作用力，是没有实际意义的。实际上存在的，只有两个稳恒的闭合电路，这两个回路之间的作 用力，根据安培定律计算，是一定符合牛顿第三定律的。

12、2 由毕奥一萨伐尔定律可以导出“无限长”直载流导线的磁场公式为glB2 r当场点无限接近导线(r0)时，Btr，这个结果显然没有物理意义，应如何解释？ 分析：公式B 口。1：2 r只对线电流适用。所谓“线电流”是指电流横截面的线度比从该截面到场中考察点的距离小得多的情况。当rto时，线电流概念已不复存在，必须将导线视为有一定截面积的载流导体考虑，上式中的电流I不再是恒定值。只要电流密度到处有限，这样求得的B仍为一有限值，不会成为无限大。3 .按毕奥一萨伐尔定律可求得真空中一有限载流直导线AB在空间P点产生的磁感应强度大小为卩01B (cos 01 cos 02)4 a方向垂直于OP,今沿图中圆

13、形环路 C做B的线积分，得到(10 ICB dr ( cos Q cos 02)101此结果与安培环路定理不一致，这是什么原因？分析：安培环路定理仅适用于稳恒电流，而稳恒电流必定是闭合的。若AB中电流是稳恒的，则本题要求计算的是闭合电流磁场的一部分P点产生的磁感应强度， 而安培环路定理中的 B所表达的是闭合电流产生的全部的磁场，故两者不相一致。对非闭合电流在空间一点产生的磁场，只能用毕奥一萨伐尔定律求得。4 一无限长任意导线中通以电流I，有人运用安培环路定律计算空间P点的磁感应强度，由dl 1I，得到B 1I/2 a，与无限长载流直导线的磁场一样。这样处理对吗？ 分析：这样处理显然是错误的。使

14、用安培环路定律计算磁感应强度时，是有一定条件的，即B可以从积分式中作为常量提出来，因为lB dllB cos dl，所以在积分路径L或各个分段路径上，应保证 B为常量，而且为已知。本题中给出的电流形状是任意的，积分路径L上各处的B及 都无法确定，故不能用安培环路定律求得。一般只是具有一定对称性的或分段均匀的 磁场分布，才能应用安培环路定律求其磁感应强度。5在一长直载流螺线管外做一平面圆回路L,且其平面垂直于螺线管的轴，圆心在轴上。则环路积分B dl等于多少？有人认为 B dl 0，但也有人觉得lB dl由1，究竟哪一种说法正确？分析：讨论均匀密绕的长直螺线管时，都把它看成一系列紧密排列的封闭圆

15、电流组来近似，此时电流的方向与螺线管轴线垂直，管内B 口0nl，管外B 0。所以，按题示的积分路线应有lB dl 0。但实际的螺线管并不等同于紧密排列的封闭圆电流组，电流总是从一端 输入，一端输出，即沿轴线方向始终有电流 I流过，因而由安培环路定律应有lB dl 呻。6无限长圆柱形铜导体(磁导率卩 面S (长为1m，宽为 解：由磁通量定义可知， 所以必须运用积分计算。小Bi、B2分别为：mqI訂2 R口0 I20),半径为R,通有均匀分布的电流2R),位置如图所示，求通过该矩形平面的磁通量。当磁感应强度B在积分面S上不是常量时，根据安培环路定律可以分别求出圆柱形导体内、I，今取一矩形平sB d

16、S B S，外的磁感应强度大BiB2因为r相同处B示，所求通量(rvR),(r > R),方向垂直纸面向里方向垂直纸面向里r相同,元通量为dB dS BdSBdr ,=ixdrdS2RR B2drR!0I.2R dr02dr2 R2R 2 r口0 I卩0 I-ln 242sBR0 Bidr(T rdr7 .半径为R的圆盘，带有正电荷，其电荷面密度kr, k是常数，r为圆盘上一点到圆心的距离，圆盘放在一均匀磁场B中，其法线方向与B垂直，当圆盘以角速度绕过圆心O点，且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时，求圆盘所受磁力矩的大小和方向。解：当圆盘旋转式，盘上的电荷形成圆电流，在磁场中受到磁力矩作用

17、。圆盘上的电流可以看成是半径连续变化的圆电流组合而成，每一个圆电流都受到一个磁力矩的作用，圆盘受到的磁力矩就是各个圆电流所受磁力矩的矢量和。距圆心r处，取一个宽度为dr圆环(如图示)，由于dr很小，这样的圆环形成的电流, 可以看成是圆电流。r 叶dr环上电荷dq (T 2 rdr圆环以角速度旋转之电流为 d I(T 2冗rdr 2圆环磁矩大小为dpmSdIr 2dIr2(kr) rdr圆环所受磁力矩为dMBdPmkr4 Bdr圆盘所受磁力矩MdMR0k r 4drk BR5 5方向垂直于B向上。B&如图所示，将一无限大均匀载流平面放入均匀磁场中， （设均匀磁场方向沿 0X轴正方向） 且

18、其电流方向与磁场方向垂直指向纸内。已知放入后平面两侧的总磁感应强度分别为 B1与 B2。求：该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小及方向 ？解：欲计算载流平面上单位面积所受的磁场力， 首先应知道载流平面单位面积的电流， 即面 电流密度；另外，题中只给出了空间总的磁场，所以还应导出均匀磁场的磁感应强度。设i感应强度。在回路中, 垂直。为载流平面的面电流密度，为求载流平面产生的磁场，作安培环路B dl 0ihbe、da上的B大小相等，方向与积分方向相同;B为无限大载流平面产生的磁场，Bo为均匀磁场的磁（如图），由安培环路定理得：abcdaab、cd上B的方向与积分方向Bh Bh在载流平面的左边,1

19、oih，得 B 1 °i2B与Bo方向相反；在载流平面的左边,B与Bo方向相同，B!B,B2得： BoB011(B1 B2),2(B 2 B1)0Bo1 (B2 B1)2i在无限大平面上沿 Z轴方向取长度dx，面元所受的安培力为dFidzdxB。 iB0dS,则其面积为dS dz单位面积所受的力为兰iB0dSdz，沿X轴方向取dx，方向沿Y轴负向。9在一无限长的半圆筒形的金属薄片中， 电流方向单位长度的电流为i k si n0如图所示。求半圆筒轴线上的磁感应强度。 解：设轴线上任意点的磁感应强度为B,半圆筒半径为 R。将半圆筒面分成许多平行轴线的宽度为dl的无限长直导线，先求长直导线

20、在轴线上产生的场，然后利用叠加原理求得总磁感应强度。流过长直导线的电流为（如图示）dl它在轴线上产生的磁感应强度为沿轴向流有电流，在垂直 ，其中k为常量，idlksin 0 dl ksin Rd 0dB(xodl，方向如图。2 R由对称性可知：dB在轴向（Z轴方向）的分量为 可以只考虑dB在X轴的分量dBx,dBx dB sin0dl .sin2 R(xok sin2 0-d 0而Y轴分量在叠加中也相互抵消,YtB dBX2ngo K . 2sin02nd,J X dBgokn 12n 02n21方向沿X轴正向。10.半径为R的半圆线圈ACD通有电流12,置于电流为l1的无限长直线电流的磁场中

21、, 直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘。求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力。解：长直电流在周围空间产生的磁场分布为 B 必山小.,/ 2 r如图取XOY坐标系，则直导线在半圆线圈所在处产生的磁感应强度大小为：B 丛，方向垂直纸面向里，2 Rsin 0式中为场点至圆心的联线与 Y轴的夹角。半圆线圈上 dl段线电流所受的力为:BdFl2dll2BdldFy dF cos 0 ,M0I 1 I 22 Rsin 0根据对称性知：Rd 0 ,FyFxn0dFxM0 I 1I 22n7tdFyM0 I1I 22所以线圈受11的磁力大小为:Fx-嘟人,方向:2垂直Il向右。d,中心线间的距离为3d的

22、载流长直导线水平平行放置。在X3d皿乡Lti1iM0 I3d x11.如图所示，有两根直径为两导线(可视作导轨)间有一块质量为m的导体块，可在导轨上无摩擦地滑动，且与导轨两侧有良好的接触。导轨长为(l>>d),导轨和滑块的电阻不计，它们中间通过稳定电流求：(1)静止滑块从导轨的一端滑到另一端所经历的时间。(2)滑块离开导轨时的速率。解：(1)由于滑块作为电流通道的一部分，所以对滑块来说两条导轨都是半无限长直电流。根据安培环路定律和磁场叠加原理，可得两载流导轨间的磁场分布为LL0 IB(x)严4 x根据安培定律，滑块受到载流导线的磁力为f 1d IB(x)dx2I 2M0Iln 52

23、 m又根据牛顿第二定律，滑块的加速度滑块作匀加速直线运动(初速为a m0),则I 2M0Iln 52 m1at2，tmlM I n5(2)滑出导轨时的速度为vt at补充习题12a345B的67R2求89Ll0q 7& A* w角速度匀速转动（O点在细杆AB延长线上）。（2）磁矩Pm ；如图示，一扇形薄片，半径为R,张角为，其上均匀分布正电荷， 电荷密度为，薄片绕过角顶O点且垂直于薄片的轴转动，角速度 为。求O点处的磁感应强度。均匀带电刚性细杆 AB，电荷线密度为，绕垂直于直线的轴 O以求：（1）O点的磁感应强度B0 ；（3）若 a b，求 B0 及 Pm。将N根很长的相互绝缘的细直导线平行紧密排成一圆筒形，筒半径为R,每根导线都通以方向相同，大小相等的电流，总电流为I。求每根导线单位长度上所受的力的大小和