《简谐运动的回复力和能量》教学案例分析

1、简谐运动的回复力和能量 教学案例分析课时 11.3 简谐运动的回复力和能量理解回复力的概念，会根据回复力的特点判断物体是否 做简谐运动。会用动力学的方法分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。会用能量守恒的观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。重点难点：回复力的特点、简谐运动的动力学分析及能 量分析。教学建议：前两节研究的是做简谐运动的质点的运动特 点,不涉及它所受的力以及能量转换的情况，是从运动学的角度研究的。而本节要讨论它所受的力和能量转换的情况,是从动力学和能量的角度研究的。教学中要讲清回复力是根 据振动物体所受力的效果来命名的，振子的惯性使振子远离平衡位置时，

2、回复力总是使振子回到平衡位置，正是这一对矛盾才使振子形成振动。 从能量守恒的角度对简谐运动进行 分析时，只限于对水平弹簧振子。导入新课：很多同学都喜欢荡秋千，你思考过吗，为什么 一次次荡起的秋千还会一次次回到最低点？又为什么荡秋千 时能荡得很高？1.简谐运动的动力学特征回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反总是指向平衡位置，它的作用是使振子能回到平衡位水平放置的弹簧振子做简谐运动时，其回复力可表示为F=-x,式中为比例系数，也是弹簧的劲度系数；负号表示 力 F与位移 x 方向相反。如果质点受到的力与它偏离平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置，该质点的运动就是简谐运动。 简谐运动的

3、能量的特征弹簧振子的速度在不断变化，因而它的动能在不断变化；弹簧的形变量在不断变化，因而它的势能在不断变化。理论证明：若忽略能量损耗，在弹簧振子运动的任意位置,系统的动能与势能之和都是一定的，与机械能守恒定律相一致。实际运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化模型。回复力是按性质命名的力还是按效果命名的力？解答：回复力是按效果命名的力。弹簧振子在什么位置动能最大？在什么位置势能最大？解答:在平衡位置动能最大，在最大位移处势能最大。简谐运动过程中有能量损耗吗？解答:简谐运动是一种理想化的模型，没有能量损耗。主题 1:简谐运动的回复力问题：如图所示，振子在外力作用下把水平弹簧拉伸至A点,松

4、手后振子做简谐运动。仔细观察水平放置的弹簧振子 的运动，完成下表。振子的运动AT00 宀AATooTA物理量的变化 xFa根据问题的分析，总结简谐运动的回复力的特点。解答：振子的运动ATOOTAATOOTA物理量的变化 x 减小增大减小增大F 减小增大减小增大a 减小增大减小增大简谐运动的回复力与振子的位移成正比，方向与振子的位移方向相反。知识链接：简谐运动的物体在平衡位置时回复力一定为 零，但物体的合力不一定为零。主题 2:简谐运动的判定方法问题：如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别 为1 和 2 的轻弹簧系住一个质量为的小球。开始时，两弹簧 均处于原长，后使小球向左偏离 x 后放手

5、，可以看到小球将在水平面上做往复运动。请思考，小球是在做简谐运动吗？解答：小球水平方向受到两根弹簧的弹力作用，当小球向左偏离平衡位置的位移为x 时,左方弹簧受压，对小球的弹力大小为 F1=1x,方向向右；右方弹簧被拉伸,对小球的弹力 大小为F2=2x,方向向右。小球所受合力大小为F=F1+F2=x,方向向右。令=1+2,上式可写成:F=x。再考虑 F 与 x 的方向，则 F=-x,所以小球是在做简谐运动。知识链接：判断物体是否做简谐运动，关键是合理地选 择研究对象，并确定回复力是否总与位移成正比，且方向相反。主题 3:简谐运动的能量问题：图示为一做简谐运动的弹簧振子，仔细观察弹簧振子运动过程中

6、的能量转化情况，试分析各阶段的能量转化情况,并填入表格。振子的运动AT00 宀 AAT00TA物理量的变化位移大小速度大小能量的变化动能势能总能量思考：弹簧振子在初始释放位置时具有什么能？该能量又是如何获得的？弹簧振子在平衡位置时具有什么能？该能量又是如何获得的？解答：振子的运动AT00 宀AATooTA物理量的变化位移大小减小增大减小增大速度大小增大减小增大减小能量的变化动能增大减小增大减小势能减小增大减小增大总能量不变不变不变不变1弹簧振子在初始释放位置时具有最大势能，该势能是通过外力做功获得的。2弹簧振子在平衡位置时具有最大动能，该动能是由势能转化而来的。知识链接：简谐运动的能量跟振幅有

7、关，振幅越大，振动的能量越大。由于简谐运动的总能量保持不变，所以又称为等幅振动。1.如图所示，对做简谐运动的弹簧振子进行受力 分析,则关于振子所受的力，下列说法正确的是。A. 重力、支持力、弹簧的弹力B. 重力、支持力、弹簧的弹力、回复力c.重力、支持力、回复力、摩擦力D.重力、支持力、摩擦力【解析】有不少同学误选 B,产生错解的主要原因是对回 复力的性质理解不清楚，或者说是对回复力的没有弄清楚，因此一定要清楚地认识到它是由其他力所提供的力。【答案】A【点评】回复力是各个力的合力，并不是一个单独的力。一个做简谐运动的物体，每次有相同的动能时，下列说 法正确的是。A. 具有相同的速度B. 具有相

8、同的势能c.具有相同的回复力D.具有相同的位移【解析】做简谐运动的物体，有相同的动能的点有两个，且关于平衡位置对称，这两点的位移、回复力方向都不同。 而即使是同一点，速度也有两个不同的方向。分析此题时注 意矢量和标量的区别，只有 B 选项正确。【答案】B【点评】加速度随位移变化的规律与回复力一致。图示为一弹簧振子,o 为平衡位置，设向右为正方向，振 子在B、c 之间振动时。A.B-o 位移为正、回复力为正B.o f c 位移为正、回复力为负 c.cfo 加速度为负、回复力为负D.ofB 加速度为正、回复力为负【解析】由 Bfo 运动时，振子在 o 左侧，位移为负，回复 力指向 o 点，故选项

9、A 错误；同理可以判断选项 B 正确。由 cfo 运动时，振子的回复力指向 o 点,加速度与回复力方向相 同，故选项c 正确；同理可以判断选项 D 错误。【答案】Bc【点评】回复力的方向总与位移的方向相反，与加速度方向相同。图示为一在水平方向上振动的弹簧振子的振动图象，由此可知。大位移处和负向最大位移处，速度为零，动能为零，弹簧形变量最大，振子所受弹力最大，故选项Ac 均错；由图知，在 t2和 t4 时刻，振子处于平衡位置，速度最大，动能最大，弹簧无 形变,振子所受弹力最小，故选项 B 正确,选项 D 错误【答案】BA.在 t1时刻，振子的动能最大,所受的弹力最大B.在 t2时刻，振子的动能最

10、大 ,所受的弹力最小c.在 t3时刻，振子的动能最大 ,所受的弹力最小D.在 t4时刻，振子的动能最大,所受的弹力最大【解由图知，在 t1 和 t3 时刻，振子分别处于正向最【点评】振子在平衡位置时动能最大。拓展一：简谐运动的能量图示是简谐运动的振动图象，则下列说法中正确的是。A. 曲线上 A、c、E 点振子的势能最大B. 曲线上 A、E 点振子的势能最大，c 点振子的势能最小c.曲线上 B、D 点振子的机械能相等D.曲线上 F 点振子的动能最大【分析】根据振动图象可以判断各点的能量情况。动能 和势能都是标量，质点离平衡位置越远,势能越大；又因为简 谐运动机械能守恒，可知越靠近平衡位置动能越大

11、。【解析】简谐运动的机械能是守恒的，所以在各个位置的机械能应相等。从平衡位置向最大位移处运动的过程中动 能向势能转化，动能减少，势能增加。在最大位移处，势能最 大,动能为零；而在平衡位置时动能最大，势能为零。【答案】AcD【点拨】在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周 期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位 移处时，势能最大，动能最小。拓展二：简谐运动的证明如图所示，粗细均匀的一条木筷，下端绕几圈铁丝，竖直 浮在较大圆筒里的水中，把木块向下按一段距离后放手，木 筷就在水中上下振动。请你从简谐运动的力学特征来证明木块做的是简谐运动。【分析】筷子静止时的位置是平衡位置，假设从该位

12、置 向下按筷子的距离为 X,分析此时其回复力特点，如果满足 F=-x，则说明筷子做简谐运动。为了分析方便，可以假设一些 物理量，如筷子质量，筷子横截面积 S,水的密度p,等等。【解析】设筷子的横截面积为 S,并以向下的方向为正方 向木筷处于平衡位置时有pVOg=g若筷子向下离开平衡位置的位移为x,则此时筷子所受合外力为 F 回=F 合=-pg+g联立解得回复力 F 回=-pgSx=-x回复力与位移大小成正比，方向相反，木筷做简谐运动。【答案】见解析【点拨】在证明简谐运动时，应先找出平衡位置，并找出 平衡位置处振子的受力关系。 再在振子振动的任意位置进行 受力分析，且设出位移的正方向，然后求出任

13、意位置时振子 的回复力，看其是否满足 F 回=-x。一、物理百科你会荡秋千吗？你喜欢荡秋千吗？也许你很喜欢却荡不好。要知道，会荡秋千的人，不用别人帮助推，就能越摆越高，而不会荡秋千的 人则始终也摆不起来，知道这是什么原因吗？请你仔细观察一下荡秋千高手的动作：他从高处摆下来的时候身子是从直立到蹲下，而从最低点向上摆时，身子又从蹲下到直立起来。由于他从蹲下到站 直时，重心升高，无形中就对自己做了功，自身内能转化为机 械能，增大了重力势能。因而，每摆一次秋千，都使荡秋千的 人自身机械能增加一些。如此循环往复，总机械能越积越多,秋千就摆得越来越高了。不信你可以试试看！二、备用试题弹簧振子在光滑水平面上

14、做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中。A. 振子所受的回复力逐渐增大B. 振子的位移逐渐增大c.振子的速率逐渐减小D.弹簧的弹性势能逐渐减小【解析】在振子向平衡位置运动的过程中，振子的位移逐渐减小，速率逐渐增大，弹簧的弹性势能逐渐减小。 故选 D【答案】D当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时，下列说法中正确的是。A. 振子在振动过程中，速度相同时，弹簧的长度一定相 等,弹性势能相同B. 振子从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹力始终做负功c.振子在运动过程中的回复力由弹簧的弹力和振子的重力的合力提供D.振子在运动过程中，系统的机械能守恒【解析】振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同的位置可能

15、出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等,A 错;振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，应做正功,B 错；振子运动中的回复力由弹簧振子所受合力提供，且运动中机械能守恒，故c、D 对。【答案】cD如图所示的弹簧振子,o 为平衡位置,B、c 为最大位移位 置，以向右的方向为正方向，则振子从 B 运动到 o 的过程中，位移为,大小逐渐,回复力方向为,大小逐渐,振子速度方向为,大小逐渐,动能逐渐,势能逐渐【解析】振子从 B 向 o 运动的过程中，位置在 o 点的右 方,到 o 点距离逐渐减小，故位移为正值，大小逐渐减小。由 F=-x 和a=-x 可知，回复力和加

16、速度的大小均在减小，方向为 负,振子的速度方向为负，大小逐渐增大，故动能也在增大，势能逐渐减小。【答案】正 减小负减小负增大增大减小 1.关于做简谐运动的物体每次通过平衡位置时的情况，下列说法正确的是。A. 位移为零，动能为零B. 动能最大，势能最小c.速率最大，回复力不为零D.以上说法均不对【解析】物体经平衡位置时，位移为零，回复力为零，速度最大，动能最大，势能为零，所以 B 正确,A、c、D 错误。【答案】B做简谐运动的弹簧振子，当回复力由小变大时，下列物理量也变大的是。A. 弹簧的弹性势能B. 振子的速率c.振子的加速度 D.振子的能量【解析】当回复力由小变大时，位移正在增大，则弹簧的

17、弹性势能增大,A 正确；振子的速率减小,B 错误；振子的加速 度增大,c正确；振子的能量不变，D 错误。【答案】Ac把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧 振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置 o 在A、B 间振动，如图所示。下列结论正确的是。A. 小球在 o 位置时，动能最大，加速度最小B. 小球在 A、B 位置时，动能最大，加速度最大c.小球从 A 经 o 到 B 的过程中，回复力一直做正功D.小球从 B 到 o 的过程中，振动的能量不断增加【解析】振子以 o 为平衡位置，在A B之间振动。在 o 点时,动能最大，回复力为零，加速度最小；在 A、B 位置时，动 能最

18、小，回复力最大，加速度最大。从 A 到 o 回复力做正功，从 o 到B 回复力做负功；小球从 B 到 o 弹簧弹力做功，弹簧振 子的机械能不变。【答案】A图示为一弹簧振子做简谐运动的图象，由图可知,t1 和 t2 时刻对称。对振子在 t1 和 t2 时刻进行比较，下列结论正 确的是。A. 振子具有相同的速度B. 振子具有相同的位移c.振子具有相同的加速度D.振子具有相同的机械能【解析】t1 和 t2 两时刻振子所处的位置关于平衡位置 对称,速度、加速度、位移三者的大小均相同，速度方向相同，但加速度和位移方向都相反，故选项 A 对,选项 B、c 错。由 于振动过程中机械能守恒，所以 t1 和 t

19、2 时刻机械能相等，选 项 D 对。【答案】AD如图所示，弹簧上面固定一质量为的小球，小球在竖直方向上做振幅为 A 的简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧 正好为原长，则小球在振动过程中。A. 小球最大动能应等于 gAB. 弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变c.弹簧最大弹性势能等于 2gAD.小球在最低点时所受弹力大于2g【解析】小球在平衡位置时有x0=g,即 xO=A=。振动过程中弹簧振子的机械能守恒，即动能、重力势能和弹性势能 之和保持不变。从最高点到最低点，重力势能全部转化为弹 性势能，Ep=2gA,最低点加速度大小等于最高点加速度g,根据牛顿第二定律 F-g=g,所以小球在最低点时的弹

20、力F=2g。【答案】c如图所示，光滑的水平面上放有一弹簧振子，轻弹簧右端固定在滑块上，已知滑块质量=0.5g,弹簧劲度系数=240N/, 将滑块从平衡位置 o 向左平移，使弹簧压缩 5c,静止释放后滑块在 A、B 间滑动，则：滑块在 A、B、o 三点中哪点加速度最大？此时滑块加速 度为多大？滑块在 A、 B、 o 三点中哪点速度最大？此时滑块速度为 多大？【解析】由于简谐运动的加速度a=-,故加速度最大的位置在最大位移处的 A 或 B 两点，加速度大小a=x0.05/s2=24/s2。在平衡位置 o 滑块的速度最大根据机械能守恒定律有Ep=故 v=/s 1.1/s。【答案】A 点或 B 点 2

21、4/s2 o 点 1.1/s 甲如图甲所示,A、B 两物体组成弹簧振子，在振动过程中,A、B 始终保持相对静止，图乙中能正确反映振动过程中A所受摩擦力 Ff 与振子的位移 x 关系的图象应为。乙【解析】在振动过程中 A、B 始终保持相对静止，可以把 A、B 看成整体进行受力分析，设 A、B 的质量为 A、B,弹簧的 劲度系数为，则有 a=-x,a=-,A 所受摩擦力 Ff=-x,所以 Ff 与 位移的关系是Ff=-x。【答案】c做简谐运动的弹簧振子，其质量为，最大速率为 v。下列说法中正确的是A. 振动系统的最大弹性势能为v2B. 当振子的速率减为时，此振动系统的弹性势能为c.从某时刻起，在半

22、个周期内，弹力做的功一定为零D.从某时刻起，在半个周期内，弹力做的功一定为 v2【解析】根据简谐运动机械能守恒原理，判断 A 选项正 确。当振子的速率减为时，振子的动能减少量 E=v2-2=v2,那么振动系统的弹性势能为v2,B 选项错误。从某时刻起经过半个周期，振子回到原位置或者回到关于平衡位置对称的 位置，经过半个周期振子的速率恢复到原来的数值，所以动能不变，根据动能定理，弹力做功为零,c 选项正确，D 选项错 误。【答案】Ac如图所示，物体系在两弹簧之间，两弹簧劲度系数分别 为 1和 2,且 1=,2=2,两弹簧均处于自然状态。今向右拉动，然后释放，物体在 B、c 间振动,o 为平衡位置，则下列判断正 确的是。A. 做简谐运动,oc=oBB. 做简谐运动,oc 工 oBc.回复力 F=-xD.回复力 F=-3x【解析】本题易误选 B、c,误以为物体两边弹簧的劲度系数不同，因此做简谐运动时，左右最大位移不对称，即 0C 工 oB,误认为选项 B 正确。根据物体做简谐运动的条件是物体 所受回复力为 F=-x,因此误认为选项 c 正确。造成这些错误 的原因是没有用