高中数学--数学归纳法(共9页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上13.4 数学归纳法一、填空题1用数学归纳法证明1n(nN，且n1)，第一步要证的不等式是_解析n2时，左边11，右边2.答案122.用数学归纳法证明：；当推证当nk1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是.解析 当nk1时，故只需证明即可.答案 3若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_解析f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.答案f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)23若存在正整数m，使得f(n)(2n7)3n9(nN*)能被m整除，则

2、m_.解析f(1)6，f(2)18，f(3)18，猜想：m6.答案64用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开的式子是_解析假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可答案(k3)35用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上_解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答

3、案(k21)(k22)(k23)(k1)26用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上_解析当nk时，左侧1当nk1时，左侧1.答案7.设平面内有n条直线其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n4时,f(n)= (用n表示). 答案:5 2) 解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9, 每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数. f(4)-f(3)=3, f(5)-f(4)=4, f(n)-f(n-1)=n-1. 累加得 f(n)-f(3)=3+4+(n-1) . 2). 8用数学归纳法证明不

4、等式1(nN*)成立，其初始值至少应取_解析 右边12，代入验证可知n的最小值是8.答案89在数列an中，a1且Snn(2n1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表达式是_解析当n2时，a1a26a2，即a2a1；当n3时，a1a2a315a3，即a3(a1a2)；当n4时，a1a2a3a428a4，即a4(a1a2a3).a1，a2，a3，a4，故猜想an.答案an10用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，从“k到k1”左端需乘的代数式是_解析左端需乘的代数式是2(2k1)答案2(2k1)11如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(nN*)行，在这些

5、数中非1的数字之和是_111121133114641解析所有数字之和Sn202222n12n1，除掉1的和2n1(2n1)2n2n.答案2n2n12对于不等式n1(nN*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立则上述证法中_（哪一步推理）不正确. 解析 此同学从nk 到nk1的推理中没有应用归纳假设答案 从nk到nk1的推理1312223242(1)n1n2，当n分别取1,2,3,4时的值依次为_，所以猜想原式_.解析当n1时，原式121(1)11当n2时，原式12

6、223(1)21当n3时，原式1222326(1)31当n4时，原式1222324210(1)41猜想原式(1)n1.答案1，3,6，10(1)n1二、解答题14已知数列an满足an1apan(pR)，且a1(0,2)，试猜想p的最小值，使得an(0,2)对nN*恒成立，并给出证明证明当n1时，a2apa1a1(a1p)因为a1(0,2)，所以欲使a2(0,2)恒成立，则要恒成立，解得2p2，由此猜想p的最小值为2.因为p2，所以要证该猜想成立，只要证：当p2时，an(0,2)对nN*恒成立现用数学归纳法证明：当n1时结论显然成立；假设当nk时结论成立，即ak(0,2)，则当nk1时，ak1a

7、2akak(2ak)，一方面，ak1ak(2ak)0成立，另一方面，ak1ak(2ak)(ak1)2112，所以ak1(0,2)，即当nk1时结论也成立由可知，猜想成立，即p的最小值为2.15在数列an中，对于任意nN*，an14a3an.(1)求证：若|an|1，则|an1|1；(2)若存在正整数m，使得am1，求证：|a1|1；a1cos(其中kZ)(参考公式：cos 34cos33cos )证明(1)因为|an|1，an14a3an.所以|an1|4a3an|an|(4|an|23)1.(2)假设|a1|1，则|a2|4a3a1|a1|(4|a1|23)1.若|ak|1，则|ak1|4a

8、3ak|ak|(4|ak|23)1.所以当|a1|1时，有|an|1(nN*)，这与已知am1矛盾，所以|a1|1.由可知，存在，使得a1cos ，则a24cos33cos cos 3.假设nk时，有ancos 3n1，即akcos 3k1，则ak14a3ak4(cos 3k1)33(cos 3k1)cos 3k.所以对任意nN*，ancos 3n1，则amcos 3m11,3m12k，其中kZ.即.所以a1cos(其中k为整数)16在数列an中，a11，an1c.(1)设c，bn，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan13成立的c的取值范围解析(1)an122，2，即bn14bn2.

9、bn14，又a11，故b11，所以是首项为，公比为4的等比数列，bn4n1，bn.(2)a11，a2c1，由a2a1，得c2.用数学归纳法证明：当c2时，anan1.当n1时，a2ca1，命题成立；设当nk时，akak1，则当nk1时，ak2ccak1.故由知当c2时，anan1.当c2时，因为can1an，所以acan10有解，所以an，令，当2c时，an3.当c时，3，且1an，于是an1(an)(an)(an1)(1)所以an1(1)，当nlog3时，an13，an13，与已知矛盾因此c不符合要求所以c的取值范围是.17已知在正项数列an中，对于一切的nN*均有aanan1成立(1)证明

10、：数列an中的任意一项都小于1；(2)探究an与的大小，并证明你的结论证明(1)由aanan1，得an1ana.因为在数列an中，an0，所以an10.所以ana0.所以0an1.故数列an中的任意一项都小于1.(2)由(1)知0an1，那么a2a1a2，由此猜想：an(n2)，下面用数学归纳法证明：当n2时，显然成立；当nk时(k2，kN)时，假设猜想正确，即ak，那么ak1aka22，故当nk1时，猜想也正确综上所述，对于一切nN*，都有an.18. 设函数yf(x)，对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN*)的表达式并用数学归纳法证明.【解题指南】(1)令x，y均为0可得f(0)；(2)利用递推条件可得f(2)，f(3)，f(4)；(3)证明时要利用nk时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200，得f(0)0.(2)由f(1)1，得f(2)f(11)f(1)f(1)2114.f(3)f(21)f(2)f(1)2219.f(4)f(3