2012年高考数学《导数及其应用》专题导数的概念及性质学案

1、-1 - 第 2 课时 导数的概念及性质 1 基础过的单调性 函数 y = f(x)在某个区间内可导，若 f (x) 0，贝 U f(x)为 _ ;若 f (x) v 0,贝 U f(x) 为 . (逆命题不成立) 如果在某个区间内恒有 f(x)=0，则f(x) _ 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的 (3)求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数f (x)的 _ ; 求f (x)，令 _ ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序 排列起来，然后用这些点把函数 f(X)的定义区

2、间分成若干个小区间； 确定f(x)在各小开区间内的 _ ，根据f(X)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间 内的增减性 2. 可导函数的极值 极值的概念 设函数f(x)在点 Xo附近有定义，且对 xo附近的所有点都有 _ (或 _ )，则称 f (xo) 为函数的一个极大(小)值称 x0为极大(小)值点 求可导函数极值的步骤： 求导数f (x); 求方程f(X)= 0 的 _ ; 检验f (x)在方程f (x) = 0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正， 右侧附近为负，那 么函数 y = f(x)在这个根处取得 _ ;如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数 y =f (x)在这个

3、根处取得 3. 函数的最大值与最小值： 设 y= f(x)是定义在区间a ,b 上的函数，y= f(x)在(a ,b )内有导数，则函数 y = f(x) 在a ,b 上 _ 有最 大值与最小值；但在开区间内 _ 有最大值与最小值. (2) 求最值可分两步进行： 求 y= f (x)在(a ,b ) 内的 _ 值； 将 y= f (x)的各 _ 值与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为 最小值. (3) 若函数 y= f (x)在a ,b 上单调递增，则f (a)为函数的 _ , f(b)为函数的 _ ; 若函数 y = f(x)在a ,b 上单调递减，则 f(a)

4、为函数的 _ , f (b)为函数的 -2 - 典型例题 例 1.已知 f(x)=e x-ax- L (1) 求 f(x)的单调增区间； (2) 若f(x )在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围； (3) 是否存在 a,使 f(x)在(-g, 0上单调递减，在0, +8)上单调递增？若存在，求 出 a 的值；若不存在，说明理由. 解：f(x)=ex-：L (1) 若 a0恒成立，即 f(x)在 R 上递增| 若 a0,e x-a 0, e x a,x In a.二 f(x)的单调递增区间为 讥-曲一 (2) v f ( x)在 R 内单调递增， f (x) 0在 R 上恒成立| /ex

5、-a0,即卩 aex在 R 上恒成立| -a0,二応L (3) 方法一 由题意知 ex-ae x在(-g, 0上恒成立.Te x在(-g, 0上为增函数| x=0 时，ex最大为 1. a 1.同理可知 ex-a0在0, +g)上恒成立| aex在0, +g)上恒成立. a0在(-g，+ g)上恒成立，即 a0, 只需 a3x ,x (-1,1)恒成立丨 T -1x1, 3x 23.当 a=3 时，f (x)=3(x2-U* 在 x (-1,1) 上, f (x) 3,使 f(x)在(-1 , 1)上单调递减. (3) 证明 T f( -1)=a- 2 0),求函数在1, 2 上的最大值. 解

6、 / f ( x) =x2e-ax (a 0) , f (x) =2xe-ax+x2 ( -a)e -ax=e-ax(-ax 2+2x). 令 f (x) 0,即 e-ax (-ax 2+2x)0,得 0 x 2 | a 当 0 2 2 时,f(x )在(1, 2)上是减函数 a f ( x) max=f ( 1) =e-a . 当 1 2 w2,即 1 x -3 (-3,-2) -2 丨 _ 2 | 2,3 3 31 / y + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 95 单调递增 y 8 1 27 / / 当 x变化时，y,y 的取值及变化如下表: y=f (x) 在 -3 , 1上的最大值

7、为 13,最小值为 95 27 1 4 0, 2上是增函 f(x)在(-g,0), 在 f(x)在1,2上是增函数，在 a) -5 - 因此，函数 f(x)在 x=a处取得极小值 f ( a ), 3 3 且 f ( a ) =- 4 a3; 3 27 函数 f(x)在 x=a 处取得极大值 f(a),且1 汇：-0, 若a2 时，即 0a1 时，f(x)在(1, 2)上是增函数， a -2a f ( x) max=f (2) =4e 综上所述，当 0a2 时，f(x)的最大值为 e-a. 变式训练 3.设函数 f(x)=-x(x-a) (x R),其中 a R (1) 当 a=1 时，求曲线

8、 y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程; (2) 当 a0时，求函数 f(x)的极大值和极小值| 解：(1)当 a=1 时，f(x) =-x(x-1) 2=-x 3+2x2- A, 2 f(2)=-2, f (x) =-3x +4x- I, f =-12+8-1=- 当 a=1 时，曲线 y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为 5x+y-8=0. 2 3 2 2 (2) f(x)=-x(x-a) =-x +2ax -a x, 2 2 f (x) =-3x +4ax-a =-(3x-a)(x-a), 令f (x) =0,解得 x= a或X二乩 若 a0,当 x 变化时, f (x)

9、的正负如 卜表： x (-m, a ) 3 a 3 (3 3 ,a) af (x) - 0 + 0 4 3 f(x) a 27 / 0 (a,+ g) 由于 0,以下分两种情况讨论| -6 - x (-m ,a) a a (a, 3 ) a a ( f (x) - 0 + 0 - f(x) 0 / 4 3 a 、 -7 - 因此，函数 f (x)在 x=a 处取得极小值 f(a),且 f(a)=O ; 函数 f(x)在 x= a处取得极大值 f ( a ) 3 3 且 f ( a ) =- 4 a3. 3 27 例 4某分公司经销某种品牌产品，每 件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司

10、交 a 元(3 a 5)的管理费，预计当每件产品的售价为 x元(9Wx 11)时，一年的销售量为(12-x) 万件| (1)求分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值 Q( a) 解 (1)分公司一年的利润 L (万元)与售价 x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x) 2 3,x 9,11 : | (2) L(x) =(12-x) 2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a- :反. 令L =0 得 x=6+ -a 或 x=12 (不合题意，舍去)| 3 / 3

11、a 5, 8 6+ 2 a 28 | 3 3 在 x=6+ 2 a 两侧 L的值由正变负| 3 所以当 8 6+2av 9 即 3=L(9)=(9-3-a)(12-9) 2=9(6- aj. 3 2 当 9 6+ 2 a 28，即 9 a=L(6+ 2a)=(6+ 2 a-3-a) : 12-(6+ 2 a): =4(3- 1 a) I 3 3 3 3 所以Q(a)= 4 3十 9 3 兰a 9, 2 9勺乞5. 2 -8 - 答若30, P(x) =0 时,x=12 , 当 0 x0,当 x12 时，P(x)4, x=12 时，P(x)有最大值| 即年造船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大 (3) MP(x)=-30 x 2+60 x+3 275=-30(x-1) 2+；淅, 所以，当 x1时，MP(x)单调递减