量子力学中常用算符对易关系及其证明_图文

1、 和经典粒子的力学量不同,量子力学中的微观力学量(如坐标、动量、角动量、能量等要用希尔伯特空间的线性厄米算符来表示,这是量子力学的基本假设之一。对易关系是力学量算符的本质,我们对一切算符的相关计算都是以对易关系为出发点。为此,算符对易关系是研究和分析微观物理的基石,是量子力学课程的重要组成部分。在教学过程中如何证明和理解这些对易关系显得尤为重要,也是学生学好量子力学课程的关键。量子力学是本科教学中比较困难的课程之一。另外,大多数教材并没有给出算符对易关系的详细证明,更是让学生摸不着头脑。本文旨在归纳、总结量子力学中的一些基本力学量(坐标算符、动量算符、轨道角动量算符、自旋角动量算符间的对易关系

2、,并给出详细的推导过程,便于教师的课堂教学和学生学习,加深学生对量子力学算符及其对易关系的理解和掌握。算符是代表进行某种运算规则的符号。如数学算符、等。量子力学中的算符代表对波函数的一种运算,即规定一种对应关系:假设某种运算把函数变为,则用符号表示为,满足这种对应关系的就称为算符。在量子力学中,系统的每一个力学量都有一个相应的算符。如坐标的算符,动量的算符,其它力学量算符都可由坐标和动量这两个基本算符导出。不同的力学量算符对波函数的作用方式和结果也不同如:,。算符的对易关系是指:设有描述体系力学量的两个算符与,若,称算符与不对易(不能交换位置,即;若,称算符与对易,即。在量子力学中,要完全确定

3、体系所处的1算符及其算符对易关系的概念,122p 量子力学中常用算符对易关系及其证明Concluding and Proving the Commutation Relation ofOperators often Used in Quantum Mechanics杨秀德,杨友昌,吴波,万猛(遵义师范学院物理与机电工程系,贵州遵义563002摘要:文章对量子力学中常用的算符对易关系作了分析、归纳和总结,并进行了详细的证明,以加深学生对算符及其对易关系的理解和掌握,为量子力学课程的教学提供参考。关键词:量子力学;算符;对易关系;归纳;证明中图分类号:G642.0文献标识码:A 文章编号:1009

4、-3583(2011-06-0103-04(Department of Physics and Mechanical &Electrical Engineering,Zunyi Normal College,Zunyi563002,ChinaAbstract:In order to help physical students really understanding the commutation relation of operators,we analyze,conclude and summarize the commutation relations of operators oft

5、en used in quantum mechanics,which provide some references for teaching of quantum mechanics course as well.Key words:quantum mechanics;operator;commutation relation;concluding;provingYANG Xiu-de,YANG You-chang,WU Bo,WAN Meng收稿日期:2011-09-18基金项目:贵州省教育厅自然科学类科研资助项目(黔教科20100084;贵州省科学技术基金项目(黔科合J字20112364

6、号。作者简介:杨秀德,男,贵州遵义人,遵义师范学院物理与机电工程系讲师,硕士,主要从事理论物理教学研究。第卷第期年月136201112V ol.13,No.6Dec.2011Journal of Zunyi Normal College遵义师范学院学报状态,需要一组相互对易的力学量,这一组完全确定体系状态的力学量,叫力学量的完全集。在完全集中力学量的数目一般与体系自由度的数目相等。如,三维空间中自由粒子的自由度是,完全确定它的状态需要三个互相对易的力学量 ;又如,原子中电子的自由度为,完全确定它的状态需要三个互相对易的力学量。描述量子力学的状态用波函数来表示,波函数具有统计解释意义,算符是对波

7、函数的一种操作,要完全确定一个量子力学状态需要一组相互对易的力学量。为此,算符及其对易关系是量子力学理论建立的基本前提,在量子力学描述中占据着十分重要的地位和作用。对算符及其对易关系的理解和掌握是学生学习量子力学的关键。量子力学中常用的算符对易关系主要是指坐标算符、动量算符、轨道角动量算符、自旋角动量算符等这些基本力学量算符间的对易关系。算符对易关系可利用关系式来证明,但注意算符只有作用到波函数上才有意义,在证明对易关系时,带上波函数进行运算肯定不会出现错、漏项,否则在证明过程中很容易漏项。另外,也可以利用已有的对易关系证明未知的对易关系。坐标算符与动量算符坐标算符与动量算符的对易关系是最基本

8、的对易关系,其它力学量的对易关系均可由此导出。坐标算符间的对易关系坐标算符是乘数因子,相互对易其对易关系可归纳为:(在直角坐标系中,可表示为:动量算符间的对易关系动量算符是微分算符,因求微分交换先后次序结果相同。其对易关系可归纳为:(在直角坐标系中,可表示为:坐标算符与动量算符间的对易关系坐标算符与动量算符间的对易关系式,可归纳为:(其中,为克罗内克符号,可表示为分析:证明该对易关系就是证明如下关系式:其中为任意波函数,共有个对易关系式。证明:设为任意波函数,取,则有比较后可得,由于为任意函数,所以相同方法可证得如下关系:通过归纳,即可得出前面所归纳的一般关系。轨道角动量算符角动量算符与坐标算

9、符间的对易关系动量算符与坐标算符间的对易关系式,可归纳为:(上式中称为三阶反对称单位张量符号,采用以下重复指标自动求和的规约:证明由可得所以,在直角坐标系中对应的其它对易关系可表示为:23332.12.1.1,12.1.222.1.3392.22.2.14:,2常用的算符对易关系及其证明第卷第期136201112年月遵义师范学院学报2.2.25,2.2.36= ,1,72,8462.39角动量算符与动量算符间的对易关系角动量算符与动量算符的对易关系式,可归纳为:(证明:在直角坐标系中对应的其它对易关系有:角动量算符间的对易关系角动量算符间的对易关系式,可归纳为:(证明:左边:利用关系:可得上式

10、令右边:即,左边右边。在直角坐标系中对应的其它对易关系有:可知,角动量的对易关系可以合写为一个矢量公式:由上可知,一般情形下,轨道角动量算符的对易关系,可总结如下:(若算符是任一标量算符角动量算符与算符的关系可归纳为:(若算符是任一矢量算符角动量算符与算符的关系可归纳为:(并且,轨道角动量算符的对易关系(式在直角坐标系中,还有一个简便的记忆方法:从左至右以依次循环指标为正,任何一个指标错位即为负,相同指标则为零。自旋角动量算符自旋是微观粒子的量子特性,是微观粒子内部状态的表征,自旋角动量也是描述微观粒子的一个力学量。由于自旋角动量算符与坐标、动量无关,角动量算符表示对它不再适用,但它又是角动量

11、,因而具有和其它角动量应有的共性,这个共性表现在角动量所满足的对易关系。因此,自旋算符也满足这样的对易关系,即,分量的对易关系也具有如下与轨道角动量相同的形式:(直角坐标系中,对易关系可表示为:可以证明,自旋角动量算符间还存在如下的反对易关系:另外,量子力学中为分析方便,引进了泡利算符,与自旋算符的关系为。因而泡利算符是自旋算符的平行算符,其满足的对易关系与自旋算符完全相同,在此不一一列举分析。杨秀德等量子力学中常用算符对易关系及其证明2.4(110 (211(312(4131134678对易关系中的几个重要推论由以上算符的对易关系,可证明得出如下量子力学中几个非常重要的对易关系:(球坐标下是

12、的函数,若有径向函数算符,则(以上(式就是本文对量子力学中坐标算符、动量算符、轨道角动量算符、自旋角动量算符进行分析、证明得到的相应对易关系的归纳式,通过归纳式改变相应指标不仅可以直接得出这些算符在直角坐标系中相应的对易关系,通过简单的坐标变换,也可得出这些算符在其它坐标系下相应的对易关系。而且,角动量算符的对易关系(式还可总结为(、(两式更为普遍的表示形式,在直角坐标系中,还有一个非常简便的记忆方法来进行记忆,学生根据该方法很容易掌握这些对易关系。如果教师在量子力学中围绕这些对易关系普遍的结论归纳式来开展教学,就能很好地训练和拓展学生思维,加深学生对这些算符、对易关系及其作用的理解,从而为学

13、生后续课程的学习奠定基础。3结语参考文献:1曾谨言.量子力学(卷IM.北京:科学出版社,2004.175.2周世勋.量子力学教程(第2版M.北京:高等教育出版社,2009.46-79.3刘自信,王学雷,赖振讲,等.量子力学考研指导与习题精析M.北京:科学出版社,2006.5.(责任编辑:朱彬(上接99页参考文献:1刘荣厚,牛卫生,张大雷.生物质热化学转换技术M.北京:化学工业出版社,2005.2周春梅.生物质秸秆与残炭成型工艺及燃烧特性的试验研究D.淄博:山东理工大学,2007.3Lee JW,Kidder Mi,Evans BR,et al.Characterization of bioch

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