第一章 单时段模型

1、辽宁师范大学数学学院辽宁师范大学数学学院 王树新王树新金融数学教程金融数学教程邮箱：邮箱：shuxin_前言前言金融数学是指采用高等数学的研究方法研究金融资产及其衍生资产的定价、复杂投资技术与金融政策制定的一门交叉性学科。金融数学的研究内容从大的方面讲主要是金融有价证券和金融衍生证券的定价理论、不完全市场的经济均衡理论。金融数学的主要研究方法：1、运用高等数学、最优化、概率论、微积分等知识对金融原理进行推导。2、运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知识对金融原理进行假设检验，并提出一些经验性结论。参考书籍：参考书籍：1、蔡明超（译），金融数学 ，机械工业出版社.2、叶中行，王桂兰，林建忠，金

2、融数学衍生产品定价引论，人民邮电出版社.3、约翰. 赫尔，期权、期货及其他衍生产品，人民邮电出版社。4、陈启宏，陈迪华 （译），金融随机分析 上海财经大学出版社。 第一章我们将从金融市场和研究金融产品定价的问题入手，在简单的单时段两值模型中引入一些关于金融市场和金融衍生产品的一些最基本的定义。 所谓单时段模型，即只允许金融参与者在两个特定的时间对金融市场进行观察，两个特定的时间分别是金融合约的生效日和金融合约的到期日。 单时段模型虽然简单，但是它揭示了现代金融核心的重要性，它为我们以后研究多时段模型和连续模型奠定坚实的基础，同时它还能够是我们接触到与金融相关的一系列金融定义和术语。第一章第一章

3、 单时段模型单时段模型1.1 金融市场中的一些相关概念和定义金融市场中的一些相关概念和定义金融市场工具按金融产品存在的形式一般可分为两种类型：一类是原生股票（原生股票（underlying stock）（）（“标的证标的证券券”）：包括股票、股份、债券、商品、外汇以及货币等等；另一类是衍生产品衍生产品 (derivative)（“衍生证券衍生证券”）：）：即保证在未来某一时确定的时间给与某人或某公司某种支付或者转移某种原生股票的未定权益，这种权益视原生股票的行为而定。金融衍生产品依据权益的不同大致可分为远期期权、看涨期权、看跌期权等等。 1、衍生产品在金融市场中所起的作用：衍生产品通过参与者在

4、现在确定某种原生股票未来交易的价格，因而能减少或者扩大风险，有一种无需花费的合约，不但能消去股票和某些已确定未来价格的股票价格之间的差异，而且使双方都能承担属于股票自身固有的风险，并不需要马上用资金去购买。 2、原生股票和衍生资产之间的关系：在同一市场上原生股票和衍生产品的十分复杂和紧密，一般难以确定，可以确定的是没有原生股票就没有未定权益。但从形式上讲，衍生证券依赖于原生股票，原生股票所表现出的随机性转移到本身也表现到随机性的衍生产品上。下面我们来分析一下金融衍生产品在金融市场所起到的作用以及衍生资产和原生股票之间的关系。从衍生产品的定义很容易看出衍生产品（衍生产品（“衍生证衍生证券券”）是

5、保证在未来给予衍生产品购买者某种支付和转移的权益。如果某个交易者想获得某种权利来减少或者扩大未来对某种原生资产交易的风险，那么一个很自然的问题便是，他应该为得到相应的权利支付多少钱给赋予他相应权利的交易者，这是我们这本书，甚至可以说是整个金融领域比较关注的的一个主要问题，即 衍生产品衍生产品 (derivative)（“衍生证券衍生证券”）：）：即保证在未来给与某人或某公司某种支付或者转移某种原生股票的未定权益怎样才能获得衍生产品赋予的权益？怎样才能获得衍生产品赋予的权益？如何确定金融衍生产品的价格？如何确定金融衍生产品的价格？即为了获得某种将来的买或者卖的权利，期权购买即为了获得某种将来的买

6、或者卖的权利，期权购买者需要花费多少钱来购买期权。者需要花费多少钱来购买期权。为了解决这个问题，我们首先要学习一些与金融衍生产品密切相关的术语，包括金融衍生产品中的远期期权、欧式看涨期权、看跌期权的定义，之后我们会讨论远期期权、欧式看涨期权、欧式看跌期权来确定拥有相应的期权应该支付多少钱给期权的出卖者以及相应期权的收益是多少。定义定义 1.1.1 远期合约（期权）远期合约（期权）（forward contract）是规定在未来的某一个日期 T，以规定的价格 K 购买（或出售）一种资产的协议。买方被称为持有多头，卖方被称为持有空头。远期合约的卖方在日期T要交付相应的资产给合约的购买方，到达日期T

7、合约的卖方不再拥有相应的资产，所以称之为持有空头。远期合约的买方在日期T,会以规定的价格K购买相应的资产而拥有资产，所以称合约的买方为持有多头。远期合约起源于法国，是交易的双方自愿签订的，无需无需缴纳违约金并且签订远期合约无需缴纳任何费用缴纳违约金并且签订远期合约无需缴纳任何费用，因此违约的现象比较普遍。在金融市场中，期货合约是与远期合约本质上是相同的，但合约的签订和执行在形式上是有所不同的。期货合约期货合约是规定在未来某一特定的时间和地点交易一定数量的实物或金融产品的标准化合约。 远期合约与期货合约形式上的区别： 远期合约一般不在交易所里进行，签订合约不需要任何签订合约不需要任何费用费用，期

8、货合约是在正规的交易所进行交易，具有标准化的条款和特定的清算方式，期货合约违约需按规定的要求期货合约违约需按规定的要求缴纳违约费用缴纳违约费用。 通过以后的学习我们会知道远期合约是最简单的衍生证券 ，相应的定价也是最容易处理的，因为签订远期合约因为签订远期合约不需要任何费用。不需要任何费用。 围绕衍生证券定价有大量丰富的理论，不同的期权期权让期权持有人拥有某种权利但不负任何义务去做某件事情。期权以许多不同的形式出现，布莱克和斯科尔斯由于在20世纪70年代，提出并且准确的定价了欧式看涨期权而获得了较大的声誉。为了便于同学们的理解，首先我们来看一个远期合约的例子。定义定义1.1.2 远期合约的到期

9、时间 T 称为执行日执行日或到期到期日日，价格 K 称为敲定价格敲定价格或执行价格执行价格。注注：下面我们将要讲到的欧式看涨和欧式看跌期权的到期日和执行价格也是类似的定义，为了说明的方便，我们做此调整，如不加特别的说明，我们将不再给出欧式期权，美式期权、亚式期权到期日和执行价格的定义。例：例：假设某公司拥有某一支股票的一个远期合约，合约六个月之后到期，敲定的股票价格是50 美元。如果到期日股票的价格为100美元,试计算该远期合约的收益和远期合约的总收益。思考：1、如果远期合约的敲定价格为K，合约到期日股票的价格为ST，那么远期合约的收益应该与什么因素有关，具体的函数表达式是什么。 2、在1的假

10、设前提下，考虑远期合约的收益和远期合约的总收益的关系。TSTS定义定义 1.1.3 欧式欧式 (European) 看涨看涨 (Call) 期权期权让持有人有权利但不负有义务在规定的时间 T ，按规定价格 K 购买购买一单位某种原生资产。欧式欧式 (European) 看跌期权看跌期权 (Put)期权期权让持有人有权利但不负有义务在规定的时间 T ，按规定价格 K 出售出售一单位某种原生资产。例：例：某人在2012年1月1日购买了六个月后到期的某一股票的欧式看涨期权，敲定价格为50美元，若到期日股票的价格为90美元，则此人则可以以50美元的低价从期权出售者手中购买市场上价格为90美元的一份股票

11、。思考: 若到期日股票的价格低于或小于50美元，期权购买者会采取什么策略。例：例：某人在2012年1月1日购买了六个月后到期的某一股票的欧式看跌期权，敲定价格为50美元，若到期日股票的价格为20美元，则此人则可以以50美元的高价向期权出售者一份股票。思考：若期权到期日，股票的价格高于或等于50美元，期权购买者会采取什么策略。注：注：1、通过上面两个例子我们很容易看出，一般对期权的购买者而言，看涨是在期权到期日以较低的价格购买，看跌是在期权到期日以较高的价格出售。 2、看涨期权的出售者可以不持有原生股票而出售看涨期权，但是若在到期日看涨期权的购买者执行期权，看涨期权的出售者必须能够采取一种方式来

12、执行合约。欧式期权的持有人，持有期权一直到 T 时刻，期间不允许期权发生任何变化，即合约期满以及期权的收益情况完全依赖于规定的时间 T。存在其他形式的期权，包括美式期权和亚式期权，而这的收益由原生资产在整个时间段 0,T 上的综合表现来确定。本章的讨论仅对欧式期权有意义，并且本书也是以此为主，我们只是在适当的情况下给出美式期权的相关解释。欧式期权的特点：欧式期权的特点：通过欧式看涨期权的定义我们很容易知道，期权购买者拥有某种权利但不承担任何义务，那么期权购买者自然需要为获得这种权利支付一定的费用，也就是我们之前提过并且思考的欧式看涨、看跌以及远期期权的定价问欧式看涨、看跌以及远期期权的定价问题

13、。题。假设条件假设条件:除非另作其他说明，原生资产可以在没有额外费用和收益的情况下被持有。为了更好的理解上述问题，我们先仔细的思考一下书中给出的一个例子。例：例：假设一家公司通常经营一种有内在风险的金融资产，比如石油。例如，他们可能知道在三个月内将需要1000桶原油，并且由于国际原油市场的动荡，在三个月内原油的价格可能发生比较大的波动。公司通过以敲定价格K购买关于原油的欧式看涨期权，估计出为了购买1000桶原油在三个月内他们之多需要支付多少钱。在此例中，公司购买的看涨期权可以认为是作为保险来规避油价上涨所带来风险的工具，在这个例子中，看涨期权的定价问题是：给定到期日给定到期日T和敲定价格和敲定

14、价格K，该公司应该为这样的保险支付多少现金。该公司应该为这样的保险支付多少现金。注：注：如果公司自己用仓库存储原油，情况会更加复杂，公司在计算看涨期权的定价时一定要把石油的存储费用考虑进去。接下来我们来仔细的分析一下下列问题，1、欧式看涨、看跌期权都在什么情况下会被期权购买者执行，在什么情况下，欧式看涨、看跌期权会有正的收益，在什么情况下购买相应期权的总收益是正的？2、欧式看涨、看跌期权的相应收益函数图像、总收益的图像怎么表示，怎么由期权的收益图像看出期权的相关参与者购买的是什么类型的期权。首先我们来针对上述两个问题分析一下欧式看涨、看跌期权的的一般形式。例：例：假设某公司要签一份欧式看涨期权

15、合约，该合约赋予它一种权利，但不负有义务，以价格 K K 购买 T T 个月到期的一单位的股票，如果假设到期日股票的价格为 。思考： 1、该公司购买的看涨期权的敲定价格和到期日分别是什么？ 2、该公司在什么情况下会行使期权赋予的权利？ 3、本例中看涨期权的收益和总收益分别由什么因素决定，具体的关系如何？下面我们来具体的看一下欧式看涨期权什么情况下会被执行，它的收益是什么。TS实值状态 (in the money): 虚值状态（out of the money）: 平值状态 （at the money）:因此欧式看涨期权欧式看涨期权在 T 时刻的收益是：思考：假设欧式看涨期权的购买人购买期权的价

16、格为 S, 那么到期日 T 时刻欧式看涨期权购买者的总收益与哪些因素有关，具体的函数表达式是什么？思考：1、该公司在什么情况下会执行看跌期权？ 2、在 T 时刻该公司购买的欧式看跌期权的收益怎么表示？ 3、在 T 时刻该公司购买的欧式看跌期权的期权收益和总收益的区别和联系。 4、该公司在什么情况下会获得正的收益？ 例例：假设某公司要签一份欧式看跌期权合约，该合约规定期权购买者可以以价格 K K 卖出 T T 个月到期的一单位的股票。假设 T T 个月后股票的价格为 。TS期权处于实值 (in the money) : TSK期权处于虚值 (out of the money): TSK期权处于平

17、值 (at the money): TSK因此欧式看跌期权欧式看跌期权在 T 时刻的收益是：+() =max (),0 .TTKSKS思考：假设欧式看跌期权的购买人购买期权的价格为 S, 那么到期日 T 时刻欧式看跌期权购买者的总收益与哪些因素有关，具体的函数表达式是什么？相应的图像怎么表示？综合我们之前对远期期权、欧式看涨期权、欧式看跌期权的分析，我们很容易得到远期期权、欧式看涨期权、欧式看跌期权的收益函数与 t 时刻股票价格的关系函数表达式。图图1-1图1-1 中的 (a), (b), (c) 分别表示的是远期期权，欧式看涨期权和欧式看跌期权的收益函数，容易看出每一种都是到期日股票价格的函

18、数。注意在零时刻合约生效之日前，我们允许自己是空头，并且期权出售者可以不持有原生资产而出售期权，即我们允许在零时刻期权出售者可以进行卖空操作。 例例1.1.4 1.1.4 同价对敲同价对敲(straddle)(straddle)假设投机者希望股票价格有一个大的变动，但他不知道股票价格变动的方向: 那么投机者采取的一个可能的组合就是同价对敲.这涉及到同时持有具有相同敲定价格和到期日的同一种原生资产的欧式看涨期权和欧式看跌期权。思考：思考：1、投机者购买同价对敲期权的收益函数怎么表示，在股票价格的不同情况下投机者所采取的策略分别是什么？ 2、同价对敲期权的收益函数图象具体的形式是什么？ 解：设到期

19、日股票的价格为 ，股票的敲定价格为 ，期权的收益为 。TSKC,0 , S,TTTTTKSSKCKSKSKTSKTSK投机者可能采取的策略是：1）当市场上的股票价格 时，他会在市场上以 的价格购买股票，然后执行欧式看跌期权以敲定价格 卖出股票给欧式看跌期权出售者,获得正的收益 。TSK2）当市场上的股票价格 时，他会执行欧式看涨期权以敲定价格 从期权出售者手中购买股票，然后在市场上以市场价格 卖出股票，获得正的收益 。KTKSTSKTS3）当 时，无论如何期权投资者都不能获得正的收益。TSK同价对敲的期权收益函数图象注：注：1、虽然同价对敲期权的收益总是非负的，但是如果期权到期日如果股票的价格

20、非常接近期权的敲定价格，那么同价对敲期权的收益极有可能不足以支付期权购买者购买期权的费用，从而使投资者有损失，另一方面，如果股票的价格有较大的波动，则同价对敲期权一定会给期权的购买者带来较大的利润收益。 2、同价对敲的本质是期权购买者多支付一倍的期权购买权益金而减少一般风险的做法。异价对敲：异价对敲：是购买不同执行价格或不同到期时间的两个或两个以上看涨期权（或看跌期权）的组合。根据组合中期权的参数的差异，异价对敲可分为两种基本类型： 1.垂直组合，又称价格异价对敲，指同时购进和卖出具有不同执行价格、相同到期时间的期权。 2.水平组合，又称时间异价对敲，指同时购进和卖出具有不同到期时间、相同执行

21、价格的期权。与同价对敲期权紧密相连的是异价对敲期权，根据形式的不同分为如下两种形式：通过上面我们对远期期权、欧式看涨期权、欧式看跌期权收益的分析很容易知道，期权购买人总的收益都是与期权的价格相联系的，下面一个很自然的问题就是如何给出期权一个合理的定价。通过我们对同价对敲期权的期权收益和总收益的分析，大家可以思考，异价对敲期权的期权收益函数、异价对敲的总收益的函数表达式及图像表示，特别的，异价对敲适合的范围是什么。参见课后习题1的，情况(e).1.2 远期合约定价远期合约定价为了求解期权的定价问题，我们需要对市场的运作方式和市场的环境做一些最基本的假设，特别的，为了给出远期合约的定价，我们需要从

22、详细的讨论远期合约开始。因为远期合约的定价与市场上货币的利率密切相关，所以我们首先从讨论金融市场的利率出发。 RnmnmRmAe1Alim nR1A mnmR1A 假设数额为 A 的货币以年利率 R 投资了 n 年。如果利息按每一年计一次复利，则上述投资的终值为： 如果每年计 m 次复利，则终值为： 当 m m 趋于无穷大时， 就称为连续复利（Continuous compounding），此时的终值为Rm关于利率的基本预备知识。货币的时间价值货币的时间价值: :假设对于小于某个时间 的任何时刻 T T和某个常数 r 0r 0，在 T T 时刻 1 1 美元的现值期望是 ，则称常数 r r 是

23、这个时间段中的连续复利连续复利(continuously compounded)利率。rTe注：注：货币的时间价值，简单的理解就是货币随着时间的推移而发生的增值。连续复利简单的理解就是在某一固定时间范围内，计算无穷多次利率，与离散利率（在有限的时间内计算有限多次利率）相对应，平时我们的银行采用的都是离散型利率以年或者月为计息周期。无风险利率：无风险利率：是指将资金投资于某一项没有任何风险的投资对象而能得到的利息率。注：注：一般而言，无风险利率是一种理想的投资收益。 无风险利率是期权价格的重要影响因素之一，无风险利率（Risk-free Interest Rate）水平会影响期权的时间价值。当利

24、率提高时，期权的时间价值会减少；反之，当利率下降时，期权的时间价值则会增高。不过，利率水平对期权时间价值的整体影响还是十分有限的。例：例：美国的政府债券衍生的市场，不带有任何违约的风险，即未来对美元的承诺总会实现，我们把这样市场中的利率称为无风险利率。在这样的市场中，通过购买或者出售现金债券，投资者可以以无风险利率贷款和借款给别人而获得无风险利率。回到我们本节课的主题，考虑远期合约的定价，首先我们来回顾一下远期合约的定义。远期合约是指在未来的某一日期 T ，依规定的价格 K 购买或者出售某种金融资产的一个协议。 假设某一个公司或者个人购买了一个远期合约，即该公司或者个人同意在未来的某一日期 T

25、 以敲定的价格 K 购买或者出售相应的金融资产。通过上一节课我们的分析很容易知道，远期合约的收益恰好为 , 其中 为 T 时刻金融资产的实际价格。TSKTS通过上述的分析，根据到期日金融资产价格 与敲定价格 K 的关系，我们很容易知道远期合约的收益 可能是正的也可能是负的，因为签订远期合约无需支付任何费用，对远期合约来说 就是全部收益，所以对与远期合约而言，我们需要考虑的问题就是如何确定公平的敲定价格。TSTSKTSK定义定义 1.2.1 (套利机会套利机会) 金融市场上获得无风险利润的机会称为套利机会。现代金融理论中，建立金融模型的基础都是假设或者规定不存在套利机会。事实上，有些人完全靠利用

26、获得套利机会来过日子，但是在市场价格波动将他们淘汰之前，这样的机会不会长时间存在，所以假设是合理的。套利与投机的区别套利（arbitrage）:是基于对同一类风险资产的观察，利用市场价格的差异，在不同的市场同时进行交易，获取瞬时无风险利益，套利与投机不同。投机是基于对未来原生资产价格的预测预测，以谋取暴利，这是有风险的。套利是利用不同市场在价格联系上的差异的现实现实，以套取利润，这是无风险的。引理引理1.2.2 假设市场无套利， 为零时刻的股票价格， 为无风险利率，那么到期日为 T T 的远期合约敲定价格为0sr0rTKS e证明：证明：因为市场的无风险利率为 ，那么数量为 的现金在远期合约到

27、期日的收益是 。 现在我们来讨论 与敲定价格的 K 关系，说明只有 才能保证公平，即金融市场无套利。r0s0rTS e0rTS e0r TKSe若 ，则期权的出售者一定可以获得无风险利润。期权出售者采用如下策略: 在零时刻借入 美元(即以价格 美元出售债券)，然后用借得的钱购买一单位股票在 T T 时刻，期权出售者应该支付 美元给借款人，但此时期权出售者可以以 K K 美元出售自己手中的股票，从而获得确定的 美元利润。rTeSK00SrTeS0)(0rTeSK0S可以以简单的形式记忆期权出售者所采取的策略，即“借、买、卖、还”。若 ，则期权的购买者一定可以获得无风险利润。远期期权购买者在零时刻

28、借一单位股票之后，以 美元出售借得的一单位股票，然后购买 美元的现金债券。在 T T 时刻，现金债券变为 美元，此时远期期权购买者会以 K K 美元买回一单位股票,从而获得 美元的确定收益。 0S0S0rTS e0()rTS eK03000）期权购买者执行期权，他需要在市场上以4000日元购买一单位股票并且以3000日元的敲定价将股票卖给期权购买者，因此他损失了4000-3000=1000日元，所以他要求投资组合至少给他带来1000日元的收入。所以，投资组合必须满足：112= +40001000Tkxx 如果股票价格跌到2000日元，期权购买者不执行期权，此时，期权出售者只希望自己不赔钱就可以

29、，所以，只希望投资组合不至于赔钱即可，即他只要求，212= +20000Tkxx 下面我们来分析上述由不等式给出的几何图形。通过分析很容易知道，在两条直线的交点处给出的资产组合恰好能使期权出售者获得无风险利润，为了说明的方便，我们用 和 分别表示投资组合在两条直线交点处的值。_1x_2x联立方程，解得 ，_1=-1000 x则欧式看涨期权在零时刻的值为1=-1000+2500=2502k综上分析可得，对于任何高于250日元的期权价格，看涨期权的出售者都能获得无风险利润。_21=2x下面我们将说明，本题中看涨期权的价格也不能低于250日元，否则，期权购买者期权购买者可以通过购买期权并且建立投资组

30、合的方式获得无风险利润。首先假设欧式期权在合约生效日的价格，即购买期权的价格为 日元，并且设期权购买者建立一个资产投资组合使得1k212=+2500kxx现在期权购买者总的投入为：12=+kkk若股票价格涨到4000，期权购买者执行期权能够获得4000-3000=1000的收益，投资组合给他带来的收益为此时，欧式期权的购买者要求投资组合的收益不能少于 ，即：k12+ 4000 xx即：12(+4000)+1000 xxk若股票价格跌到2000日元，期权购买者不执行期权，故收益只来自投资组合，则投资组合至少也需要应带来 日元的收益，即：k12+2000 xxk联立方程求解，得到两条直线的交点坐标

31、为1=1000+xK2-1=2x212=+2500kxx因为所以又因为21=(1000+k)+2500 ()=k-2502k12=+kkk所以1=250k所以， 小于250日元时，期权购买者能获得无风险利润。1k综上，若市场无套利机会，则欧式看涨期权的合理价格应为250日元。注：注：通过上述例题的分析，如同确定远期合约的合理价格一样，我们不利用对市场的波动事先设定各种可能性来达到公平的价格，我们仅仅需要简单的投资组合就可以复制未定权益的事实，即，期权的出售者可建议建立投资组合来对冲可能的未定权益。利用相同的办法，我们可以证明下面的结果。引理引理1.3.21.3.2 假设无风险美元利率(到某个时

32、界 T)为 r. 用 表示某个资产在零时刻的(美元)价值.假设股票价格的运动使得资产在T时刻的价值为 或 ,且进一步假设，那么在到期日到期日T T具有收益具有收益 的欧式期权的欧式期权在零时刻的市场价格为而且,期权的出售者可以用出售期权获得的现金购买零时刻的份额股票和持有的剩余债券，来构造一个在T时刻价值 为 投资组合。 0sus0ds0uedrT)(TSC)()1()()1(00dSCduueuSCduderTrTdSuSdSCuSC0000)()() 1 . 1 ()(KST1.4 三值模型三值模型通过前面我们学习的单时段两值模型的定义，我们不难看出单时段两值模型有很大的局限性，具体的表现

33、为：1、单时段两值模型的只允许期权买卖的双方在合约生效日和合约的到期日观察市场。2、单时段两值模型只允许相关的原生资产在到期日取到两个可能的资产价格之一。现在一个很自然的想法便是既然单时段两值模型存在局限性，我们能否放宽其中一个条件来考虑更普遍情况下的市场模型。但是我们也不能把条件放的太宽泛以至于我们没有比较好的处理方法，依据单时段两值模型的局限性，我们一般从两个角度来进一步的思考金融市场可能的模型，即：1、可以考虑单时段多值模型，也就是在期权到期日，我们允许原生资产的价格取有限多个（数目大于2）可能的值。2、可以考虑多时段，但是每一个时段上都满足我们的单时段两值模型。本节课，我们主要是针对单

34、时段三值模型进行讨论，得到一些能通过简单的投资组合进行对冲的结果，关于多时段，并且每一个时段都是单时段两值模型的模型，我们将在下一章进行深入和细致的讨论。现在我们来考虑单时段三值模型，即我们允许在到期日 与看涨期权相关的原生资产可以取得三个可能的值, , 同时我们可以假设期权的出售者在合约生效日建立一个由 日元和 份额的股票组成的一个投资组合能够复制在到期日的权益实现对冲。T123,TTTSSS1x2x我们可以重复1.3节中的分析，并且假设无风险现金证券的利率为零，那么有我们有一下3个不等式： 这里 表示 的三种可能的取值。iTSTS一般情况下，上述三个不等式的解集，都会以下图的形式给出。为了

35、实现在到期日权益的对冲，期权出售者必须要求上述三个不等式的解集位于上图所示的阴影区域，但是，很显然，在一般情况下，在阴影部分的任何一个解，都会使得期权的出售者有获得利润的绝对可能，而不会有任何损失的风险，在这个阴影区域外的任何点，建立任何可能的投资组合都有损失的风险，综上，一般情况下单时段三值模型不会存在完全复制期权权益的投资组合，也就是说对看涨或者看跌期权而言不会存在唯一的公平的价格。定义1.4.1 如果在金融市场上不存在完全对冲的未定权益，则称市场是不完全(complete)的。如果在单时段三值模型下，我们通过建立原生股票、无风险现金债券以及另外一种独立的可交易的原生资产进行交易，我们就会

36、在三维空间中产生三个互不平行的曲面，如果可以通过建立投资组合来实现未定权益，那么得到的将是三个曲面的唯一一个交点。现在一个更为自然的问题便是，在一个更为复杂的金融市场模型下，何时才存在无风险的套利机会，何时能够通过建立投资组合实现未定权益的对冲。1.5 无套利特征无套利特征在1.3节的单时段两值模型中，我们通过建立和求解两个关于无风险现金债券和原生股票的方程，很容易确定出欧式看涨或欧式看跌期权的价格，在1.4节中，我们讨论了单时段三值模型，通过分析我们可以知道若想通过建立投资组合实现未定权益的对冲，我们必须允许另外一个与前几种资产相互独立的原生资产进行交易。本节课，我们将考虑更复杂的市场模型，

37、这些模型的特点是，单时段下存在足够多的、独立的、可交易的原生资产，并且它们的任何期权都具有公平价格。 假设在市场上存在N(N2)个可交易的原生金融资产，它们在零时刻的价格用列向量表示：注：本节中对向量和矩阵应用上标“t”表示求转置。注意：单时段模型下，市场只在零时刻下和某一个特定的未来的时间T时刻时刻观察的。它在零时刻的市场价值为数量积 市场的不确定性可用在T时刻有限个可能的状态来表示，记为j=1, 2,，n.在T时刻证券价值可用 矩阵 来表示,这里当市场处于状态j，系数 是在T时刻的第j个状态的第i个证券的价值（或价格）.nN )(ijDD ijD在这个记号中，可以认为投资组合就是N维欧式空

38、间中的一个向量，即：12= (,)tNNR1 12 1(1 )1111 22 2(1 ) 22212(1 ).NNNNNnnNnN nDDDDDDDDDDDD记T时刻的价值为12n-1=nCCCCnRx),(1nxxx0ixnRx0 x0 x0 xnRxx 或0记号：设向量 ， ，如果对所有的 ，都有 ，则记 或 。=1,2,in0 x 表示 且 。注意 并不要求它的所有的坐标都是严格正的。0 x 对于 中的向量， 表示它的所有坐标都是严格正的。nR本书中有一些记号与其它的参考资料和书籍的记法有一些表述和记法上的差别，大家要认真的理解书中的记法，不要与其它书籍的记法混淆。1、向量内积的计算方法

39、。2、向量的取值的范围的表述。在这个记号中，套利(arbitrage)是一个投资组合 且满足 ， 或 ， 。00S0tDNR00S0tD注：注：通过向量乘积的定义和矩阵乘积的定义，特别的，通过本书中关于向量大于等于零，小于等于零的规定，易知，套利等价于投资组合满足上述不等式的条件。 定义定义1.5.1 1.5.1 状态价格向量是一个满足 的向量 。DS 0nR在单时段多值模型中，套利定价的关键是状态价格向量的概念。定理定理1.5.2 1.5.2 对于单时段多值市场模型，市场无套利当且仅当存在状态价格向量.其中，10200N0SSSS1121(1)111222(1)2212(1).NNNNTnn

40、NnNnD DDDD DDDDD DDD01n1.6 风险中性概率测度风险中性概率测度12=(u,u , ,u )nu 由上一节的定理1.5.2，我们知道在多资产市场模型中，状态价格向量 是套利定价的关键，并且注意到状态价格向量 的所有分量严格是正的。 为了定义和本节课密切相关的风险中性概率测度和第二章将要学到的鞅理论，我们将进一步的来理解状态价格向量。首先，我们来看一下概率论中概率向量的定义。定义定义：任意一个n维向量 ，如果对于任意的 ，满足 则称 为概率向量。,1iuin= 10,=1niiiuuu记 ，我们可以把看成以不同状态存在的概率向量. 表示的是多少？它在金融市场中的几何意义是什

41、表示的是多少？它在金融市场中的几何意义是什么？么？)4 . 1 (设 是状态价格向量。12=,n（ ， ）注：注：此处的概率向量可能与我们在市场观察到的股票价格变化的概率无关。如同在单时段两值模型中一样，我们假设市场有正的无风险利率，并且在这种假设情形下，我们进一步的假设可以建立一个关于有限个可独立交易的原生资产的一个投资组合 ，可以复制相应的债券使得：即无论市场出于何种状态，在期权到期日投资组合的价值都是1，利用 是状态价格向量的事实。我们很容易计算这样的投资组合在零时刻的费用是现在在由向量(1.4)给出的概率分布下，在T时刻第i个证券的期望值是即 代表无风险利率的贴现。0假设对应资产价值出

42、现的概率为 , 由货币时间价值的定义，我们可以得到下面的表达式，即：,1iqiN 012=11+1+1=1nrTNiiSeqqqq 综合上面的表达式得：-0=rTe也就是这说明在概率分布(1.4)下，任何证券的价格都是它的贴现期望收益。定义定义1.6.1 1.6.1 称权益C在T时刻是可达的，如果它能被对冲，即存在在T时刻价值正好为C的投资组合。注：有时为了强调相应的概率测度Q时，我们用 表示期望算子。QE定理定理1.6.2 1.6.2 如果市场无套利，那么在T时刻的可达权益C在零时刻的惟一价格是 ，这里期望与任何概率测度Q有关，而对这样的Q而言，对于所有i和 , 是关于无风险利率的贴现. 0

43、CEQ000iTQiSES证明：证明：若市场无套利，依据第5节的定理1.5.2(市场无套利当且仅当存在价格向量)，存在状态价格向量 使得 ,其中 。令 0SD12=(,)nnR 0=1=nii则我们可以很自然地定义概率向量 12000=(,)tn使得对于任意的 ,都有 。由于依题意在T时刻权益是可达的，即权益可以完全对冲，故存在投资组合 ，使得 。 1in00=()iiTSE STSC通过欧式期权在零时刻下的定义以及无套利的假设，我们很容易知道，期权在零时刻下的价格恰好是所建立的投资组合在零时刻下的费用，即：由于在无套利的情况下，只存在唯一的无风险概率，所以如果期望是对任何概率向量Q计算的，而

44、对这样的Q， 那么获得同样的价值。 00=,1.iQiTSESin 000000=1()()=()( ).NiTiTTiCSE SESESE C 我们有必要对定理1.6.2的进一步的分析和理解。定理1.6.2，我们可以只知道，如果能够找到一个概率向量或概率测度使得每一个原生证券的价格都等于相应原生证券在到期日T时刻的数学期望的贴现价格，那么我们就可以利用找到的概率向量计算任何可达的未定权益的贴现期望求出欧式期权在合约签订日的价格。值得注意的是，无论权益是什么，我们都利用找到的概率向量去计算。接下来我们会给出几个具体的例子来说明具体的如何应用定理1.6.2，来解决实际的期权定价问题，但是在具体的

45、给出例子之前，为了说话的方便，我们先给出我们在上面给出的概率向量的一个定义。定义定义1.6.3 如果在期权到期的T时刻市场处于n中可能的状态之一，那么对每一个证券价格是它的贴现期望收益的概率向量 ，称其为风险中性概率测度或等价的鞅测度。12(,)nnPP PPR在第5节中，资产定价基本原理(定理1.5.2)的简单形式指出在一个无风险利率为正的市场中，市场无套利当且仅当存在等价的鞅测度。为了说明的方便，我们把通过计算与风险中性概率测度有关的期望的过程称之为风险中性定价过程。(risk-neutral pricing).为了使大家对利用风险中性概率测度来计算期权的合理价格有一个直观的认识，我们重新

46、考虑一下第3节的例题1.3.1，我们将说明利用风险中性定价过程，我们能很容易给出期权的套利价格。下面我们来重新看一下例1.3.1的表述。例例1.3.1 假设某个股票的现价是2500日元，一个6个月到期的欧式看涨期权，其敲定价格是3000日元。投资者相信在6个月内股价为4000日元的概率是1/2，为2000日元的概率是1/2。因此，他计算出期权(当它到期时)的期望值是500日元.日元的无风险利率现值为0.因此，投资者愿意为期权支付500日元，这是公平价格吗?解：解：现在建立两种原生资产的投资组合，一种是一定数量的现金债券，一种是原生股票。在有借贷的情况下，贴现为 ，由于我们假设了日元的无风险利率

47、为零，因此 。如果我们假设我们拥有的现金数量为A日元，则在合约签订日和合约到期日现金数量保持A日元不变。-0=rTe0=1在上面假设的前提下，T时刻的证券价值的矩阵是如下形式：40002000AADtS02500S 设 是t时刻下股票的价格，依题意， 日元， 1240002000TTSS，设股票价格上升的风险中性概率为P，则股票价格下降的概率为1-P，具体的图表形式如下图。依据定理1.6.2，零时刻股票的价格应该等于T时刻股票价格数学期望的贴现价格，即-40002000(1) 2500rTePP由于日元的无风险概率为零，所以40002000(1)2500PP解关于无风险概率P的一元一次方程，得

48、P=0.25.因为期权到期日股票的敲定价格为3000日元，所以如果在期权到期日股票的价格为4000，则欧式看涨期权的收益为1000日元，否则为零。由定理1.6.2，零时刻下欧式看涨期权的价格应该是T时刻欧式看涨期权收益期望的贴现价格，即有下面图表存在：由于日元的无风险概率为零，所以有-010000(1)rTePPC-12110(1)rTeC PCPC即有0250C解方程得：日元注：注：1、通过定理1.6.2以及第3节的例题，我们很容易看出，利用金融市场上的无风险概率P作支持，我们通过求到期日可达权益的数学期望的贴现价值很容易得到欧式期权在零时刻的合理价格，从而欧式期权的定价在单时段两值模型下变成了一个很容易解决的问题。2、特别的，在单时段两值模型下计算欧式期权的合理价格只需先通过股票价格的变化求出无风险中性概率，再通过到期日可达权益的数学期望的贴现价值求得零时刻下欧式期权的合理价格。例例 假设某个股票的现价是2500日元，一个6个月到期的欧式看跌期权，其敲定价格是3500日元。投资者相信在6个月内股价为4000日元的概率是1/2，为2000日元的概率是1/2。日元的无风险利率现值为0。计算欧式看跌期权(当它到期时)的公平价格。下面我们来看一下具体的如何