常见分布的期望和方差

1、常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差(M 分布 B (1； p)P二项分布B (n, p)Pt =尸凶= i =防穴 (4 = 1-戸)(72町np泊松分布巩入5 =p, =PX=i = ei (!=051；13.) i!XI均匀分布U (“)几沪或冷)=丄等b-a霑a + bd:12正态分布N-炉呼fx) = ,e(-QC <x<-kct<7 >0)<2(7A3L指数分布Egze_J*x±x>0Qtx<011-rx"才分布疋丄00耳耳湘互独立，且都服从标准正态分布N(0：l)*=假设+盂+ . +號ngV0m-2概率与

2、数理统计重点摘要X1、 正态分布的计算：F(x) P(X x) ()。2、 随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求Yf(X)的概率密度：fY(y) fX (x)h(y) h'(y)。参见P6672x y3、 分布函数F(x, y)f(u,v)dudv具有以下根本性质：、是变量x, y的非降函数；、0 F(x,y) 1，对于任意固定的 x, y有：F( , y) F(x, )0;、F(x, y)关于x右连续，关于y右连续；、对于任意的(为$),(X2, y2), Xi x?,yi y2，有下述不等式成立：卩区小)F(Xi,y?) F(x?,yi) F(Xi,yJ 04、一

3、个重要的分布函数:F (x, y) 丄(一 arctan')( arctan)的概率密度为:232f(x,y)F(x, y)x y62(x2 4)(y2 9)5、二维随机变量的边缘分布:fx(X)f (x, y)dy边缘概率密度：fY(y)f (x,y)dxFx(x)XF(x,)f (u,y)dydu边缘分布函数：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。FyW)yF( ,y)f (x, v)dxdv6、 随机变量的独立性：假设F(x,y) Fx(x)FY(y)那么称随机变量X, Y相互独立。简称 X与Y独立。7、 两个独立随机变量之和的概率密度：fZ(z)fX(x)fY(z x)dxfY

4、(y)fX(z y)dy其中z= x+ Y8、 两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z aX bYN(a “ b 2,a2 2 b2 2 。9、期望的性质：3、E(X Y) E(X) E(Y) ;4、假设X, Y相互独立，那么 E(XY) E(X)E(Y)。10、方差：D(X) E(X2) (E(X)2。假设 X, Y 不相关，那么 D(X Y) D(X) D(Y)，否那么 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y),D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)12、相关系数：XYCov(X,Y) Cov(X,Y)(X) (Y), D(X) .、.DYTXY1，当

5、且仅当X与Y存在线性关系时XY1，且1,XY 1,当 b>0;当 b<0。13、k阶原点矩：VkkE(X ) , k阶中心矩:k E(XkE(X)。14、切比雪夫不等式:P X E(X)15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因Xi1E(X)1。贝努利大数定律:Xi11、协方差：Cov(X,Y) E(X E(X)(YE(Y)，假设 X, Y独立，那么 Cov(X,Y) 0,此时称：X与丫不相关。16、独立同分布序列的中心极限定理:(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和nZnXi的分布近似于正态分布 N(n ,n 2)。i 1、对于Xi，X2,Xn的平均值X - Xi ,有E

6、(X) - E(Xi) niiniiD(X)1 nJ2D(Xi)n i i，即独立同分布的随机n变量的均值当n充分大时，近似服从正态分布N ()。n、由上可知：lim P a Zn bn(b)(a) P a Zn b(b)(a)。17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件 A发生的次数,p是事件A发生的概率，那么对任意X,(1)、当n充分大时,m近似服从正态分布,N(np npq)。(x),其中 q 1 p。N(p,-pq!。 n(2)、当n充分大时，近似服从正态分布,n18、参数的矩估计和似然估计：(参见P200) 19、正态总体参数的区间估计:所估参数条件估计函数置信区间u X石x U 丁 , X u 丁 - PnUn未知t麻 sX t (n "S, x t (n "手Vn-Un未知2 (n 1)s2(n 1)s2(n 1)s2 2(n 1)'： (n 1)t (xy) ( i2)/ ni n222d9SwV mn2(Xy) t g n2n 11 2992)swj未知其中sW(m 1冷g 1)S2Y n-in2nin2 1