2017年解三角形知识题型归纳

1、专业资料解三角形常用知识点归纳与题型总结1、三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=180 (A+B);.角平分线性质定理：角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.锐角三角形性质：若 AB/60 A90O,0C c; a-bc2,则 C 90，；若 a2 +b2 90c .12、三角形的五心：垂心一一三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点内心一一三角形三内角的平分线相交于一点重心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角（或二角一边或三边），求其它三个元素问题，进

2、而求出三角形的三线（高线、角平分线、中线）及周长等基本问题.1 （15 北东理科）在 ABC 中，a =4, b=5, c=6,则号=.sinCsin 2A2 sin Acos A2a b2c2 - a2试题分析：= sin C sin C c 2bc2 4 25 36 - 16162 5 64 6-62. （2005年全国局考湖北卷）在A ABC3,已知 AB =,cosB=，AC边上的中线36BD= 5 ,求 sin A 的值.分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC再由正弦定理，即得 sin A解：设E为BC的中点，连接 DE则DE AB且DE =- AB =2-6，设BE= x 2

3、3在A BD计利用余弦定理可得：BD2 = BE2 +ED2 2BE EDcosBED ,5=x2+8+2,还父且 x,解得 x=i, * 二 一7 （舍去）.336328. _2 ,21. _. 30故 BC=2,从而 AC2 =aM +BC22ABBCcoB=,即 AC =又 sin B -,336sinA=3142、21故二一=3, sin A . 306在 ABC中，已知 a= 2, b= 2A 且 00cA sin 月cos+sin 4$iu式口(仃+/)+ $】 G sin -4 - cos T = 1 o sin( 30)= Tf0 .4-30, -30，O,4 = 6G=（之）

4、儿34 =/0反二d = + M _ 2炭*cos A /+,= 4.一22.在 AABC 中，sinA+cosA=J, AC = 2 , AB = 3,求 tanA的值和 AABC 的面 2积。-11.2.63答案:S ABC AC AB sin A 2 3 = (-：-/2.6)22443. (07 浙江理 18)已知 zXABC的周长为 72+1,且 sinA+sinB =J2sinC .（I ）求边AB的长；（II ）若AABC的面积为sinC,求角C的度数.6解：（I ）由题意及正弦定理，得 AB+BC+AC = &+1, BC+AC=J2AB,两式相减，得AB =1.111（II

5、）由 4ABC 的面积一BCUAC上inC =-sinC ,得 BcLAC =,263由余弦定理，得cosC =_ 2_ 22AC BC - AB2ACLBC(AC BC)2 -2ABC - AB2 J2ACLBC2所以C =60：.题型之四：三角形中求值问题1. （2005年全国高考天津卷）在 MBC中，/A、/B、/C所对的边长分别为 a、b、c, 设 a、b、c满足条件 b2+c2bc = a2 和 = l + *3 ,求/A和 tanB 的值.b 2分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理.b222解：由余弦定理cos A = b c _ a2bc在 ABC中，/C

6、=180 /A Z B=120-Z B.由已知条件，应用正弦定理 1,32sin Csin(120 - B)sin 120 cosB -cos120 sin Bsin B2 . AABC的三个内角为A B、C并求出这个最大值。解析：由A+B+C=t ,B+C兀cosA+2cosB+C=cosA+2sin - =1 2sin Bsin B.11cot B + ,斛得 cot B = 2,从而 tan B =22,求当A为何值时，cos A + 2cos B *C取得最大值,2A一2,所以有B+Ccos-2- =sinA2+ 2sin 2= 2(sin - -1)2+ 12)2A当 sin 2 =

7、2rr 兀一B + C，口3即 A=3 时，cosA+2cos -2-取得取大值为万。3 .在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知sinA 二ta/UA A+ sin 的值;2(2)若 a = 2, S/x abc=J2,求 b 的值。解析：（1）因为锐角2 2ABC中，A+ B+ C=n, sinA = 1,所以3cosA=tan2 3 +sin2222 B+Ccos+ sin2A21 ,，H (1 cosA)1 + cos (B + C)2=1 co s(B + C)1 + cosA , 17=1=1 cosA 3 312.2c=-bc,贝U bc = 3。

8、4.在4ABC中，内角 A, B, C对边的边长分别是 a, b, c,已知c = 2, C=-.3（i）若 ABC的面积等于 向求a, b ；(n)若 sinC +sin(B A) =2sin 2A,求 ABC 的面积.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力.解：（I）由余弦定理及已知条件得，a2+b2ab=4,又因为4ABC的面积等于J3,所以1absinC= J3,得ab = 4. 4分2a2 b2 -ab = 4联立方程组解得a=2, b = 2. 6分ab = 4,(n)由题意得 sin( B + A)+sin(BA) =4sin

9、AcosA ,即 sinBcosA =2sin AcosA, 8 分4.312,3当 cosA=0时，A , B , a , b -,2633当cosA#0时，得sinB=2sin A,由正弦定理得 b = 2a,a2 b2 ab 4,2 34、3联立方程组a解得a =13, b=W.b = 2a,3312分所以AABC的面积S absin C =也 .23题型之五（解三角形中的最值问题）B, C所对的边分别为a , b , c ,1. （2013江西理）在 ABC中，角A, cosC +(cos A - J3sin A) cos B = 0 .（1）求角B的大小；（2）若a+c = 1 ,求

10、b的取值范围答案：（1） 60(2) 2, 1)2.（2013新课标n）在内角4氏e的对边分别为d也乙 已知翼=从。式+匚写山2?.（I）求B;（ n）若/ = 2,求乂C，面积的最大值.答案：（1） 45（2） 2+1(| )也知及jE弦定理得疝 八*即5*0it/wjt = (A*C)故4U$则A + G hinAcwC，。第B而c.由， Cc(O.ii)W =X(0. k所以0 = ；. 石(|) A/取？的面枳一耳皿加八了人曲已如及余蛆定理和4“/2”的4乂 ci1 +C1孑2w故当11仅当。等号成汇2-41因此金!面世的ii大班为& *1*3、在月优中，角儿 皮所刘的边分别是外次 J

11、 且+/ 加二匕“2(1)求5iM + cos2的俏：(2)若餐3求片Z面积的最大侑,r3、解(1)由余弦定理工coiiB=7 47f 1sin 上 +cos2B= -r4ccs& , 15 sin B - (2)由 44 Vb=2,8而。+=：ac+422见得 acW 3 sABC=,acsinBW 3 (a=c 时取等号)叵故SA ABC的最大值为34、，12名厂中.已知内向A、R.所忖的边分别为%b、c,向是:痔=(2f汨我, 用二COS口&2。0/ g-11 且加，L(I)求锐角B的大小； UD如果方=2,求必以仃的面枳口叱的最大值.4、（I）解！ mn n 2sinB（2cos2-

12、1）= /3cos2Brr2sinBcosE - y/3cos2B n tan2B711TTV02B2ac &c=ac（当且仅当a=c = 2时等号成立）V AABC 的皿积 SAABC = * MEinB=acW/ =*Tr工AABC的积最大值为，5当D=q时,已知b=2,由余弦定理.得.4=2 c2 4 /3ac 2ac=（2卜43）改（当且仅当d=c=福一43时午号成），就。4（2 “T 分,;ARC 的面积 S占ABC=： ac3biB = ；ac32黄 B f/, A ABC的面枳最大值为2小5 .(2014新课标I理)已知a,b,c分别为AABC的三个内角 A,B,C的对边，a =

13、2,且(2 +b)(sin A -sin B) =(c -b)sin C ,则 占ABC面积的最大值为一 .【解析】工由，=2且（2 + ）（sin 4-sin = k -sin C.即（+次4口 4一4门4） 一（广一句与in广，由及正弦定理得（+久门一冲一（一办厂2 广，+/一/=Zr,故 cos/l +,二/4=60。，.=加+/_4 = Zr2厌 24-41 +”一炭*2攵，二以故. 一&sin冉q J3 ,6 . 且用？在内角 儿的对边分别为 明瓦a且=求角A的大小（2）若a=4,求 -b-c的最大值答案：（1） 60（2）87. （2007全国1理）设锐角三角形 ABC勺内角 A

14、B, C的对边分别为a, b, c, a=2bsin A （I）求B的大小；（n）求cosA+sin C的取值范围.1解析：(i)由a=2bsinA,根据正弦定理得 sin A = 2sin Bsin A ,所以sinB=, 2._ . ，一兀由 ABC为锐角三角形得 B =.6冗I JI(n) cos A sin C = cos A sin 二_ _ A = cos A sin - A 6= cos A +1cos A +e sin A = V3sin A 十三 -22.3由 ABC为锐角三角形知，0A工，A + n .2262 二二5 二斛信一 A 一 所以 A十一 ,3 23361 1.

15、 3. 3 不.* -：, 3-所以一sin.A + 由此有j3sin.A + x v3 ,2 32232所以，cosA + sinC的取值范围为施I2 2)8 .三角形ABC勺内角A, B, C的对边分别为 a, b, c, 2 2 (2A-2) =(a-b)sinB,三角形外接圆的半径为2 求角C的大小（2）求 ABC面积的最大值答案：（1） 60 (2)T9 , AABC的三个内角为 A、B、C ,求当A为何值时，cos A十2cos B C取得最大值, 2并求出这个最大值。一， .一 B+C 兀 A B+C A-)2+ -;2，2解析：由 A+B+C=t ,得可二万 一2，所以有 co

16、s-2- =sin 2。cosA+2cos=cosA+2sin - =1 - 2sin 2- + 2sin -= 2(sin -22222当sin g =即A三 时,cosA+2cos 学兀得最大值为|o 22322题型之六（图形中的解三角形）注意灵活利用图形来分析 工（2013新课标I卷理科（本小题满分12分）如图，在中，NABC-PCr, ABf/a , BC=1. P为ABC内一点，/EPC = 9（尸若PE.求中.i Q）若/APR=】50，求1皿/阳4解.（：由已知得 N PBC= 60 , /. Z 九在乙FEA巾，由余弦定理得/P4-3 + i-2x3xicos30-/.PA=,

17、4242(I)设上P3A= a t由已却得，FB二SHUT ,在AFBA申，由正弦定理得,昱=巴吧一 化简得，/Jcosa = 4sma-sinl5(T sin(30D-ff)J7J7/. rana- ,二谊一 . 442.昶，工曲3年河南诣II 18）1 点小而满分L2分）如图5.五平面迎边影必比力中L9=L C/J=y , AC= 4. （l）享的值；若ms/如sinZ= 21 1求出”的长 146专业资料解：(1)在AziZAT中，则余弦定理，得川二十必一勿 ZAC-AD由题班L cosz=-所以精心整理sin N 6D=，1-cq4 HA = L()7sinZ4/=、-N 如少二J一上

18、14于是 sin 厘=5皿/4/，_/a。= SinN4/尢 0snC?Z?_ cosZ/%inZ4ZJ3V21 2J7 -vTi 4i=()=-1471472在加彷r中，由正法定理、一，故sinff sin/E4心八 月Crinabi =sin/匕第46题型之七：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等 方面都要用到解三角形的知识，例析如下：(一.)测量问题1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边 选定A B两点，望对岸标记物 C,测得 ZCAB= 0 , / CBA=75 , AB=120cm 求河的 宽度。分析：求河的宽度，就

19、是求 ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、/CAB / CBA这个三角形可确定。 ACAB解析：由正弦定理得 一AC一=一AB一，AC=AB= 20m又 sin . CBA sin . ACB-115 ABe = AB AC SinZCAB =AB CD ,解得 CD=60m2 2点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”。（二.）遇险问题2某舰艇测得灯塔在它的东5北的方向，此舰艇以 30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东0。北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？西解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔 S 在东

20、5 0北的方向上；舰艇航行半小时后 到达B点，测得S在东0北的方向上。在 ABC中，可知 AB= 0X 0.5= 5 , ZABS= 50 , Z ASB= 5 ,由正弦定理得 BS=AB=15过点S作SCL直线 AB,垂足为C,则 SC= 5sin 0 =7.5。这表明航线离灯塔的距离为7.5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险。（1）准确理解题意，分清已知点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是:与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中通过合理运用正弦定理和余弦定理图3标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形， 求解。（三.