线性代数典型例题

1、线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式12343344A42 与 A43A44 .已知行列式 D4566 ，试求 A41171122三、利用多项式分解因式计算行列式112312 x2231计算 D31.151319 x2xbcdbxcd0 有根 x _.2设 f (x)cx，则方程 f ( x)bdbcdx四、抽象行列式的计算或证明1. 设四阶矩阵A2,32 , 43 ,4, B, 22 ,33 , 44 ，其中, 2 ,3 ,4 均为四维列向量，且已知行列式| A |2,|B|3 , 试计算行列式| AB |.2. 设A为三阶方阵，A*为A

2、 的伴随矩阵，且| A |1 ，试计算行列式2(3A)12A*O2.OA3. 设 A 是 n 阶 ( n2) 非零实矩阵，元素 aij 与其代数余子式Aij 相等，求行列式 | A |.2104.设矩阵 A 120, 矩阵 B 满足 ABA*2BA*E, 则|B| _.0015. 设1,2 , 3 均为 3 维列向量，记矩阵A(1,2,3),B(123,12243,13293)如果 | A| 1，那么 |B |_.五、 n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1. 若四阶矩阵 A与 B相似，矩阵 A的特征值为 1,1,1,1 ，则行列式2345| B 1E |_.2. 设 A 为四阶矩阵，且

3、满足 | 2EA | 0 , 又已知 A 的三个特征值分别为1,1,2 ，试计算行列式 | 2 A*3E |.第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵1. 设 A,B, AB 都是可逆矩阵，求：( A 1B 1) 1.00021000532.设A12300 ，求A1.4580034600二、讨论抽象矩阵的可逆性1. 设 n 阶矩阵 A 满足关系式 A3A2AE0 , 证明 A 可逆，并求 A 1.2. 已知 A32E, BA22A2E , 证明 B 可逆，并求出逆矩阵。3. 设 AExy T , 其中 x, y 均为 n 维列向量，且 xT y2 , 求 A 的逆矩阵。4. 设 A, B 为 n 阶矩阵

4、，且 E AB 可逆，证明 E BA也可逆。三、解矩阵方程1111.设矩阵 A111，矩阵 X 满足 A*XA1 2X,求矩阵X.1111000112.已知矩阵 A110, B 101 ，且矩阵 X 满足111110AXABXBAXBBXAE ，求 X .四、利用伴随矩阵进行计算或证明1. 证明下列等式(1) (AT)*(A*)T ；(2)若|A|0,则(A 1)*(A*) 1；（3）| A|0, 则( A 1)T*( A*)T 1；(4)| A |0 , 则 (kA)*k n 1 A* ( k0, A为 n阶矩阵）；（5）若 A, B 为同阶可逆矩阵，则 ( AB )*B* A* .2. 设

5、矩阵 A(aij )3 3 满足 A*AT , 若 a11, a12 , a13 为三个相等正数，则 a11_.五、关于初等矩阵和矩阵的秩（看教材）第三章矩阵典型例题一、判断向量组的线性相关性1. 设i(i1 ,i 2,L ,in )T (i1,2,L , r ; rn) 是 n 维实向量，且1,2,L,r 线性无关，已知(b1, b2,L,bn )T 是线性方程组a11 x1a12 x2L a1n xn0a21 x1a22 x2L a2 n xn0L Lar1 x1ar 2x2L arn xn0的非零解向量，试判断向量组1 ,2 ,L ,r ,的线性相关性。2.设 1,2 ,L , n 是

6、n 个 n 维的线性无关向量，n 1k1 1k2 2Lkn n ，其中k1, k2 ,L, kn 全不为零，证明1,2 ,L , n 1 中任意 n 个向量均无关。1113.设A为4 3矩阵， B为33 矩阵，且 AB0,其中 A121，证明 B的230012列向量组线性相关。4.设 1,2 ,L , n 1 为 n 1个线性无关的 n 维列向量，1 和2 是与1 ,2,L ,n 1 均正交的 n 维非零列向量，证明（1） 1 、 2 线性相关；（2） 1,2 ,L,n 1 ，1 线性相关。二、把一个向量用一组向量线性表示a11x1a12 x2La1n xn0证明线性方程组a21x1a22x2

7、La2n xn0 的解都是L Lam1 x1am 2 x2L amn xn0b1x1 b2 x2Lbn xn0 的解的充要条件是是 1,2,L,m 的线性组合，其中(b1, b2,L, bn ) ， i( i1,i 2 ,L ,in )(i1,2,L , m) .三、求向量组的秩1. 给定一个向量组， 求其一个极大线性无关组， 并将其余向量用该极大无关组线性表示。2. 已知向量组（ 1） 1,2, 3；（2） 1,2, 3,4 ；（3） 1, 2, 3, 5. 如果各向量组的秩分别是 3、3、4，证明：向量组1, 2,3, 54的秩为 4.四、有关矩阵秩的命题1. 设 A 为 mn 实矩阵，证

8、明：R( A)R( AT A).2. 设 A 为 n 阶方阵，且满足A2A2E ，证明： R( A2E )R( AE)n .综合题1. 设 A 为 m n 矩 阵 ， B 为 nR( A)m, R(B)nm ，设是满足 Ax(nm) 矩 阵 ， 且 已 知AB0 ，0 的一个 n 维向量，证明：存在唯一的一个 ( nm) 维列向量，使B.010.5 1，又 n 维向量1, 2, 3线性无2. 已知随机变量 X ， P Y0.250.75关，求向量 12, 2 23 , X 3 Y 1 线性相关的概率。第四章线性方程组典型例题一、基本概念题（解的判定、性质、结构）二、含有参数的线性方程组的求解三

9、、抽象线性方程组求解a11x1a12 x2La1,2 n x2n0a21x1a22 x2La2,2 n x2n01. 已知线性方程组： ( )L Lan1 x1an2 x2Lan,2 n x2n0的一个基础解系为 (b11 ,b12 ,L , b1,2 n )T ,( b21, b22,L ,b2,2 n )T ,L ,( bn1 , bn2 ,L , bn,2 n )T . 试写出b11y1b12 y2Lb1,2n y2 n0线性方程组： ( )b21y1b22 y2Lb2,2 n y2 n0L L的通解，并说明理由。bn1 y1bn 2 x2Lbn,2n y2n02.已知 4阶方阵 A(

10、1 ,2, 3,4 ),1, 2, 3,4 均为 4 维列向量，其中2, 3, 4线性无关， 1 223 ，如果1234 ，求线性方程组 Ax的通解。四、讨论两个方程组的公共解x1x2x301.设线性方程组 x12 x2ax30与方程 x12x2x3a1 有公共解，求 a 的值x14x2a2 x30及所有公共解。x1x22x46x1 mx2x3x452.已知下列非齐次线性方程组 ( )4x1x2x3x41 ，()nx2x32x4113x1x2x33x32x4t 1（ 1）求解方程组 ( ) ，用其导出组的基础解系表示通解；（ 2）当方程组 () 中的参数 m, n,t 为何值时，方程组( )

11、与 () 同解。3. 设 A, B 都是 n 阶级矩阵，且 r ( A)r ( B)n ，证明齐次方程组Ax0 与 Bx0 有非零公共解。五、讨论两个方程组解之间的关系1.Ax0 与 AT Ax0 的解的关系。2. 设有齐次线性方程组Ax0 与 Bx0 ，其中 A, B 都是 mn 矩阵，现有4 个命题：若 Ax0 的解均是 Bx0 的解，则 r ( A)r (B) ；若 r (A)r ( B) ，则 Ax0 的解均是 Bx0 的解；若 Ax0 与 Bx0 同解，则 r ( A)r (B) ；若 r (A)r ( B) ，则 Ax0 与 Bx0 同解。以上命题中正确的是： (A) (B) (C

12、) (D)六、已知方程组的解，反求系数矩阵或系数矩阵中的参数12121.设A01tt，且方程组 Ax0 的基础解系含有 2 个线性无关的解向量，1t01求 Ax0 的通解。21120112.设A0131,b1，如果 是 Axb 的一个解，试求 Axb 的,1ac1011通解。七、有关基础解系的讨论1. 设1,2 ,L , s 为线性方程组 Ax0的一个基础解系，1t11t2 2 , 2 t1 2 t2 3 ,L , s t1 s t2 1其中 t1 ,t 2 为实常数，试问 t1, t2 满足什么关系时，1 , 2,L , s 也为 Ax0 的一个基础解系2. 若矩阵 A 的秩为 r ，其 r

13、 个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B 为r 阶非奇异矩阵，证明： AB 的 r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系。3. 设 * 是非齐次线性方程组 Axb 的一个解，1, 2,L, n r是其导出组的一个基础解系，证明：（1） * , 1, 2,L,n r 线性无关；（2） *, *1 ,*2,L,*nr 是方程组 Axb 的 nr1个线性无关的解；（ 3）方程组 Ax b 的任一解 x ，都可以表示为这 n r 1个解的线性组合，而且组合系数之和为 1.八、有关 AB0的应用1221. 已知方阵 A 21，三阶方阵 B0满足 AB0 ，试求的值。3111232. 已知 3

14、 阶矩阵 A 的第一行是 (a,b, c) ， a,b, c 不全为零，矩阵 B 246（ k36k为常数），且 AB0 ，求线性方程组 Ax0 的通解。综合题1. 设矩阵 A(aij )n n , r ( A)n1 ，证明：存在常数k ，使得 ( A* )2kA* .2. 已知 n 维向量1 , 2 ,L , n 中，前 n 1个向量线性相关，后 n 1个向量线性无关，又12Ln 矩阵A1,2,L,n 是 n 阶矩阵，证明方程组Ax必有无穷多解，且其任一解(a1, a2 ,L, an )T 中必有an1.3. 设 n 阶方阵 A的列向量组为1 , 2 ,L , n ， n 阶方阵 B 的列向量组为：12 ,23,L,n1试问当 r (A)n时，齐次线性方程组 Bx0 是否有非零解并证明你的结论。4. 设 A为 mn 矩阵， B 为 ns 矩阵，且 r ( A)n ，证明： r ( AB)r (B).5. 设 A ( aij )3 3 是实矩阵，满足：（ 1） Aijaij (i , j1,2,3) ，其中 Aij 为