08 材料非线性问题

1、第八章 材料非线性问题前章讨论的是几何非线性问题，它是由结构变形的大位移引起的。本章将讨论材料非线性问题。所谓材料非线性问题，指的是由于材料的本构关系是非线性的，从而使得用位移表达的平衡方程式(组)呈非线性形式。这种问题主要可分成二类，第一类是非线性弹性问题，此类问题中的材料从一开始应力应变关系就呈非线性关系，如橡皮、塑料、岩石等等。但非线性弹性问题中的变形过程是可逆的，即卸载后结构会恢复到加载前的位置。第二类是非线性弹塑性问题，当结构材料中的应力水平超过屈服极限以后，就会出现非线性性质，各种结构的弹塑性分析就是这类问题。在加载过程中，弹塑性问题和非线性弹性 问题在本质上是相同的，但其卸载过程

2、和前者是不同的，当外载去除后结构不能够回复到加载前的位置，而存有残余变形，即非线性的弹塑性问题是不可逆的。更进一步的研究，材料非线性问题还有粘弹性问题，粘塑性问题及非线性脆性材料问题等，本书将不予讨论。随着新型材料的发展应用，材料承载能力的进一步挖潜等，使的材料非线性问题的应力、变形分析，在工程上有着愈来愈重要的意义。例如塑料部件的应用、金属的压力加工、金属部件的预应力处理等等，都必须进行准确的非线性弹性或弹塑性分析。由于材料非线性问题最后亦是归结为求解一组非线性方程组的问题，因此上章所介绍的求解非线性问题的一般方法都完全适用于材料非线性问题。当然，根据具体问题的性质，存有选择哪一种方法更方便

3、，有效的问题。本章将分别介绍非线性弹性问题及弹塑性问题基本理论及具体求解方法，最后对双重非线性问题(即材料非线性和几何非线性的复合问题)作一般性的讨论。§8-1 非线性弹性问题的求解方法纯粹的材料非线性问题属于小变形问题。前面章节所到的几何关系式及单元的平衡条件仍然成立。即有 (8-1) (8-2)其中几何关系式(8-1)是线性的，和位移无关。所以以应力形式表示的平衡条件式也是线性的。现引入物理方程，其一般形式为 (a)在材料非线性问题中，应力和应变的关系是非线性的，从而应力和位移的关系亦是非线性的，所以，以节点位移列陈表示的平衡方程已不再是线性的，其可写成 (8-3)上式和式(7-

4、2)具有完全相同的形式，因此可用上章介绍的各种迭代方法来求解。现分别予以介绍。一、直接迭代法(割线刚度法)如果材料的应力应变关系能够表示成如下形式 (8-4)于是，由(8-1)式，上式可以写成 (b)将(b)式代入(8-2)式可很容易地得到(8-3)式，其中 (8-5)即为有限元系统的割线刚度矩阵，它是位移列阵的函数。直接利用直接迭代法求解(8-3)式，有 (8-6)从起多次利用上式迭代，直到满足精度要求止，即得该非线性系统的解。采用直接迭代法的关键是获得割线弹性矩阵及割线刚度矩阵，除非是少数简单系统，一般情况下，这是很困难的。因此，这种方法实用较少。二、牛顿拉斐逊法(切线刚度法)如果材料的应

5、力应变关系能够表示为增量形式 (8-7)就可以利用切线刚度法，式中是材料的切线弹性矩阵。将式(8-2)改写成 (8-8)并对其微分，由于及均为定常量，因此有 (d)将(8-7)式代入上式，并考虑到(8-1)式，则 (d)式中 (8-9)即为系统的切线刚度矩阵。利用牛顿拉斐逊方法，则其迭代公式为 (8-10)式中 (e)为第n次近似解时，等效节点力和等效节点载荷的差，称为失衡力。当失衡力在精度范围内时，则认为迭代收敛，获得了方程式(8-8)的解。三、初应力法及初应变法对于一般非线性材料，其物理方程可以表示为 (8-11)上式可由具有初应力的线弹性物理方程代替，即 (8-12)式中，是线性弹性矩阵

6、，它是非线性材料在时的切线弹性矩阵。为使(8-11)式及(8-12)式所表示的应力相同，应随的变化，随时调整。比较上述二式，于是有 (f)图8-1 初应力的含义引进假想的线性弹性应力，那末 (8-13)如图8-1所示。把(8-12)式代入(8-2)式，有 (g)令 (h)则有 (8-14)式中 就是由线性弹性矩阵所定义的结构整体刚度矩阵。上式可以改写成矩阵形式 (8-15)利用上式进行迭代运算，即可求得该非线性问题的解。通常，第一次近似解取为，即是线性弹性问题的解。由于在整个迭代过程中刚度矩阵保持不变，该法常称为等刚度法。实际上，此法就是上章所述修正牛顿-拉斐逊方法。将(8-15)式中上式改写

7、，可得 (i)注意到及(8-1)式和(h)式，有 (j)即 (8-16)这和修正的牛顿法迭代公式完全相同。图8-2 初应力法迭代过程中单元应力的变化利用上述方法求解过程中单元中应力应变的变化如图8-2所示，最后收敛于真解和。由图中可以看出，如果将当作单元初应力，那末使用线性关系式(10-12)和使用非线性关系式(10-11)所得结果是一致的。因此，整个迭代过程相当于调整所有单元的初应力的过程。即为对应于n次初应力场的等效节点力。一旦调整到初应力值时，这个具有初应力场的线弹性解就是非线性弹性问题的解。基于这种物理的解释，此类方法又称为初应力法，或是应力转移法。在某些问题中，应力不能由应变明确确定

8、，而是相反，有 (8-17)这时，仍采用初应力法会遇到到困难，而采用“初应变”法则比较方便。仿照初应力法，设想用具有初应变的线弹性物理方程来代替(8-17)式表示的非线性物理方程： (8-18)式中为初应变。调整可以使二式得到相同的。比较二式，并令,于是有 (8-19)其意义如图8-3。将(8-18)式代入(8-2)式，最后可得 (8-20)式中各符号具有初应力法中相同的意义。上式改写成迭代公式为 (8-21)如果已知位移的第n次近似值，可以利用(8-1)式求出相应的应变。由及前一次的初应变，利用(8-8)式可得 (k)由(8-17)式可求得对应于的应变值，继而求出新的初应力值 (l)如此迭代

9、多次，直到收敛。一般开始时取,即线弹性解为初始近似值。在迭代过程中单元内应力应变的变化如图8-4所示。 图8-3 初应变的含义 图8-4 初应变法迭代过程中单元应力的变化§8-2 塑性力学基础在弹塑性小变形情况下，弹性力学中的平衡方程和几何方程式仍然成立，但是其物理方程则不相同，取决于材料处于弹塑性时的机械性质。本节将简要介绍一些材料的塑性性质及有限单元法中用到的，用于确定材料本构关系的塑性基础理论。一、材料的弹塑性性质简单拉伸及薄壁筒扭转实验所得到的应力应变曲线是我们研究材料塑性性质的基本资料。图()是典型的炭钢拉伸应力应变曲线。由实验知道，当应力及应变从零开始，直到应力达到屈服极

10、限之前，属弹性阶段，即当去除外部载荷时，应力降到零点，其应变也可全部消除。并且此阶段内大部分应力和应变呈线性关系。当应力超过屈服极限后材料进入塑性阶段。进入塑性阶段后首先出现屈服平台，此时，应力变化不大而应变有较大增长。如果此阶段很长，可以简化为如图所示的曲线，在塑性阶段，这一类型称为理想弹塑性。过了屈服平台之后，大多数材料要使变形继续增加，则须进一步增大应力，即。此即所谓的强化现象或称加工硬化。此时的应力应变关系呈非线性。 图8-5 炭钢的拉伸曲线 图8-6 理想塑性曲线由实验得知，当材料进入塑性阶段后，其应力应变不再能够沿原来的加载路径卸载，而是沿着一条和弹性阶段原点处斜率大致相同的直线变

11、化，此即所谓的弹性卸载。这样，当应力降为零时，应变还残留一部分不能恢复，称为塑性应变；能够恢复的那部分应变称为弹性应变。当卸载后再次加载，应力应变沿和卸载路径大致重合的曲线变化，在到达卸载前的应力水平时重新进入塑性阶段。因此，弹塑性的应力应变之间并没有一一对应的关系，其应变不仅依赖于当时的应力状态，而且还取决于整个加载历史。所以，在一般情况下，我们无法建立弹塑性状态下最终应力状态和应变状态之间的全量关系，而只能建立反映加载路径的应力应变间的增量关系。进而，在求解弹塑性材料非线性问题时，也要采用增量法以获得和加载情况相符的真解。当然，如果整个受载过程是简单加载或接近于简单加载情况，即加载过程中，

12、任一点的各应力分量按同一参数单调增长，保证主应力方向不变，是可以建立起应力和应变间的全量关系的。其求解方法就和非线性弹性问题完全相同。不过，在实际工程问题中很难保证简单加载，因此全量理论的应用受到很大限制，一般都是采用增量理论。二、屈服条件及强化规律材料在变形过程中，随着变形的增加，总是要从弹性状态，进入塑性状态。在复杂应力状态下，开始进入塑性状态的界限被称为屈服条件。一般情况下，屈服条件与所考虑的应力状态有关，是个独立的应力分量的函数，即该方程在应力空间中表示一个曲面，即为屈服面。当应力点在屈服面以内，即F0时，材料处于弹性状态；当应力点达到屈服面上，即时，材料开始进入塑性。经过两个多世纪的

13、研究，根据不同材料的特性，建立了一些相应的屈服准则。对于工程金属材料，较为合适并便于应用的是屈雷斯卡(Tresca)及米赛斯(Mises)二种，其中又以米赛斯屈服准则更便于数学表达及处理。但这二个准则之间并无很大差别。米赛斯屈服准则认为：要使物体处于应力状态中的点进入塑性状态，则必须使单位体积的形状改变能达到一定数值，且该数值和应力状态无关。任意应力状态的形状改变能为 (a)而单向拉伸屈服时的形状改变能为于是米赛斯屈服条件为 (8-22)它表示了主应力空间内与三个坐标轴等倾的一个半径为的圆柱面(图8-7)。 图8-8 新屈服应力和的关系 图8-7 屈服面图示如果定义等效应力(又称应力强度)：

14、(c)或用一般应力表示 (d)则米赛斯屈服准则变为 (8-22a)为用矩阵表示，现引入应力偏量 (8-23)式中，为平均应力。等效应力又可用应力偏量表示为 (e)若记 (f)则有 (8-24)由式(c)、(d)和(e)可以看出，在单向应力状态下，等效应力恰是单向应力。式(8-22)及(8-22a)仅给出材料从无初始应变的自然状态加载时的屈服条件，即初始屈服条件。由拉伸实验知，当材料进入塑性状态后，若要继续增大塑性应变，对应的应力水平一般要增大。这又表现为卸载后再加载，材料的屈服应力一般要增大。这种现象称为应变强化。强化后的应力应变关系可用后继屈服条件或称为加载条件表示。拉伸时应有 (8-25)

15、式中,H反映了新的屈服应力和塑性应变总量间的关系，可由拉伸曲线求得(图8-8)。显然。在复杂应力状态下，应变强化表现为主应力空间中屈服面的变化。和后继屈服条件或加载条件对应，新的屈服面又称为后继屈服面或加载面。进入塑性状态后的材料进一步发生塑性变形，或卸载后再加载重新进入塑性状态，其应力必须达到后继屈服面上，材料的强化规律大体可简化为理想塑性(无强化)、随动强化(屈服面的大小、形状不变，仅作整体平动)、等向强化(屈服面仅作均匀扩大)及混合型几种模式。实际材料的强化规律大体为随动和等向强化的混合类型。对金属构件，一般采用等向强化。复杂应力状态下等向强化的屈服条件具有和(8-25)式完全相同的形式

16、，只是将其中的和变为相应的等效参数。即 (8-26)其中也完全采用单向拉伸实验资料。当问题退化为一维状况，(8-26)式和(8-25)式完全相同。上式写定成增量形式 (8-26a)它表示了某一塑性状态下等效应力增量和等效应变增量之间的数量关系。式中H就是强化阶段曲线的斜率。对应于等效应力，等效应变定义为 (g)对于单向拉伸，等效应变恰等于。将上式各量全用相应增量代替，即可得等效应变增量。因塑性变形时不产生体积变化，故。于是等效的塑性应变增量为 (h)引进应变偏量 (8-27)式中为平均应变。塑性变形时，体积不变，平均应变。所以 (i)利用i式，等效塑性应变增量又可表示为 (j)若记 (k)则等

17、效塑性应变增量可写成 (8-28)三、塑性流动法则及增量理论强化的屈服准则的增量形式给出了等效应力增量和等效塑性应变增量之间的数值关系。要进一步确定等效塑性应变增量的分量，则必须用到塑性流动法则。金属一类的塑性材料，塑性应变增量是和屈服面相关联的。理论和实验的广泛研究使卓克尔(Drucker)公设得到普遍承认。Drucker公设认为：对于稳定材料，在材料上施加外力使之产生塑性变形时，外力必须做正功。由之可得二个重要推论：.加载面必须是外凸的；.塑性应变增量矢量垂直于主应力空间的屈服面(加载面)(详细论证请参阅有关书籍)。这第二条推论被称为正交流动法则。其用数学形式可表示为 (8-29)令 (l

18、)(8-29)式可写为 (8-30)式中 为应力空间中加载面方程，为比例常数。对于一般金属材料，采用等向强化的塑性准则，有 (m)将(m)式代入(k)式，并注意到(f)式，于是得到 (n)由于等式二边的模应相等，于是有 (o)利用(8-14)式和(8-28)式从上式可得出由于加载过程中，应取正值，所以 (8-31)这样，正交塑性流动法则最终化为 (8-32)现在我们可以推导出增量形式的弹塑性应力应变关系。在加载过程中，全应变增量可以分成弹性应变增量和塑性应变增量二部分 (p)而应力增量和弹性应变增量成正比，即 (8-33)式中 为弹性矩阵。将上式左乘，得 (q)注意到上式左端即等效应力增量，并

19、利用等向强化材料的Mises准则(8-26a)式及塑性流动法则(8-32)式，(q)式可以写成 (r)由上式可以求出等效塑性应变增量和全应变增量的关系式： (8-34)将式(8-32)及(8-34)代入(8-33)式最后得到 (8-35)记 (8-36) (8-37)于是得到加载过程增量形式的弹塑性应力应变关系： (8-38)式中通常称为弹塑性矩阵。对于理想塑性材料，只须将式(8-36)中H取零即可。卸载情况下，应力应变关系全部遵循直线关系，这时有 (8-39)其中即为线弹性矩阵。§8-3 弹塑性矩阵的表达式上节公式(8-37)及(8-38)是弹塑性矩阵的一般表达式。对于三维空间问题

20、，轴对称问题和平面问题，可分别写出矩阵显式。一、三维空间问题的弹塑性矩阵对于空间问题，弹性矩阵为 (8-40)利用上式以及，容易看到 (a)其中 (b)为材料的剪切弹性模量。于是由(8-36)式并注意到 (c)容易写出 (8-40)把式(8-40)及(8-41)代入(8-37)式，得到空间问题的弹塑性矩阵为 (8-42)式中 (d)二、轴对称问题的弹塑性矩阵对于轴对称问题，我们记 (e)在()式中划去最后二行二列，可以得到轴对称问题的弹塑性矩阵(8-43)式中 仍由(d)式确定，而等效应力 (f)三、平面问题弹塑性矩阵对于平面应力问题，应力增量和应变增量分别取为 (g)而弹性矩阵 (8-44)

21、等效应力 (h)由此得 (i)以上各式均可由三维问题推导公式简化获得。由(8-44)式和(i)式，有 (j)由于，不能将(j)式简化成(a)式的形式。把(i)式及(j)式代入(8-36)式，得到(8-45)式中 (8-46)将(8-44)式及(8-45)式代入(8-37)式，整理得到平面问题的弹塑性矩阵:(8-47)式中 (k)对于平面应变问题，；在弹性阶段，依照虎克定律，有现在弹塑性阶段，可以取所以于是，等效应力 (8-48)利用上式及平面应变问题的弹性矩阵按上述步骤可以获得平面应变问题的弹塑性矩阵。也可以由(8-47)直接获得，只要将换成，换成(-)。§8- 小变形弹塑性问题的求

22、解方法如前所述，弹塑性问题中的应力应变状态，不仅与材料的性质有关，而且与加载历史有关，其本构方程一般必须用增量形式表示，即有 (8-49)此外，材料进入屈服状态后，卸载过程中遵循着和加载过程不同的应力应变关系，成为一个纯线性问题，此时上式中的弹塑性矩阵应用纯弹性矩阵代替。所以，对弹塑性问题，为达到线性化目的以进行数值求解，须采用逐步增加载荷的方法，即载荷增量法，也就是根据实际的加载情况，将总载荷分成适当数目的小载荷增量逐步求解。经常是把结构不发生塑性变形的最大载荷作为第一个增量。具体计算时常采用增量切线刚度法、增量初应力法和增量初应变法。下面分别介绍。一、增量切线刚度法如果材料的塑性性质可用(

23、8-49)的显式表示，则可用增量切线刚度法。设在某个已知状态下，结构承受积累载荷，相应的位移，应变及应力分别用、及来表示，并均为已知。在此基础上作用载荷增量，使载荷达到新的积累水平，结构内的应力、应变及位移也要 取得一个增量达到新的水平。利用通常的方法，可以求得单元刚度矩阵和总体刚度矩阵。对于尚处在弹性状态下的单元，单元刚度矩阵应为 (8-50)而对于塑性状态下的单元，单元刚度矩阵为 (8-51)其中弹塑性矩阵中的应力可取为当时已知应力。把所有的单元刚度矩阵按照通常的方法合成得到整体刚度矩阵，显然它只和施加增量载荷前的应力水平有关，其物理意义就是前面提到的切线刚度矩阵。求解平衡方程组 (8-5

24、2)可得到新的位移，应变及应力水平：图8-9 过渡区域应力增量折算 (8-53)如此不断增加载荷重复上述计算，直到加完全部载荷为止。通常，在逐步加载过程中，塑性区域会不断扩展。当增加载荷增量时，对加载前后均处于弹性区或塑性的单元，可以分别按式(1-50)或(1-51)来计算单元刚度矩阵。有些单元，加载前虽处于弹性区，但其和塑性区邻近，在施加过程中进入塑性区域，由这些单元构成的区域称为过渡区域。显然，对于过渡区的单元，由于载荷增量施加过程中经历弹性和塑性二种状态，所以简单地用式(1-50)或(1-51)形成单元刚度矩阵会引起相当大的误差。另外，卸载后再加载的单元也属此种情况。如图8-9所示，在载

25、荷增量施加前后，若简单地认为应力从点变到点，显然得到的应力增量会有过大偏差。正确的作法是由式(8-38)出发，利用下式计算应力增量： ()式中，是进入塑性状态之前的那部分应变增量。若以等效应变表示单元应变，上式中系数可用下式近似计算 ()这里，为单元进入屈服状态所需要的等效应变增量，则为这次载荷增量所引起的等效应变增量的估算值。当载荷增量充分小时，()式可近似写成 ()由上式可以定义过渡区单元的加权弹塑性矩阵 (8-54)于是，过渡区单元或卸载后重新加载之单元的单元刚度矩阵应按下式形成 (8-55)为统一起见，对于不同区域内单元均用上式计算，只是的取值不同，即 (8-56)在计算m时，的估计值

26、往往不够精确，一般第一次是将过渡区按弹性区来处理。然后可以用得到的计算结果来修正，经过 二三次迭代就可得到比较精确的结果。实践证明，采用加权弹塑性矩阵后，即使每次载荷增量较大，加载过程中进入屈服的单元较多，也能获得比较满意的结果。另外必须注意，应力应变的增量关系，本来是以无限小的微分形式表示的，而现在用有限小的增量来近似。因此，计算过程会引入误差，只有当载荷增量足够小时才会得到较为精确的近似解。为改善解的精度，可采用§9-1中介绍的改进增量法，或是将增量法和迭代法联用。综上所述，增量切线刚度法的主要计算步骤如下： () 对结构施加全部载荷作弹性计算。() 求出单元等效应力之最大值；如

27、果(为结构材料的屈服应力)，则弹性计算结果即为问题的解。若是，则取，存贮由载荷作线性计算所得的应变，应力和位移等作为第一次载荷增量的结果，并以作为以后每次所载荷增量；为加载次数。当受力途径较为复杂时，应根据真实路线确定初始步长，并在确定以后的载荷增量时考虑载荷的施加顺序等。() 根据载荷增量估算各单元相应的等效应变增量，并由()式确定相应的m值。() 按各单元处于弹性区、塑性区或是过渡区的不同情况，分别计算单元刚度矩阵并组合成整体刚度矩阵。() 求解相应的平衡方程求得位移增量，进而计算出应变增量和等效应变增量，并依此修改和。重复修改m值二到三次。() 计算应力增量，并把应力增量、位移增量和应变

28、增量叠加到原有水平上去。输出，此即为相应于某载荷水平的中间结果。() 重复步骤()()，直到加完全部载荷。() 作卸载计算，可得残余位移、应变和应力。二、增量初应力法如果将材料的塑性性质由初应力计入，而刚度仍取为，则可用“初应力”法(同§8-1)。此时，增量形式的应力-应变关系可以改写为 (8-57)而 ()式中由式(8-36)给出。于是，线性化后有 (8-58) ()将§8-1中介绍的初应力法应用在某一载荷增量的施加过程中，有 (8-59)式中 ()就是线性弹性刚度矩阵。而 ()是由初应力转化而得到的等效节点载荷，或称矫正载荷。应当指出，在(8-59)式右端项中，是一个决

29、定于的量，而本身又是一个待定的量；因此，对每个载荷增量，必须通过迭代步骤求出位移增量和应变量。所以，增量初应力法实际上是增量法和迭代法联合使用的混合法。更进一步地说，就是在每一个载荷增量内利用修正的牛顿拉夫逊方法(等刚度法)来逐步修正初应力场，最终使其引起的初载荷(矫正载荷)与实际载荷共同形成的线性问题的解，就等于原非线性问题的解。第n+1级载荷增量内的迭代公式是 (j=0,1,2,) (8-6)一般来说，如果已经求得应变增量的第j次近似值，就可以根据当前的应力水平由(e)式和(g)式求出初应力和矫正载荷的第j次近似值和，再次利用方程(8-60)进行迭代求解。开始时可取。迭代过程应进行到二次结

30、果相差满足精度时为止。这时将所得位移增量，应力和应变增量作为此次载荷增量的结果而叠加到当时的水平上去，然后再进行下一步加载，直到加完全部载荷。关于矫正载荷，在每一载荷增量中的每一次迭代时都应重新计算。显然，处于弹性区的单元不会出现上述初应力，因而只需对处于塑性区的单元计算矫正载荷、而对于处于过渡的单元，初应力的计算不应计及全应变增量中进入屈服前的部分。如果载荷增量充分小，可由(c)式得到矫正载荷： (8-61)为统一起见，所有单元之矫正载荷均可用上式确定，此时之m应用(8-56)及(b)式确定。三、增量初应变法如果将材料的塑性性质以初应变计入，而刚度矩阵仍取为，则可用“初应变法”求解。此时增量

31、形式的应力应变关系可以改写为 (8-62)而 (h)由(8-27)式及(8-32)式，对等向强化材料，有 (8-63)此即相当于线弹性问题的初应变。为线性化目的，将上面二式中的无限小增量用有限增量代替，得 (8-64)这时，节点位移增量所应满足的平衡方程是 (8-65)式中，仍是弹性计算中的刚度矩阵，而 (8-66)是由初应变转化而得的等效节点载荷，即矫正载荷。由于矫正载荷决定于应力增量，而本身又是待定量，因此必须通过迭代求解(8-65)式。故而初应变增量法实际上是增量法和初应变法的联合混合法。即在每个载荷增量内使用修正的牛顿拉斐逊方法来逐步调整初应变场，最终使其引起的初载荷和实际载荷共同引起

32、的线性问题的解等同于原始非线性问题的解。第n+1级载荷增量内的迭代公式为 (j=0,1,2,) (8-67)一般来讲，如果已经求得第j次迭代的近似值，就可以算出相应的和，再通过(8-66)式计算出作为下一次迭代的矫正载荷。在j=0时,可取。如此即可再次求解方程(8-65过程进行到相邻两次所决定的应力增量相差满足精度为止。另外需要注意的是，对于弹性区单元，不会出现上述初应变：而对于过渡区单元，计算初应变时，显然不应计入进入屈服前的应力增量，此时有 (8-68)计算矫正载荷的(8-66)式也要相应地修正。为统一起见，对不同区域单元，可按(8-56)将m取不同值，矫正载荷全用下式表示： (8-69)

33、式中即为由(8-7)式确定之弹塑性矩阵。四、三种方法的比较增量切线刚度法是在每次加载时调整刚度来求得近似解。因此，对于每个载荷增量，必须重新计算分解刚度矩阵，计算工作量是很大的。图8-10 带孔拉伸板(平面应力)对于增量初应力法和增量初应变法，每步加载使用的刚度矩阵均相同，就是线弹性刚度矩阵。所以，在计算开始时形成了刚度矩阵并进了三角形分解之后，每次计算中只要改变右端项进行回代就可以了。从而减轻了工作量。但由于每加载一次都要对初应力和初应变进行迭代，就产生了迭代是否收敛的问题。可以证明，对于一般的强化材料，初应力法的迭代过程一定是收敛的；而对于初应变法，收敛的充分条件是3G/H<1。在计

34、算过程中，当塑性区域较大时，初应力法和初应变法的迭代收敛将很缓慢。特别是对应变强化程度较低的材料。针对这三种方法的特点，在实际计算时可以采用一些改进的办法。例如把三种方法联合使用，先用初应力或初应变法，在若干次载荷增量之后，收敛速度变得较慢，再改用切线刚度法以加速收敛。五、例子对受均布拉伸载荷作用下的带孔平板进行分析9。图(8-10a)示出了带孔拉伸平板的形状和它的简单三角形部分网格。假设平板处于平面应力状态，得到了理想塑性及应变硬化情况下的解。采用的是等向强化(理想塑性时H=0)的米赛斯屈服准则。图8-10b)和c)示出了不同载荷水平下塑性区的扩展。 另外，计算证明，当载荷采用简单加载形式施

35、加时，采用较大步长计算、应用初应力法可以得到较为满意的结果。如本问题载荷一次施加时，得到的塑性区和最大应变量和用增量法得到的结果几乎完全一样(图8-10d)，图8-11)。§8-5 双重非线性问题在上一章及本章前几节分别讨论了单纯的几何非线性及材料非线性问题。前者的非线性是由几何关系引起的、而后者的非线性是由材料的性质引起的。工程实际中，许多问题是根据其几何特点，物理关系等用上述二种单一非线性问题来近似描述的。但也有一些问题的几何非线性和材料性质的非线性均不容忽视，这就是双重非线性问题，本节将给予简单讨论。在描述双重非线性问题时，要同时用到非线性本构方程和非线性的几何方程。所以它具有材料非线性问题的特点，即可以与加载历史无关，也可以与加载历史有关；可以与时间有关，也可以与时间无关。双重非线性问题又具有几何非线性问题的特性：它可能是在实体中产生，也可能在板壳结构中产生：可以有稳定性问题，也可以没有稳定性问题。但限于篇幅，本节只对与历史无关的大变形非线性弹性的有限单元法及与历史有关的大变形弹塑性有限单元法作一般性的讨论，而且二者都只限于无稳定性问题的三维连续体。图8-11带孔板应变硬化材料,最大应变(发生在首先屈服的点处)的变化。H/E=0.