九年级数学中考复习抛物线与存在性问题6

1、抛物线与存在性-6一、解答题（共30小题）1、（2009贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B（2，0），与y轴的负半轴交于点C，且线段OC的长度是线段OA的2倍，抛物线的对称轴是直线x=1（1）求抛物线的解析式；（2）若过点（0，5）且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式；（3）当0x时，（2）中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由2、（2009广州）如图，二次函数y=x2+px+q（p0

2、）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1），ABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由3、（2009广安）已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程x25x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D

3、是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由4、（2009抚顺）已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（a0）与x轴交于点A（2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q是否存

4、在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由5、（2009河池）如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由6、（2009黄石）正方形ABCD在如图

5、所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax2+bx4过A、D、F三点（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=SFQN，则判断四边形AFQM的形状；（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得APPH且AP=PH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由7、（2009湖州）已知抛物线y=x22x+a（a0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=xa分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并

6、且与直线AM相交于点N（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x22x+a（a0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由8、（2009济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（3，0），C（0，2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P的坐标；（3）若

7、点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由9、（2009江津区）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说

8、明理由10、（2009江汉区）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，PMC为等腰三

9、角形11、（2009来宾）在ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，点D、E分别在AB、AC上，且DE将ABC的周长分成相等的两部分设AE=x，AD=y，ADE的面积为S（1）求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求出S关于x的函数关系式；试判断S是否有最大值，若有，则求出其最大值，并指出此时ADE的形状；若没有，请说明理由12、（2009昆明）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OABC，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点两个动点同时出发，速度都是每秒1个单

10、位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）（1）求线段AB的长；当t为何值时，MNOC；（2）设CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？若有最小值，最小值是多少？（3）连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由13、（2009荆州）如图，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2：1），BAD=120，对角线均在坐标轴上，抛物线y=x2经过AD的中点M（1）填空：A点坐标为_，D点坐标为_；（2

11、）操作：如图，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转度角（090），并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出的值；若不存在，说明理由；探究2：设AP=x，四边形OPDQ的面积为s，求s与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围14、（2009荆门）一开口向上的抛物线与x轴交于A（m2，0），B（m+2，0）两点，记抛物线顶点为C，且ACBC（1）若m为常数，求抛物线的解析式；（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点；（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是

12、否存在实数m，使得BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由15、（2009来宾）当x=2时，抛物线y=ax2+bx+c取得最小值1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B（1）求该抛物线的关系式；（2）若点M（x，y1），N（x+1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小；（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F问：是否存在DEF与AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由16、（2009临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求出抛物线的

13、解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D的坐标17、（2009辽阳）如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，A（3，0），过点C的直线y=2x+4与x轴交于点D，二次函数y=x2+bx+c的图象经过B、C两点（1）求B、C两点的坐标；（2）求二次函数解析式；（3）若点P是CD的中点，求证：APCD；（4）在二次函数图象上是否存在点M，使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形，若存

14、在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由？18、（2009辽宁）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2x+3（a0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=2（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设PAD的面积为S，令W=tS，当0t4时，W是否有最大值如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与RtAOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由（参考资料：抛物线y=ax2+bx+c（a0）对称轴是直线x=）19、（2009茂名

15、）已知：如图，直线l：y=x+b，经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），An+1（xn+1，0），设x1=d（0d1）（1）求b的值；（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”探究：当d（0d1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值20、（2

16、009泸州）如图，已知二次函数y=x2+bx+c（c0）的图象与x轴的正半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且OC2=OAOB（1）求c的值；（2）若ABC的面积为3，求该二次函数的解析式；（3）设D是（2）中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P，使PBD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由21、（2009龙岩）如图，抛物线y=x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连接BC、AD（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将BCH绕点B按顺时针旋转90后再沿x轴对折得到BEF（点

17、C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由22、（2009梅州）如图所示，已知直线L过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交L于点Q，交x轴于点M（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP=t，OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；并求出当0t2时，S的最大值；（3）直线L1过点A且与x轴平行，问在L1上是否存在点C，使得CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；

18、若不存在，请说明理由23、（2009莆田）已知，如图1，过点E（0，1）作平行于x轴的直线l，抛物线y=x2上的两点A、B的横坐标分别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF（1）求点A、B、F的坐标；（2）求证：CFDF；（3）点P是抛物线y=x2对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ与CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由24、（2009攀枝花）如图所示，已知实数m是方程x28x+16=0的一个实数根，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A（m，0）和点B，交y轴

19、于点C（0，m）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作DEBC交AC于点E，又过D作DFAC交BC于点F，当四边形DECF的面积最大时，求点D的坐标；（3）设AOC的外接圆为G，若M是G的优弧ACO上的一个动点，连接AM、OM，问在这个抛物线位于y轴左侧的图象上是否存在点N，使得NOB=AMO若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由25、（2009南充）如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2

20、）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由26、（2009钦州）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与坐标轴交于A、B、C三点，A点的坐标为（1，0），过点C的直线y=x3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PHOB于点H若PB=5t，且0t1（1）填空：点C的坐标是_，b=_，c=_；（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H

21、、Q为顶点的三角形与COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由27、（2009衢州）如图，已知点A（4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C（2，0）和点D（4，0）是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由28、（2009遂宁）如

22、图，二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6（1）求二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由29、（2009十堰）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图，

23、若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标30、（2009深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）答案与评分标准一、解答题

24、（共30小题）1、（2009贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c的交x轴于点A和点B（2，0），与y轴的负半轴交于点C，且线段OC的长度是线段OA的2倍，抛物线的对称轴是直线x=1（1）求抛物线的解析式；（2）若过点（0，5）且平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，以线段MN为一边抛物线上与M、N不重合的任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，请你求出S关于点P的纵坐标y的函数解析式；（3）当0x时，（2）中的平行四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题；开放型。分析：（1）本题的关键是求出A、B、C三点

25、的坐标根据抛物线对称轴的解析式和B点坐标可得出A点的坐标，也就可得出OA的长，根据OC=2OA，可求出C点的坐标，已知了A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本题要先求出M、N两点的坐标，进而求出MN的长，由于要求的是平行四边形的面积，因此只需知道MN的长和P点与M点纵坐标差的绝对值，然后根据平行四边形的面积求法即可得出S，y的函数关系式；（3）先将（2）得出的函数关系式中的y值用x表示出来，然后根据函数的性质和自变量的取值范围求出S的最大值解答：解：（1）抛物线的对称轴x=1，B（2，0）A（4，0），OA=4OC=2OA=8，即C点坐标为（0，8）设抛物线的解析式为

26、y=a（x+2）（x4）由于抛物线过C点，则有a（0+2）（04）=8，即a=1因此抛物线的解析式为y=（x+2）（x4）=x22x8；（2）当y=5时，x22x8=5，解得x=3，x=1M、N的坐标分别为（3，5），（1，5）MN=4S=4|y+5|；（3）由于0x，此时y0，且P与M、N不重合，因此可分两种情况进行讨论：当0x3时，S=4（5y）=4（5x2+2x+8）=4（x2+2x1+4）=4（x1）2+16，Smax=16；当3x时，S=4（5+y）=4（x22x3）=4（x1）216，由于抛物线开口向上，且对称轴为x=1，因此当x=时，Smax=因此存在平行四边形的最大值，且最大值

27、为16点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力要注意（3）题要根据y和M点纵坐标的大小关系来分情况进行求解不要漏解2、（2009广州）如图，二次函数y=x2+px+q（p0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1），ABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）由ABC

28、的面积为，可得ABOC=，又二次函数y=x2+px+q（p0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1）可求得该二次函数的关系式；（2）根据直线与圆的位置的位置关系确定m的取值范围（3）四边形ABCD为直角梯形，要分类讨论，即究竟那条边为底可以分别以AC、BC为底进行讨论解答：解：（1）OC=1，所以，q=1，又由面积知0.5OCAB=，得AB=，设A（a，0），B（b，0），则a、b是一元二次方程x2+px1=0两个根，a+b=p，ab=1，AB=ba=，解得p=，又p0，p=所以解析式为：y=x2x1（2）令y=0，解方程得x2x1=0，得x1=，x2=2，所以A（，0），B（2

29、，0），在直角三角形AOC中可求得AC=，同样可求得BC=，显然AC2+BC2=AB2，得三角形ABC是直角三角形AB为斜边，所以外接圆的直径为AB=，所以（3）存在，ACBC，若以AC为底边，则BDAC，易求AC的解析式为y=2x1，可设BD的解析式为y=2x+b，把B（2，0）代入得BD解析式为y=2x+4，解方程组得D（，9）若以BC为底边，则BCAD，易求BC的解析式为y=0.5x1，可设AD的解析式为y=0.5x+b，把A（，0）代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组得D（）综上，所以存在两点：（，9）或（）点评：本题综合考查了二次函数的有关知识以及直线与圆的关系，范围较

30、广，难度较大3、（2009广安）已知：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程x25x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）解方程x

31、25x+4=0，求出两根，得到OA，OC的长，即可以得到A，C两点的坐标，已知抛物线的对称轴是x=1，A，B一定关于对称轴对称，因而B的坐标也可以相应求出（2）已知A，B，C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式（3）已知DEBC，则得到AEDACB，AB，AC的长度可以根据第一问求出，AD可以用m表示出来，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长（用m表示）DEC与ABC的CE，AC边上的高的比，就是AED和ACB的相似比，因而EC边上的高也可以用m表示出来，则函数解析式就可求出S是否存在最大值，可以转化为求函数的最值问题根据函数的性质就可以得到解答：解：（1）OA、OC

32、的长是x25x+4=0的根，OAOC，OA=1，OC=4，点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，A（1，0）C（0，4），抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，由对称性可得B点坐标为（3，0），A、B、C三点坐标分别是：A（1，0），B（3，0），C（0，4）；（2）点C（0，4）在抛物线y=ax2+bx+c图象上，c=4，将A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx4，得，解之得，所求抛物线解析式为：；（3）根据题意，BD=m，则AD=4m，在RtOBC中，BC=5，DEBC，ADEABC，过点E作EFAB于点F，则sinEDF=sinCBA=，EF=DE=4m，SCDE=SAD

33、CSADE=（4m）4（4m）（4m）=m2+2m（0m4）S=（m2）2+2，a=0当m=2时，S有最大值2点D的坐标为（1，0）点评：本题综合运用了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，以及求函数的最值4、（2009抚顺）已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c（a0）与x轴交于点A（2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q是否存在以A、M、P、Q为顶点的平

34、行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）可将A，B两点的坐标代入函数的解析式中，可求出抛物线的解析式进而求出对称轴的解析式和定点的坐标；（2）由于二次函数和等腰梯形都是轴对称图形，可根据抛物线的对称轴和C点的坐标求出D的坐标然后用待定系数法求出A，D所在直线的解析式（3）分四种情况进行讨论：如图1，P与M的纵坐标相等，可将M的纵坐标代入抛物线中求出P的坐标，然后可根据M，P的横坐标求出MP的长，即AQ的长，然后根据A的坐标即可求出Q的坐标如图2，方法同如图3，根据平行四边形的对称性，那么M，P的纵坐标互为相反数，因此可求出

35、P的坐标，可先在直角三角形AOM中求出AO的长，然后A到抛物线对称轴的长+P的横坐标=Q的横坐标，据此可求出Q点的坐标如图4，可参照的方法求出P的坐标，然后求出PA的长，即DQ的长，然后可过D作x轴的垂线，通过构建直角三角形求出OQ的长进而得出Q的坐标解答：解：（1）根据题意，得，解得，抛物线的解析式为，顶点坐标是（2，4）；（2）D（4，3），设直线AD的解析式为y=kx+b（k0），直线经过点A（2，0）、点D（4，3），y=x+1；（3）存在Q1（22，0）；Q2（22，0）；Q3（62，0）；Q4（6+2，0）点评：本题主要考查了二次函数的相关知识，（1）（2）比较简单，要注意的是（3

36、）中要把所有的情况都考虑到不要漏解5、（2009河池）如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=，求

37、得抛物线的对称轴，因为函数与X轴的交点是y=0，列方程即可求得；（2）分别以AC，AB为对角线各可求得一点，再以AC，AB为边求得一点；（3）首先可求得梯形DEOC的面积，根据题意：在OE上找点F，使OF=，此时SCOF=3=2，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M，设直线CM的解析式为y=kx+3，它经过点F（，0），则k+3=0（11分）解之，得k=直线CM的解析式为y=x+3解答：解：（1）对称轴x=2；（2分）当y=0时，有x2+4x+3=0，解之，得x1=1，x2=3，点A的坐标为（3，0）（4分）（2）满足条件的点P有3个，分别为（2，3），（2，3），（4

38、，3）（7分）（3）存在（8分）当x=0时，y=x2+4x+3=3点C的坐标为（0，3），DEy轴，AO=3，EO=2，AE=1，CO=3，AEDAOC即，DE=1（9分）S梯形DEOC=（1+3）2=4=4，在OE上找点F，使OF=，此时SCOF=3=2，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M（10分）设直线CM的解析式为y=kx+3，它经过点F（，0）则k+3=0，（11分）解之，得k=，直线CM的解析式为y=x+3（12分）点评：此题属于中考中的压轴题，难度较大，知识点考查的较多而且联系密切，需要学生认真审题此题考查了二次函数与一次函数，四边形的综合知识，解题的关键

39、是要注意数形结合思想的应用6、（2009黄石）正方形ABCD在如图所示的平面直角坐标系中，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于E，BC交x轴负半轴于F，OE=1，OD=4，抛物线y=ax2+bx4过A、D、F三点（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上D、F间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，若S四边形AFQM=SFQN，则判断四边形AFQM的形状；（3）在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得APPH且AP=PH，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据三角形OE

40、AADO，D（0，4），E（0，1）可求出A点的坐标，再根据RtADERtABF可求出F点的坐标，把A，F两点的坐标代入二次函数的解析式即可取出未知数的值，进而求出其解析式；（2）根据“过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N”，又知AMCB，可以判断，四边形AMNF为平行四边形，可得NM=AF=5，设QM=m，可用m表示出QN的长，利用S四边形AFQM=SFQN，可以求出m的值；可知若Q（a，b）则必有M（a+1，b），代入二次函数解析式，可求得M的坐标，依据坐标特点可判断四边形的形状；（3）先根据题意画出图形，根据图形可看出，有三种情况符合题目条件：通过证明RtPQHRtA

41、PN得到APN+HPQ=90，进一步得到APPH，通过证明RtPMHRtPAN和PNBH得到HPA=NPA+HPN=MHP+HPM=90，通过证明RtPNHRtPMA和PNAB，得到HPA=90解答：解：（1）依条件有D（0，4），E（0，1）EAO+OAD=90，ADO+OAD=90，EAO=ADO，又AOE=AOD=90，OEAADO知OA2=OEOD=4A（2，0）由RtADERtABF得DE=AFF（3，0）将A，F的坐标代入抛物线方程，得a=b=抛物线的解析式为y=x2+x4；（2）设QM=m，S四边形AFQM=（m+5）|yQ|，SFQN=（5m）|yQ|（m+5）|yQ|=（5m

42、）|yQ|m=1设Q（a，b），则M（a+1，b），a22a3=0，a=1（舍去a=3），b=4，此时点M坐标为（0，4）与点D重合，QF=AM，AFQM，AFQM，则AFQM为等腰梯形；（3）在射线DB上存在一点P，在射线CB上存在一点H使得APPH，且AP=PH成立，证明如下：当点P如图所示位置时，不妨设PA=PH，过点P作PQBC，PMCD，PNAD，垂足分别为Q、M、N若PA=PH由PM=PN得：AN=PQ，RtPQHRtAPNHPQ=PAN又PAN+APN=90APN+HPQ=90APPH当点P在如图所示位置时，过点P作PMBC，PNAB，垂足分别为M，N同理可证RtPMHRtPAN

43、MHP=NAP又MHP=HPN，HPA=NPA+HPN=MHP+HPM=90，PHPA（1分）当P在如图所示位置时，过点P作PNBH，垂足为N，PMAB延长线，垂足为M同理可证RtPNHRtPMAPHPA注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予（4分）；若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给（2分）；若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的只给（2分）点评：此题是一道综合题，考查了以下内容：（1）知识：用待定系数法求函数解析式、根据二次函数的坐标特点判断四边形的形状、存在性动点问题；（2）技能：对开放型问题进行探索的能力和

44、清晰的逻辑思维能力以及强大的计算能力7、（2009湖州）已知抛物线y=x22x+a（a0）与y轴相交于点A，顶点为M直线y=xa分别与x轴，y轴相交于B，C两点，并且与直线AM相交于点N（1）试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标；（2）如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=x22x+a（a0）上是否存在一点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由考点：二次函数综合题。专题：开放型。分析：（1）已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出M的坐

45、标为（1，a1）由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）根据A，M的坐标，用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=x+a直线AM和y=xa联立方程组即可求出N的坐标为（a，a）（2）根据折叠的性质不难得出N与N正好关于y轴对称，因此N的坐标为（a，a）由于N在抛物线上，因此将N的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值也就能确定N，C的坐标求四边形ADCN的面积，可分成ANC和ADC两部分来求已经求得了A，C，N的坐标，可求出AC的长以及N，D到y轴的距离也就能求出ANC和ADC的面积，进而可求出四边形ADCN的面积（3）本题可分两种情况进行讨论：当P在y轴左侧时，如果使以P，N，A，C为顶点

46、的四边形为平行四边形，那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC，也就是说，如果N点向上平移AC个单位即2a后得到的点就是P点然后将此时P的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点P，如果能求出a的值，那么即可求出此时P的坐标当P在y轴右侧时，P需要满足的条件是PN与AC应互相平分（平行四边形的对角线互相平分），那么NP必过原点，且关于原点对称那么可得出此时P的坐标，然后代入抛物线的解析式中按的方法求解即可解答：解：（1）M（1，a1），N（a，a）；（2）由题意得点N与点N关于y轴对称，N（a，a）将N的坐标代入y=x22x+a得：a=a2+a+a，a1=0（不合题意，舍去），N（3，

47、），点N到y轴的距离为3A（0，），N（3，），直线AN的解析式为，它与x轴的交点为D（）点D到y轴的距离为S四边形ADCN=SACN+SACD=3+=；（3）当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，把N向上平移2a个单位得到P，坐标为（a，a），代入抛物线的解析式，得：a=a2a+a，a1=0（不舍题意，舍去），a2=，P（，）；当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，OA=OC，OP=ONP与N关于原点对称，P（a，a）；将P点坐标代入抛物线解析式得：a=a2+a+a，a1=0（不合题意，舍去），a2=，P（，）存在这样的点P1（，）

48、或P2（，），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形点评：本题着重考查了待定系数法求函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法8、（2009济南）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（3，0），C（0，2）（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得PBC的周长最小请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作DEPC交x轴于点E连接PD、PE设CD的长为m，PDE的面积为S求S与m之

49、间的函数关系式试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）已知抛物线过C（0，2）点，那么c=2；根据对称轴为x=1，因此=1，然后将A点的坐标代入抛物线中，通过联立方程组即可得出抛物线的解析式（2）本题的关键是确定P点的位置，由于A是B点关于抛物线对称轴的对称点，因此连接AC与抛物线对称轴的交点就是P点可根据A，C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据得出的一次函数的解析式求出与抛物线对称轴的交点即可得出P点的坐标（3）PDE的面积=OAC的面积PDC的面积ODE的面积AEP的面积三角形OAC中，已知了A，C的坐标，可求

50、出三角形OAC的面积三角形PDC中，以CD为底边，P的横坐标的绝对值为高，即可表示出三角形PDC的面积三角形ODE中，可先用m表示出OD的长，然后根据三角形ODE与三角形OAC相似，求出OE的长，根据三角形的面积计算公式可用m表示出三角形ODE的面积三角形PEA中，以AE为底边（可用OE的长表示出AE），P点的纵坐标的绝对值为高，可表示出三角形PEA的面积由此可表示出三角形ODE的面积，即可得出关于S，m的函数关系式然后根据函数的性质求出三角形的最大面积以及对应的m的值解答：解：（1）由题意得，解得，此抛物线的解析式为y=x2+x2（2）连接AC、BC因为BC的长度一定，所以PBC周长最小，就

51、是使PC+PB最小B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=1的交点即为所求的点P设直线AC的表达式为y=kx+b，则，解得，此直线的表达式为y=x2，把x=1代入得y=P点的坐标为（1，）（3）S存在最大值，理由：DEPC，即DEACOEDOAC，即，OE=3m，OA=3，AE=m，S=SOACSOEDSAEPSPCD=32（3m）（2m）mm1=m2+m=（m1）2+当m=1时，S最大=点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似等重要知识点；（3）中无法直接求出三角形的面积时，可用其他图形的面积经过“和，差”的关系来求出其面积9、（2009江津区）如图，抛物线y=x2+

52、bx+c与x轴交与A（1，0），B（3，0）两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值；若没有，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题；开放型。分析：（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位

53、置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）存在，设得点P的坐标，将BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标解答：解：（1）将A（1，0），B（3，0）代y=x2+bx+c中得（2分）（3分）抛物线解析式为：y=x22x+3；（4分）（2）存在（5分）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=1对称直线BC与x=1的交点即为Q点，此时AQC周长最小y=x22x+3C的坐标为：（0，3）直线BC解析式为：y=x+3（6分）Q点坐标即为解得Q（1，2）；（7分）（3）存在（8分）理由如下：设P点（x，x22x+3）（3x0）SBPC=S四边形BPCOSBOC=S四边形BPCO若S四边形BPCO有最大值，则SBPC就最大，S四边形BPCO=SBPE+S直角