描述流体运动的数学方法

1、B2.1 B2.1 描述流体运动的数学方法描述流体运动的数学方法 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法当地法当地法B2 B2 流动分析基础流动分析基础描述方法描述方法随体法随体法拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法质点轨迹：质点轨迹：)(a,b,c,tr rr r参数分布：参数分布：B = B（x, y, z, t） 1.1.分类分类2.2.比较比较分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式复杂 表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布不适合描述流体

2、元的运动变形特性不适合描述流体元的运动变形特性 适合描述流体元的运动变形特性适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法 例例B2.1.2B2.1.2 由速度分布求质点轨迹由速度分布求质点轨迹求：求： 在在t = 0t = 0时刻位于点（时刻位于点（a,ba,b）的流体质点的运动轨迹。）的流体质点的运动轨迹。对某时刻对某时刻t t位于坐标点上位于坐标点上(x,y)(x,y)的质点的质点 解：解：求解一阶常微分方程（求解一阶常微分方程（a a）可得）可得已知已知: : 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为已知用欧拉法表示

3、的流场速度分布规律为tyvtxu(a) tytyvtxtxudddd1) 1(d1) 1(d222111tecetcetteceytecetcettecextttttttttt(b) 上式中上式中c c1 1 ，c c2 2 为积分常数，由为积分常数，由t = 0t = 0时刻流体质点位于时刻流体质点位于 , ,可确可确定定 ，代入，代入(b)(b)式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为式，可得参数形式的流体质点轨迹方程为byax1121bcac1) 1(1) 1(tebyteaxtt讨论：讨论：本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即各空间点上速本例说明虽然给出的是速度分布式（欧拉法），即

4、各空间点上速度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点在不度分量随时间的变化规律，仍然可由此求出指定流体质点在不同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。同时刻经历的空间位置，即运动轨迹（拉格朗日法）。B2 B2 流动分析基础流动分析基础B2.2 B2.2 速度场速度场 速度场是最基本的场速度场是最基本的场v = v (x, y, z, t ) 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布二维速度剖面二维速度剖面 u u ( x, y)速度分量：速度分量：),(),(),(tzyxwwtzyxvvtzyxuu),(),(),(tzy

5、xwwtzyxvvtzyxuu三维速度廓线三维速度廓线B2 B2 流动分析基础流动分析基础B2.2.1 流量与平均速度流量与平均速度Q、 指净流出流量指净流出流量 m 封闭曲面时封闭曲面时流量流量体积流量体积流量AnvmAd)(平均速度平均速度体积流量体积流量不可压缩流体质量流量不可压缩流体质量流量质量流量质量流量不可压缩流体不可压缩流体dAnvQA)(QmAQV VAQ VAm 例例B2.2.1B2.2.1直圆管粘性定常流动：流量与平均速度直圆管粘性定常流动：流量与平均速度求：求：两种速度分布的（两种速度分布的（1 1）流量）流量Q Q的表达式；的表达式； （2 2）截面上平均速度）截面上平

6、均速度V V。解：解：（1 1）流量由（）流量由（B2.2.3B2.2.3）式计算，注意到）式计算，注意到dAdA = 2rdr = 2rdr，抛物线分布的，抛物线分布的 流量为流量为已知已知: :粘性流体在半径为粘性流体在半径为R R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴 的平面截面）上有两种速度分布（参见图的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1B2.2.1），一种是抛物线分），一种是抛物线分 布布, ,另一种是另一种是1/71/7指数分布：指数分布：2m111Rruu7/12m21Rruu上式中，上式中，u um1m1、u um

7、2m2分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 AQ(1RRrRrrurrRru02301m221md2d21 vn )dA =21m02421m5 . 0422RuRrruR1 / 71 / 7指数分布的流量为指数分布的流量为AQ(2RrrRru07/12md2)1 ( vn )dA RRrRrRu07/87/1522m7/8)/1 (7/15/1222m22m2m28167. 012098815772RuRuuR（2 2）平均速度由（）平均速度由（B2.2.4B2.2.4）式计算，抛物线分布和）式计算，抛物线分布和1 / 71 / 7指数分布的平指数分布

8、的平 均速度分别为均速度分别为1m21115 . 0 uRQV2m22228167. 0uRQV讨论：讨论： 由上可见，速度为抛物线分布的截面上的平均速度为最大速度的一由上可见，速度为抛物线分布的截面上的平均速度为最大速度的一半，而半，而1/71/7指数分布的截面上的平均速度为最大速度的指数分布的截面上的平均速度为最大速度的0.81670.8167倍，倍，这是由于后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。这是由于后者的速度廓线中部更平坦，速度分布更均匀的缘故。B2.2.2 一维，二维与三维流动一维，二维与三维流动B2 B2 流动分析基础流动分析基础1. 1. 流动维数的确定：流动维数的确

9、定：三维流动三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数速度场必须表示为三个方向坐标的函数 v=v ( x, y, z, t) 二维流动二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数速度场简化为二个空间坐标的函数 v=v ( x, y, t) 或或 v=v ( r, z, t) 一维流动一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数速度场可表示为一个方向坐标的函数 v=v( x ) 或或 v=v ( s )2. 2. 常用的流动简化形式：常用的流动简化形式：(1) (1) 二维流动：平面流动二维流动：平面流动轴对称流动轴对称流动(2) (2) 一维流动：一维流动： 质点沿曲线的流动质点沿曲线的流动

10、 v=v ( s )流体沿管道的平均速度流体沿管道的平均速度 v=v ( s )B2 B2 流动分析基础流动分析基础用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上用平均速度描述圆管一维流动简化了流量和压强计算。但对截面上动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子。动能和动量计算造成偏差，引入动能修正因子和动量修正因子。mVmuA)21(d)21(22AmVmud 表表B2.2.1 B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正因子圆管粘性一维定常流动修正因子3. 直圆管一维流动修正因子直圆管一维流动修正因子m/ uV速度分布类型速度分布类型平均速度平均速度/ /中心速度中心速度

11、动能修正因子动能修正因子动量修正因子动量修正因子抛物线分布抛物线分布0.50.52.02.01.3331.3331/71/7指数分布指数分布0.81670.81671.0581.0581.0201.020 例例B2.2.2B2.2.2直圆管粘性定常流动：动能修正系数与动量修正系数直圆管粘性定常流动：动能修正系数与动量修正系数(1) (1) 按单位质量流体的动能计算，动能修正系数定义为按单位质量流体的动能计算，动能修正系数定义为解：解：已知已知: :粘性流体在半径为粘性流体在半径为R R的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴的直圆管内作定常流动。设圆管截面（指垂直管轴 的平面截面）上有两种

12、速度分布（参见图的平面截面）上有两种速度分布（参见图 B2.2.1B2.2.1），一种是抛物线分），一种是抛物线分 布布, ,另一种是另一种是1/71/7指数分布：指数分布：2m111Rruu上式中，分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。上式中，分别为两种速度分布在管轴上的最大速度。 7/12m21Rruu求：求：两种速度分布的（两种速度分布的（1 1）关于平均速度的动能修正系数）关于平均速度的动能修正系数 （2 2）关于平均速度的动量修正系数）关于平均速度的动量修正系数。mVmuA)21(d)21(22，rruAurQrmd2d)(d)(drrAd2dVAQm上式中上式中V V为平均速度，设

13、为平均速度，设= =常数常数, ,截面积截面积 A A= =R R2 2，微元圆环面积，微元圆环面积 。由（。由（B2.2.7)B2.2.7)式，式， 。rrVuRAVuAARd)(2d)(10323对抛物线分布，由（对抛物线分布，由（B2.2.8aB2.2.8a）和（）和（B2.2.9aB2.2.9a）式可得）式可得RRRRrrrRrRrrVuR0004232231121212d116d2对对1/71/7指数分布，由（指数分布，由（B2.2.8bB2.2.8b）和）和(B2.2.9b)(B2.2.9b)式可得式可得05838. 1d1981202d207/332032222rrRrRrrVu

14、RRR（2 2）按单位质量流体的动量计算，动量修正系数）按单位质量流体的动量计算，动量修正系数定义为定义为mVmuAd可得可得RArrVuRAVuA0222d2d1对抛物线分布对抛物线分布333. 134d18d20222021121RRrrRrRrrVuR对对1/71/7指数分布指数分布020. 14950d1)98120(2d207/222022222RRrrRrRrrVuR讨论：将例讨论：将例B2.2.1B2.2.1和本例的结果合在一起列表如下：和本例的结果合在一起列表如下：由上可见，在直圆管粘性定常流动中，与抛物线分布相比，由上可见，在直圆管粘性定常流动中，与抛物线分布相比，1/71/

15、7指数分布指数分布比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取比较接近平均速度廓线，用一维流动近似计算动能和动量时，可取=1=1，即不必修正。，即不必修正。表表B2.2.1B2.2.1 圆管粘性一维定常流动修正系数m/ uV动能修正系数1.0201.0580.81671/7指数分布1.3332.00.5抛物线分布动量修正系数速度分布类型平均速度/中心速度B2 B2 流动分析基础流动分析基础B2.2.3 定常与不定常流动定常与不定常流动a. a. 定常流动定常流动b. b. 准定常流动准定常流动c.c.周期性谐波脉动流周期性谐波脉动流d.d. 周期性非谐波脉动流（生理波）周期性非谐

16、波脉动流（生理波） e.e.非周期性脉动流非周期性脉动流( (衰减波）衰减波）f.f.随机流动（湍流）随机流动（湍流） 不定常流与定常流的转换不定常流与定常流的转换B2 B2 流动分析基础流动分析基础B2.3 B2.3 流体运动的几何描述流体运动的几何描述 迹线迹线 流线流线定义定义拉格朗日法拉格朗日法)(a,b,c,tr rr r欧拉法欧拉法tzwtyvtxudddddd（t为自变量，为自变量， x, y, z 为为t 的函数的函数 ）) ,(d) ,(d) ,(dt zyxwzt zyxvyt zyxux(x,y,z(x,y,z为为t t的函数，的函数，t t为参数）为参数）质点的运动轨迹

17、质点的运动轨迹切线与速度方向一致的假想曲线切线与速度方向一致的假想曲线 例例B2.3.2AB2.3.2A不定常流场的迹线不定常流场的迹线与与流线流线 求：求： （1 1）质点）质点A A的迹线方程；的迹线方程；解：解：此流场属无周期性的不定常流场。此流场属无周期性的不定常流场。1dd1ddtyttx由上两式分别积分可得由上两式分别积分可得21221ctycttx已知：已知：设速度场为设速度场为 u u = = t t+1 ,+1 ,v v = 1 = 1，t t = 0 = 0时刻流体质点时刻流体质点A A位于原点。位于原点。(1)(1)由由(B2.3.3a)(B2.3.3a)式，迹线方程组为

18、式，迹线方程组为（2 2）t t = 0 = 0时刻过原点的流线方程；时刻过原点的流线方程；（3 3）t t = 1 = 1时刻质点时刻质点A A的运动方向。的运动方向。t=0t=0时质点时质点A A位于位于x=y=0 x=y=0，得，得c c1 1=c=c2 2=0=0。质点。质点A A迹线方程为迹线方程为消去参数消去参数t t 可得可得21) 1(212122yyyx上式表明质点上式表明质点A A的迹线是一条以（的迹线是一条以（-1/2-1/2，-1-1）为顶点，且通过原点的抛）为顶点，且通过原点的抛物线（图物线（图BE2.3.2ABE2.3.2A）。）。（2 2）由）由(B2.3.5b)

19、(B2.3.5b)式，流线方程为式，流线方程为1d1dytx积分可得积分可得tyttx221(a)cytx1(b)在在t = 0t = 0时刻，流线通过原点时刻，流线通过原点x = y = 0 x = y = 0，可得，可得c = 0c = 0，相应的流线方程为，相应的流线方程为c1112/3可得可得c = -1/4 c = -1/4 。（c）x = yx = y这是过原点的，一三象限角平分线，与质点这是过原点的，一三象限角平分线，与质点A A的迹线在原点相切（见图）。的迹线在原点相切（见图）。(3)(3)为确定为确定t = 1t = 1时刻质点时刻质点A A的运动方向，需求此时刻过质点的运动

20、方向，需求此时刻过质点A A所在位置的所在位置的流线方程。由迹线的参数式方程流线方程。由迹线的参数式方程(a)(a)可确定，可确定，t=1t=1时刻质点时刻质点A A位于位于x=3/2x=3/2，y=1y=1位置，代入流线方程位置，代入流线方程( (b)b)讨论：讨论：以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固以上可见，不定常流动中迹线与流线不重合；不同时刻通过某固定点的流线可以不同（见定点的流线可以不同（见b b式），通过某流体质点所在位置的流线式），通过某流体质点所在位置的流线也可以不同（见也可以不同（见c c和和d d式）。式）。t = 1t = 1时刻过流体质点时刻过流体

21、质点A A所在位置的流线所在位置的流线方程为方程为x = 2 y1/2 (d)上式是一条与流体质点上式是一条与流体质点A A的迹线相切于的迹线相切于（3/23/2，1 1）点的斜直线，运动方向为）点的斜直线，运动方向为沿该直线朝沿该直线朝x, yx, y值增大方向。值增大方向。B2 B2 流动分析基础流动分析基础B2.2.3B2.2.34 4 脉线与流体线脉线与流体线 流体线流体线又称又称 染色线、烟线或条纹线染色线、烟线或条纹线脉线脉线定义定义 相继通过某空间点的相继通过某空间点的质点连线质点连线 时间线时间线某时刻标记的一串相连的某时刻标记的一串相连的质点连线质点连线B2 B2 流动分析基

22、础流动分析基础B2.3.5 B2.3.5 流管，流束与总流流管，流束与总流流管：流管： 流线围成的管子流线围成的管子流束：流束： 流管内的流体流管内的流体缓变流流束：流线平行或接近平行缓变流流束：流线平行或接近平行微元流束：有限截面无限小的流束微元流束：有限截面无限小的流束总流：总流：微元流束的总和微元流束的总和在有效截面上取平均值，按一维流动处理在有效截面上取平均值，按一维流动处理B2 B2 流动分析基础流动分析基础B2.4 B2.4 流体质点的随体导数流体质点的随体导数 流体质点（随体）导数是质点物理量在运动中随时间的变化率。流体质点（随体）导数是质点物理量在运动中随时间的变化率。右图中质

23、点右图中质点p p的位置不进行变化，位置的位置不进行变化，位置也是也是t t的函数，物理量的函数，物理量B(t) B(t) 可表示为可表示为Bp = Bp xp ( t ), yp ( t ), zp ( t ), t (1) (1) 用求全导数方法得质点导数欧拉表达式用求全导数方法得质点导数欧拉表达式zBwyBvxButBtBDD(2)(2)从物理上解释质点导数：从物理上解释质点导数：tB 为当地（固定点）物理量为当地（固定点）物理量B B随时间变化率，称为当地变随时间变化率，称为当地变 化率，反映流场的不定常性。化率，反映流场的不定常性。xBu 为不同位置（迁移）上物理量的差异引起的变化率

24、，称为为不同位置（迁移）上物理量的差异引起的变化率，称为 迁移变化率，反映流场的不均匀性。迁移变化率，反映流场的不均匀性。B2 B2 流动分析基础流动分析基础B2.4.2 B2.4.2 加速度场加速度场svvtvas1. 三维流动三维流动取取 ，速度的质点导数为加速度，速度的质点导数为加速度()B vx,y,z, tvvvvvvva)(tzwyvxutDtD2. 一维流动一维流动(1)(1)沿流线沿流线s s，v v= =v v( (s s, ,t t) )(2)(2)沿总流沿总流s s，v v= =v v( (s s, ,t t) )svvtvas 例例B2.4.2B2.4.2收缩喷管流动：

25、迁移加速度收缩喷管流动：迁移加速度 已知：已知：图图BE2.4.2BE2.4.2示一圆锥形收缩喷管。长为示一圆锥形收缩喷管。长为36 cm36 cm，底部与顶部直径分，底部与顶部直径分 别为别为d d0 0= 9 cm= 9 cm，d d3 3 = 3 cm = 3 cm，恒定流量，恒定流量Q = 0.02 m 3 / sQ = 0.02 m 3 / s。 按一维流动处理按一维流动处理 解：解：取轴向流动方向为取轴向流动方向为x x轴，原点在圆锥底部。轴，原点在圆锥底部。喷管内为定常流动，当地加速度为零，只有迁移喷管内为定常流动，当地加速度为零，只有迁移加速度。按一维流动加速度。按一维流动(B

26、2.4.6)(B2.4.6)式计算式计算xVVa220218. 00235. 000636. 012045. 0 xxxA求：求： 图示四个截面图示四个截面A A0 0 ，A A1 1 ，A A2 2，A A3 3上的加速度。上的加速度。V V为管截面上的平均速度。设任意管截面与底部为管截面上的平均速度。设任意管截面与底部的距离为的距离为x x，面积，面积A A与与x x的关系为的关系为任一截面上的平均速度和加速度为任一截面上的平均速度和加速度为230436. 00235. 0QAxxVVAQV计算结果如下表计算结果如下表1 -s/xV8834.00 312.25 28.290.000710.

27、36A 3682.0067.18 10.150.001970.24A 2128.0024.655.1900.003850.12A 136.5011.603.1440.006360.00A 0a/ms-2V /ms-1A /m2x /m截面讨论：讨论：计算结果表明喷管进出口的直径比为计算结果表明喷管进出口的直径比为1:31:3，速度比为，速度比为1:91:9，加速度，加速度比为比为1:2421:242。按牛顿第二定律流体有加速度必产生对喷管的冲击力，。按牛顿第二定律流体有加速度必产生对喷管的冲击力，而且该冲击力在不同截面上数值不同。例而且该冲击力在不同截面上数值不同。例B4.4.2B4.4.2将

28、计算流体对喷将计算流体对喷管的冲击力合力。管的冲击力合力。速度与加速度的变化曲线如图所示速度与加速度的变化曲线如图所示B2 B2 流动分析基础流动分析基础B2.5 B2.5 一点邻域内相对运动分析一点邻域内相对运动分析B2.5.1B2.5.1亥姆霍兹速度分解定理亥姆霍兹速度分解定理在在xy平面流场中，平面流场中，M0点邻近点邻近M点的点的速度在速度在x方向的分量可分解为方向的分量可分解为yxvyuxxuyxvyuMuMud )(21dd )(21)()(0旋转速率旋转速率线变形速率线变形速率角变形速率角变形速率 M M0 0 平移速度平移速度M M 相对相对M M0 0的速度的速度B2 B2

29、流动分析基础流动分析基础B2.5.2 B2.5.2 流体的变形流体的变形1.1.线变形（以平面流动为例）线变形（以平面流动为例） (1)(1)线应变率线应变率 流体面元的线尺度在流体面元的线尺度在x x方向的局部瞬时相对伸长速率方向的局部瞬时相对伸长速率xutxtxxuxx)(2)(2)面积扩张率面积扩张率 流体面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率流体面元的面积在平面内的局部瞬时相对扩张速率yvxuv(3)(3)体积膨胀率体积膨胀率 流体体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率流体体元的体积在空间的局部瞬时相对膨胀速率zwyvxuvyvyy同理同理 例例B2.5.2B2.5.2膨胀流动：线应

30、变率与面积扩张率膨胀流动：线应变率与面积扩张率 解：解：(1)(1)按（按（B2.3.5aB2.3.5a）式，因）式，因v=0, v=0, 流线微分流线微分 方程为方程为dydy = 0 = 0，积分可得流线方程为，积分可得流线方程为 已知：已知：设平面流场为设平面流场为 （k 0k 0，为常数），为常数）0vkxu说明流线是平行于说明流线是平行于x x轴的直线族。线应变率为轴的直线族。线应变率为kxuxx0yvyy 求：求： （1 1）流线、线应变率和面积扩张率表达式；）流线、线应变率和面积扩张率表达式；y = cy = c ( c ( c为常数为常数 ) ) （2 2） 设设k=1,t=0

31、k=1,t=0时刻边长为时刻边长为1 1的正方形流体面的正方形流体面abcdabcd位于图位于图BE2.5.2BE2.5.2所示位置所示位置, ,求求t=tt=t时刻点时刻点a(1,3)a(1,3)到达点到达点a(3,3)a(3,3)时流体面时流体面abcdabcd的的位置和形状。位置和形状。说明说明x x方向的线元以恒速率方向的线元以恒速率k k伸长，伸长，y y方向的线元长度保持不变。方向的线元长度保持不变。面积扩张率为面积扩张率为kyvxuv 说明流场中每一点的瞬时面积相对扩张率为常数，任何单位面积的流说明流场中每一点的瞬时面积相对扩张率为常数，任何单位面积的流体面均以恒速率体面均以恒速

32、率k k扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当扩张，通常将这种流动称为膨胀流（当k 0k 0时为收时为收缩流）。缩流）。（2 2）设）设t = 0t = 0时，质点位于时，质点位于M M（x, yx, y），），t = t t = t 时位于时位于M M (x y )(x y )。 按（按（B2.3.3aB2.3.3a）式求质点轨迹方程）式求质点轨迹方程0ddddtykxtxcytkxxtxx0ddlnyyktxx(a) (b) 对流体面对流体面abcdabcd和和abcd abcd 内所有质点均满足内所有质点均满足(a)(a)，(b)(b)式。现式。现tt相同，相同，x/xx/x也相同。设也相同。设k =1k =1，由点，由点a a和和aa，x/x = 3x/x = 3，即，即x=3xx=3x，y=yy=y，因此，因此M (x,y) = M (3x,y)M (x,y) = M (3x,y)。 abcdabcd和和abcdabcd四角点的坐