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1、2.5 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布随机变量的函数随机变量的函数也是一个随机变量 xgyYxX取值时，取值当本节的任务就是： 的分布要求随机变量，的分布，并且已知已知随机变量YXgYX的函数，是是一随机变量，设XYX XgYY则,设设X为离散型为离散型 RV, 其分布律为其分布律为X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn随机变量随机变量X的函数的函数 Y= g (X) 的分布律为的分布律为Y g( x1) g( x2) g( x3) g (xn) pk p1 p2 p3 pn有可能有可能g( x i )与与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加相同，

2、此时将两项合并，对应概率相加2.5.1 2.5.1 离散随机变量函数的分布离散随机变量函数的分布设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为X1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1求求Y=2X2 +1的分布律的分布律解解Y可能的取值为可能的取值为 1, 3, 9.2(1)(21 1)(0)0.3P YPXP X 22(3)(213)(1)(1)(1)0.20.40.6P YPXP XP XP X 2(9)(21 9)(2)0.1P YPXP X Y1 3 9pk0.3 0.6 0.1例例1 12.5.2 2.5.2 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 ，其密度函数为是一

3、连续型随机变量，设xfXX 随机变量也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY 的密度函数我们要求的是yfXgYY解解 题题 思思 路路 yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函数先求 yFyfXgYXgYYY的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数利用设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度 ,fxx ，求求2XY 的概率密度的概率密度。解解先求分布函数先求分布函数 FY (y)。02 XY由于0y 当时 ( ) ()0YFyP Yy 2()()()YFyP YyP XyPyXy .yyfx dx0y 当时解不等式转化解不等式转化为求关于为求关于X X的概率的概率1

4、,0,20,0.fyfyyyy00( )d( )d 00,0yyf xxf xxyy，于是得于是得Y Y的概率密度为：的概率密度为：( )( )YYfyFy 定理定理2.5.12.5.1 设随机变量 X 具有概率密度, )(xxfX).0)(0)()(xgxgxg或恒有处处可导，且有又设函数则 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为., 0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY).(),(max),(),(mingggg其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即 )()(1yhygx此时仍有：或恒有上恒有在设以外等于零，则只须假在有限区间若),0)(0)(,)(xgxgbabaxf).(),(max),(),(minbgagbgag这里., 0,|,)(|)()(其它y

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