圆中常见地辅助线

1、圆中常见辅助线的做法一.遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：利用垂径定理； 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。例:如图，在以0为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D二点求证：AC = BD证明：过0作0E丄AB于E9为圆心，0E丄AB AE = BE CE = DE AC = BD练习：如图，AB为O O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求O O的半径2. 有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的

2、圆心角例：如图，已知AB是OO的直径，MN分别是 AOBO的中点，CM丄AB,DN丄AB,求证： Ac Bd证明：（一）连结OC OD/ M N分别是AO BO的中点11- OM = AO、ON = BO22/ OA = OB OM = ON/ CML OA DNL OB OC = OD Rt COIW Rt DON/ COA = / DOB Ac BdCB（二）连结 AC OC OD BD/ M N分别是AO BO的中点 AC = OC BD = OD/ OC = OD AC = BD Ac bd3. 有弦中点时常连弦心距例：如图，已知 M N分别是O O的弦AB CD的中点,AB = CD

3、，求证：/ AMN = / CNM 证明：连结OM ON/ O为圆心，M N分别是弦AB CD的中点 OML AB ON 丄 CD/ AB = CD OM = ON/ OMN = / ONM/ AMN = 90°/ OMN / CNM = 90°/ ONM/ AMN =/ CNM4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距例：如图，已知O O与O Q为等圆，P为0、O的中点，过P的直线分别交O O、O Q于A、C D B.求证：AC = BD证明：过 O作OM± AB于M,过Q作QN丄AB于N,贝U OM/ O2NOMOfO2NOZp/ OP = O2P OM = O

4、2N AC = BD二.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅 助线的方法：连结过弧中点的半径连结等弧所对的弦 连结等弧所对的圆心角例：如图，已知 D E分别为半径 OA OB的中点，C为弧AB的中点，求证：CD = CE c为弧ab的中点 Ab ?C证明：连结OC / AOC =/ BOC/ D E分别为OA OB的中点，且AO = BO11 OD = OE = AO = BO22又 OC = OC CD = CE三.有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题 例：如图，AB为O O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且 AC= PC,PB的延长线交OO于 D

5、,求证：AC = DC证明：连结ADp/ AB为O O的直径 / ADP = 90° / AC = PC1-AC = CD = AP2例（2005年市）如图2 ,P是O O的弦CB延长线上一点，点A在O O上，且 BAP C。 求证：PA是O O的切线。 PA为O O的切线。n证明：作O O的直径AD，连BD，贝yCD, ABD90即DBAD 90CBAD I90/ CPAB BADPAB90即 AP ADAP四.遇到90度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径练习：如图，在 Rt ABC中，/ BCA= 90o ,以BC为直径的O O交AB

6、于E, D为AC中点，连结BD交O O于F.求证：BC CFBE EF五.有等弧时常作辅助线有以下几种:作等弧所对的弦作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆周角练习：1.如图，O O的直径AB垂直于弦CD,交点为E, F为DC延长线上一点，连结 AF交O0于M.求证：z/ AMD =Z FMC提示：连结 BM)2.如图， ABC接于O O, D E在 BC边上，且 BD = CE，Z 1 = / 2，求证：AB = AC（提示如图）BC例：已知，如图，在O O中，AB丄CD OEL BC于E,求证:六.有弦中点时，常构造三角形中位线证明：作直径CF,连结DF BF/ CF为O 0的直径 CDL FD

7、又 CDL AB AB/ DF Ad Bf AD = BF OEL BC O 为圆心 CO = FO1 CE = BE OE = BF21-OE = AD2七圆上有四点时，常构造圆接四边形例：如图， ABC接于O O,直线AD平分/ FAC交O O于 E,交BC的延长线于 D,求证：AB-AC=AD AED证明：连结BE/ 1 = / 3/ 2 = / 1 / 3 = /2四边形ACBE为圆接四边形 / ACD =/ E AB0A ADC AE ABAC AD AB- AC = AD AE八.两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图，O O与O O2相交于A、B,过A的直线分别交O O、O Q于

8、C、D,过B的直线分别交O O、O O2于 E、F.求证：CE/ DF证明：连结AB四边形为圆接四边形 / ABF =/C同理可证：/ ABE =Z D/ ABF +Z ABE =o / C+Z D =o CE/ DF九在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所 作半径与这条直线垂直即可 如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段 的长度等于半径的长即可例1如图，P为O O外一点，以0P为直径作圆交O O于A B两点，连结PA PB.求证：PA PB为O 0的切线证明：连结0A/ P0为直径/

9、PAO = 90° OAL PAOA为O O的半径 PA为O O的切线同理：PB也为O O的切线CD是小例2:如图，同心圆 O,大圆的弦 AB = CD,且AB是小圆的切线，切点为 E,求证:圆的切线证明：连结OE过O作OFL CD于 FFOAEB/ OE为半径，AB为小圆的切线 OEL AB OF 丄 CD, AB = CD OF = OE CD为小圆的切线练习：如图，等腰 ABC以腰AB为直径作O O交底边BC于 P, PEL AC于E, 求证：PE是O O的切线BD为直 1229215OE AB OB9 AB15 OE15 OE = OB =45 BD = 2 OB=454 A

10、D = AB DB = 15 45154答:15AD的长为L.十.当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，禾U用切线的性质定理证题.例：如图，在 Rt ABC中，/ C = 90 °, AC = 12 , BC = 9 , D是 AB上一点，以 径的O O切AC于E,求AD长.解：连结OE贝U OEL AC/ BCL AC OE/ BC OE AO"BC AB在 Rt ABC中，AB = . AC 2 BC2 练习：如图，O O的半径 OMOB点P在0B的延长线上，连结 AP交O O于D,过D作O O的切线 CE交0P于C,求证：PC = CD卜一 遇到两相交切线时（切线长

11、） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点作用：据切线长及其它性质，可得到： 角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形 十二遇到三角形的切圆时连结心到各三角形顶点，或过心作三角形各边的垂线段。作用：利用心的性质，可得： 心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线； 心到三角形三条边的距离相等。在处理心的问题时，常需连结顶点与心，以便利用切圆的圆心是三角形角平 分线交点这一性质。十三遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。十四遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：利用切线

12、的性质； 利用解直角三角形的有关知识。 十五.遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：利用连心线的性质、解直角三角形有关知识; 利用圆接四边形的性质； 利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理1作相交两圆的公共弦A、B两点，过 A、B分别作直线 CD、EF,且CD/EF ,利用圆接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。 例1.如图1,0 0i和O 02相交于 与两圆相交于C、D、E、F。分析：CE和DF分别是O 0i和O 02的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结 AB，则可得圆接四边形 ABEC和ABFD，利用圆接四边形的性质，则易证明。证明

13、：连结AB因为 DAB E, CAB F又 DAB CAB 180所以 E F 180 即 CE/DF又 CD/EF所以四边形CEFD为平行四边形即CE= DF2.作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。6- 2和4. 3，公共弦长为12。例2. O01和O 02相交于A、B两点，两圆的半径分别为求 0小02的度数。分析：公共弦01A02的度数，可利用角的和或差来求解。解：当AB位于01、02异侧时，如图 2。连结01、02,交AB于C,则0102 AB。分别在Rt A01C和Rt A02C中，利用锐角三角函数可求得O1 AC 45 , O2 AC

14、 30故0小0201 AC02 AC 75当AB位于Oi、02同侧时，如图则 0i AO20i ACO2 AC15综上可知 0i A0275或15例2 :已知，O 0i与O 02交于A、B ,O 0i的弦AC切O O2于A，过B作直线交两圆 于D、E。求证：DC/ A吕分析：由口诀“两个相交圆不离公共弦”，连结AB,可得/ D=Z CAB,由切线知/ CABM E, 即/ D=ZE即得证。练习：如图O 0i和O 02都经过A、B两点。经过点 A的直线CD与O 0i交于点C,与 E,与O 02交于点F。求证：CE / DF.例、如图8,在梯形ABC中，以两腰 AD BC分别为直径的两个圆相交于

15、M N两点, 过M N的直线与梯形上、下底交于E、F。求证：MN! AB分析：因为MN是公共弦，若作辅助线 OQ,必有 MNLOQ，再由0Q是梯形的中位线，得 OQ/AB，从而易证MNL AB证明 连结QQ交EF于G => MNLQQ。DQ i=QA,CQ=QB => QQ是梯形 ABC啲中位线=> QQ/AB =>/ EFA玄 EGORt/ => MNLAB说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。十六.遇到两圆相切时两个相切圆不离公切线常常作连心线、公切线。作用：利用连心线性质； 弦切角性质； 切线性质等。例3.如图4,0 Qi和O 02外切于点P, A

16、是O Qi上的一点，直线 AC切O 02于C,交O Qi 于B，直线AP交O 02于D。求证PC平分 BPD。图4分析：要证PC平分 BPD，即证 BPC DPC而 BPC的边分布在两个圆中，难以直接证明。若过P作两圆的公切线 PT ,与AC交于T易知 BPC TPB TPC由弦切角定理，得TPB A又 DPC是 APC的一个外角所以 DPC A ACP又 TPC ACP从而有 BPC DPC即PC平分 BPD例3:已知，O Qi和O Q2外切于A,直线BC切O Qi于B,切O 02于C。 求证：AB丄Aq人教版课本P87例4)分析1 口诀“两个相切圆不离公切线”，过A作两圆的公切线，则/仁/

17、2, / 3= /4,又/ 1+ / 2+ / 3+ / 4=180,则/ 2+Z 3=90 即 AB 丄 AC分析2: 口诀“两圆三圆连心线”，连结OiO2、OiB、O2C,则点A在O1O2上易知OiB / O2C 显然/ 1 + / 2=90,故 AB 丄 AC1.相切两圆常添公切线作辅助线.例2 如图2,已知OO、O Q外切于点P, A是OO上一点，直线 AC切O Cb于点C,交 OQ点B,直线AP交O Cb于点D .(1)求证:PC平分/ BPD;(2)将“O Q与O Q外切于点P” 改为“O O、OQ切于点P”，其它条件不变，中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你 的结论(市中考题)

18、.A图3 PC平分Z BPD.证明：(1)过P点作两圆公切线 PQ / QPC2 PCQ,/ QPB=/ A,/ CPD=/ A+Z QCP/ CPDZ CPB,即 PC平分Z BPD(2)上述结论仍然成立.如图3,过点P作两圆公切线 PM则Z MPBZ A. Z BPC玄 MPC-Z MPBZ BCP-Z A=Z CPA,说明：作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角2、遇到三个圆两两外切时两圆三圆连心线常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线例3如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管，两两外切堆放在一起则最高点到地面距离是 （省

19、中考题）.解：连OQ、QQ、QO,过O作A0丄QQ交O O于A,交 QQ于B芒三马,从而丄点距地面（専+1）米TO O、O Q、O Q是等圆, OQQ是等边三角形.说明：三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题十七遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角” 时常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。过小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。例5.如图6,0 Oi与O O2外切于点 0,两外公切线 PCD和PBA切O Oi、O O2于点C、D、B、A，且其夹角为60 , AB 2、一 3，求两圆的半径。图6分析：如图6,连结O1O2、OiA、O2B，过点02作。2 E Oi A，构造Rt O1O2E，下面很容易求出结果。十八.相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心，遇到这类问题，