2017中考数学专题复习《一元一次方程》考点专题讲解

1、一元一次方程【培优图解】【技法透析】1. 一元一次方程的有关概念(1) 方程：含有未知数的等式叫方程：由方程的定义可知：判断一个数学式子是否为 方程，只需要看它是否具备以下两个条件：这个式子必须是等式，这个等式中必须含 有未知数，这两个条件缺一不可，否则就不是方程.方程必是等式，但等式不一定是方程.(2) 方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫方程的解.(3)解方程：求方程解的过程叫做解方程.“解方程”是指确定方程的解的过程，也就是把方程进行变形的过程，因此，“解方程”与“方程的解”是两个完全不同的概念.(4) 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数为1,这样的方程叫一元一次方 程

2、，判断一个方程是不是一元一次方程，必须具备以下三个条件：必须是整式方程；2只含有一个未知数；未知数的次数为1,且系数不为0.如万程x =3是分式方程而x不是整式方程，方程3x-2y = 1中含有两个未知数， 方程2x-5=x2+1中未知数的最高次 数为2 (次)，因此，这三个方程都不是一元一次方程.像方程5x3=5 (x1),从表面上看，好像是一元一次方程，其实经过化简后这个方程变为3=-5,就不是一元一次方程；而像方程x2-2x-3 = x2+5,表面上看它是一元二次方程，其实经过化简后，这个方 程变为2x=8,所以实际上它是一元一次方程.2 .等式的性质(1) 等式的性质1:等式的两边都加

3、上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果 仍是等式，即：如果 a=b,则ac=bc.(2)等式的性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个不为0的数所得的结果仍是等式.即：如果 a= b,则 ac=bc, =b . (c 0) c c3 .解一元一次方程的一般步骤(1) 去分母：即在方程的左、右两边都乘以各分母的最小公倍数，去公母的依据是等 式的性质2.去分母时要防止漏乘不含分母的项，同时要把分子(如果含几项)作为一个 整体用括号括起来，以及分母约分后“1”省略不写.(2) 去括号：去括号的依据是去括号法则及乘法分配律.去括号时先要分清括号前是“ 十 ”还是“”号，不要弄错符号，还要防止漏乘

4、括号里后面的项.(3) 移项：移项是解方程常用的一种变形.移项的依据是等式的性质.一般是把含有未知数的项移到方程的左边，把不含未知数的项都移到方程的右边.注意移项一定要变号.(4) 合并同类项：运用合并同类项法则，将方程化为ax=b(a W0)的形式.合并同类项的依据是乘法分配律.(5) 系数化为1:即在方程左、右两边都除以未知数的系数a,得到方程的解为x=b.系a数化为1的依据是等式的性质 2,它是解一元一次方程的最后 _步变形，经过系数化为1的 变形就可以求出未知数的值，从而得到一元一次方程的解.在系数化为1时，两数相除不要写反了，要明确哪个是被除数，哪个是除数，不要颠倒了.在解方程时，需

5、要我们既要学会按部就班(严格按步骤)，又要能随机应变(可根据方程的结构特征灵活打乱步骤).4 .含字母系数的一元一次方程含字母系数的一元一次方程总可以化为：ax = b的形式.当字母a、b的取值范围未给出时，则要讨论解的情况，其方法是：(1) 当aw0时，方程有唯一解，即 x= b a(2) 当a=0, b= 0时，方程有无数个解；(3)当a=0, bw0时，方程无解.5.解一元一次方程的常用技巧(1) 有多重括号时，去括号与合并同类项可交替进行：(2) 当括号内含有分数时，常由外向内去括号再去分母；(3) 当分母中含有小数时，先用分数的基本性质化为整数；(4)运用整体思想，即把含有未知数的代

6、数式看作是一个整体进行变形.6.列方程解应用题的一般步骤(1) 审清题意，即弄清题目中已知什么，要求什么，明确各个数量之间是什么关系.(2) 找相等关系，要善于从应用题中发现直接的或隐含的表示已知数和未知数全部含 义的相等关系.(3) 设未知数，并列出相应的数量关系的表达式，设未知数有直接设法与间接设法.(4) 列方程，将相等关系转化为方程.(5) 解方程，求出所列方程的解，求解的过程可以简化.(6)检验并作答，检验所解得的方程的解是否符合题意或实际问题，最后再作答.“设”与“答”要带单位，且单位要统一.【名题精讲】考点1利用一元一次方程的定义解题例1 已知方程(nn- 2) Xm,+16=0

7、是关于x的一元一次方程.求 m的值和方程的解.【切题技巧】由一元一次方程的定义可知：关于 x的一元一次方程的条件是只含有一个未知数，未知数的次数为1且其系数不为0,于是应有：m 2w0, m -1 =1.从而可求得 m的值及相应的方程的解.【规范解答】依题意有J工附=2,m - 2#0工当E- 2时，原方.程为:一4工十】6 = 0足一元一次方程，此时方程的解为工=4答;m ; &方程的髀为 W=4.【借题发挥】一元一次方程必须同时满足以下三个条件：必须是整式方程，只含有一个未知数，未知数的次数为1且系数不为0,利用定义法解题是数学解题的一种方法，从本质上说，数学中的定理、公式、法则和性质等，

8、都是由定义和公理推演出来的.巧用定义法解题必须对定义有透彻的理解.【同类拓展】1.已知(m21)x2(m+ 1)x+8= 0是关于x的一元一次方程.(1) 求代数式 200(m+ x) (x2m)+ 10m的值.(2) 求关于y的方程my -1 = x的解.考点2 一元一次方程的解法例 2 解方程 3 I- 口x +1 1+2121 =1x .2 g 42 23,23观察方程结构特征：3与2互为倒数，3X2是整数，故解此方程时先不急于去分母，2 32而应先去中括号，再去小括号计算较简便.【规范解答】去中括号得：-x+1 K3-2- =-x42 2, ,113 1去小括号整理得：1x - =-x

9、42 2移项合并得：-1x = -942系数化为1得：x=6【借题发挥】灵活解一元一次方程时常用到的方法技巧有：若有多重括号，应根据方程中数据特征，灵活运用去括号法则与合并同类项法则，交替进行；若括号内含分 数时，则由外向内先去括号、再去分母；恰当运用整体思想，因此在解方程时，既要学 会严格按步骤进行，又要依据方程结构特征灵活变通步骤.【同类拓展】 2.如果x = 2是1，111，/+4 7I+10L1的解.那么 a = 9 6113 . 2考点3含字母系数的一元一次方程例3 解关于x的方程：2a(a 4)x + 4(a + 1)x 2a = a2+ 4x【切题技巧】 先将原方程整理为“ ax

10、 =b”的形式，因为是字母系数的一元一次方 程，所以必须讨论方程解的情况.【规范解答】原方程整理得：a (2a4) x= a (a + 2)a -2当aw 0, a w2时方程有唯一解，x =-a=2a -4当a= 0时，方程有无数个解；当a= 2时，方程无解.【借题发挥】含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax =b”的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对 a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：当aw0时，方程有唯一解，即 x=b；当a=0, b=0时，a方程的解为无数个；当 a=0, bw 0时，方程无解.【同类拓展】 3.如果a、b为常数，关

11、于x的方程：2kx+a =2+=k ,无论k3b为何值时，它的解总是 1.求a、b的值.考点4设元技巧例4 一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加 1倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则从乙港返回甲港需航行（）A. 0.5小时 B. 1小时C. 1.2小时 D .1.5小时【切题技巧】本题要求从乙港返回甲港所需的时间，则需要求甲、乙两港间的距离及顺水航行的速度，故可考虑设辅助未知数，设甲、乙两港的距离为S,船在静水中的速度为X0,原水流速度为X1,依题意有：S = 2（j-=31与一2=1）:=4小,4 S 2（Xi ） 2X 3j1（ 4 ,所求的时间为=.八=心

12、一=1（小时）【规范解答】B【借题发挥】 恰当、合理地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，设什么为元， 需要根据具体问题的条件来确定，对未知元的选择，有时可将要求的量作为未知数（即问 什么设什么）称此为直接设元；有时需要将要求的量以外的其它量设为未知元（即所设的 不是所求的，但更易找出符合题意的数量关系与相等关系）称此为间接设元；有时应用题 中隐含一些未知的常量，这些量对求解无直接联系；但如果不指明这些量的存在，则难求 其解.因此需要把这些未知的常量设为参数，以便建立相等关系，称此为辅助设元，辅助 设元的目的不是为了求其值，而是为列方程创造条件.【同类拓展】4. A和B分别从甲、乙两站于早上

13、8: 00出发相向而行，40分钟相15遇，相遇后，两人继续向前，A到达乙站后立即返回，又行走了全程的15后追上B, A追16上B时是 时 分.考点5常见题型的应用题例5初一（1）班有学生60名，其中参加数学小组的有 36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少 5,并且这两个小组都不参加的人数比两小组都参加的人数的1多42,则同时参加这两个小组的人数是（）A . 16B. 12C. 10D. 8【切题技巧】本题较复杂、数量较多，我们可以把该班人数分四个部分，即：两个小组都参加，仅参加数学小组，仅参加英语小组，两个小组都不参加.于是可设同时参加 这两个小组的有 x人，则仅参加数学小组的有 （

14、36x）人.仅参加英语小组的有（36-5- x）人.两个小组都不符加的有 （2x+2）人，依题意有：x + （36 x） + （36 5 x） + （ - x44+ 2）=60，x=12.【规范解答】 B【借题发挥】常见题型的应用题包括：行程与时钟问题，工程与比例分配问题，浓 度与调配问题；数字与日历、数表问题；市场营销与方案决策问题；增长率等，这类应用题在中考、竞赛中一直是热点之一，需要我们认真审题， 分清各类应用题的基本数量关系，运用画线段示意图和列表格的方式来帮助分析题意，使题意变得直观、清晰.5.将连续的奇数：1, 3, 5, 7,排成如右图数表，用十字框任意框出5个数,十字框框出的五

15、个数之和能等于 2000吗？能等于2010吗？能等于2055吗？若能，请写 出十字框框出的五个数.1357911151719212337 39 41 43 45 47252729313335考点6情景应用题例6某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：（1） 若一次性购物少于 200元，则不优惠；（2）若一次性购物满 200元，但不超过 500元，按标价给予9折优惠；（3）若一次性购物超过 500元，其中500元以下部分（包括 500元）按标价给予9折优惠，超过500元部分按标价8折优惠.李明两次去超市购物，分别 付款198元和554元.现在王娟准备一次性地购买和李明分两次购买同样多的物品，她需 付

16、多少元？【切题技巧】先根据两次购物的付款情况分别对购物款作一个初步估计，因为第一次付款为198元，有可能未享受优惠，也有可能是打九折后的付款，故有两种情况，而第 二次付款为554元，显然第二次的购物款超过了500元，再分别求出两次的实际购物款.【规范解答】,.第一次付款1*元，有可能没有享受优惠，也有可能是打九折后的付款，故dr两种情况.设第二次的物的实阶为工元，则有|554-500乂a+（工一500）乂4 :二630二两次购物的实价为1】98 + 630 = 828 （兀）或198+白+ 630 8501元），一次性物买与上两次同样多的物品应付款为；500Xi7- + (828-500) X = 712. 4(元)QQ或 50。乂； +（850 - 50。）乂（元）【借题发挥】解数学情景应用题要在读懂材料并理解题意的基础上，用数学的眼光去观察问题，理解题意，培养数学应用意识，解决问题.本例中要分情况讨论，购物超 过500元时，应分段累计付款，“打n折”的含义为按标价的 nX10%寸款.6 .中华人民共和国个人所得税法规定，公民每