画法几何制图第三章直线、平面的相对位置

1、 第三章 直线、平面的相对位置 本章讨论直线与平面、平面与平面的本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：相对位置关系及其投影，包括以下内容： 1)1)平行关系：平行关系：直线与平面平行，直线与平面平行， 两平面平行。两平面平行。 2)2)相交关系：相交关系：直线与平面相交，直线与平面相交， 两平面相交。两平面相交。 1.1 1.1 直线与平面平行直线与平面平行定理定理: : 若一直线平行于平面上的某一直线，若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。则该直线与此平面必相互平行。1 1 平行关系平行关系 由于由于efad，e f a d ，即即EFAD

2、，且且AD是是ABC平面上的一直线，平面上的一直线，所以，所以，直线直线EF平行于平行于ABC平面。平面。 例例11过已知点过已知点k，作一条水平线平行于，作一条水平线平行于ABC平面。平面。 步骤：步骤：1 1）在）在ABC平面内平面内作一水平线作一水平线AD；2 2）过点）过点K作作 KLAD；3 3）直线）直线KL 即为所求。即为所求。ddllkkaabebcX 例例22 试判断试判断:已知直线已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面是否平行于四棱锥的侧表面SCF。作图步骤：作图步骤：1 1）作）作c m a b ；2 2）根据）根据CM在平面在平面SCF内，作出内，作出cm；3 3）由于）

3、由于cm不平不平行于行于ab，即在该，即在该平面内作不出与平面内作不出与AB平行的直线，平行的直线，所以，所以，直线直线AB不不平行于四平行于四棱棱锥侧锥侧表面表面SCF。1.2 1.2 平面与平面平行平面与平面平行 两平面相平行的条件是：如果一平面上的两两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此线，则此两平面平行两平面平行。 因为：因为：ABDE，BCEF ，所以：平面所以：平面ABC 和平面和平面DEF 相平行。相平行。例例3 3过点过点K作一平面，是其与平面作一平面，是其与平面ABC平行。平行。解：解

4、：只要过只要过K点作两条相交直线分别平行于点作两条相交直线分别平行于ABC的两的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。作图步骤作图步骤：2 2）作）作KDAC(k d a c ,kdac);a cac bb k kl ld dX1 1）作）作KLBC(k l b c , klbc);3 3）平面）平面KDL即为所求。即为所求。2.1 2.1 直线与平面相交直线与平面相交 2 2 相交关系相交关系 2.1.1 2.1.1 利用利用积聚性积聚性求交点求交点 当平面或直线的投影有当平面或直线的投影有积聚性积聚性时，交点的两个投影中有一个可直

5、时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。或平面上取点的方法求出。 平面为特殊位置平面为特殊位置 例例 求直线求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC 是一正垂面，是一正垂面，其其V 投影积聚成一条直线，投影积聚成一条直线，该直线与该直线与m n 的交点即为的交点即为K点的点的V 投影。投影。1)1)求交点。求交点。2)2)判别可见性。判别可见性。由由V投影可知，投影可知，k m 段在平面段在平面上方，故上方，故H投影上投影上km为可见。为可见。还可

6、通过还可通过重影点重影点判别可见性。判别可见性。作作 图图2k M (n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析: 直线直线MN为铅垂线，为铅垂线，其水平投影积聚成一个其水平投影积聚成一个点，故交点点，故交点K 的水平投的水平投影也积聚在该点上。影也积聚在该点上。1)1) 求交点求交点2)2) 判别判别可见性可见性点点位于平面上，在前；位于平面上，在前；点点位于位于MN上，在后。上，在后。故故k 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 1作作 图图:用面上取点法用面上取点法X通过通过重影点重影点判别可见性判别可见性直线直线EF为正垂线时为正垂线时例

7、例1 1求直线求直线MN 与铅垂面与铅垂面P 的交点。的交点。解解: :平面平面P为铅垂为铅垂面，面，PH有积聚性有积聚性，故故mn与与PH的交点的交点k 即为交点即为交点K 的的H 投投影。影。k 由于交点由于交点K必在直必在直线线MN上，故可用上，故可用在直线上取点在直线上取点的方的方法，由法，由k求出求出k 。规定：规定：在求在求用迹线表用迹线表示示的平面的交点和交线的平面的交点和交线时，时，不必分辨可见性不必分辨可见性。k例例2 2求直线求直线MN与四棱柱表面与四棱柱表面ABCD和和ABEF的交点。的交点。解：解：ABCD为为水平面水平面，其，其V投投影有积聚性；影有积聚性；ABEF为

8、为铅垂面铅垂面，其其H投影有积聚性，故本题可投影有积聚性，故本题可用平面的用平面的积聚性求解积聚性求解。作图步骤：作图步骤：1 1）求求m n 与与a b c d 的的交点交点k ；2 2）根据根据k ，在，在mn上上求求得点得点k，则点则点K(k,k )就是就是MN与与ABCD 的交点；的交点；3 3）求求mn与与abef的的交点交点l ；4 4）根据根据l，在，在m n 上上求求得点得点l ，则点则点L(l,l )就是就是MN与与ABEF的的交点；交点；5 5）因直线因直线MN穿通四棱柱，所穿通四棱柱，所以线段以线段KL之间部分的投影均为之间部分的投影均为不可见。不可见。 一般位置直线与一

9、般位置平面相交，一般位置直线与一般位置平面相交，其投影都没积聚性，则采用换面法：其投影都没积聚性，则采用换面法： 将一般位置直线或平面变成投影面的将一般位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。然后利用所积聚性直接求得交点的投影。然后利用所得交点的投影返回到原体系当中，即可求得交点的投影返回到原体系当中，即可求的平面与直线的交点。的平面与直线的交点。2.1.2 2.1.2 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交例例3 3求一般位置直线求一般位置直线MN与一般位置平面与一般位置平面ABC的交点

10、。的交点。解：解：根据上述分析，应采根据上述分析，应采用用换面法换面法将平面将平面ABC变换变换成投影面成投影面垂直面垂直面，这样就，这样就可以在新的投影体系中直可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。接求得交点的投影。作图步骤：作图步骤：1 1）在平面在平面ABC上上作水平作水平线线AD(ad,a d );2 2）作作X1轴垂直于轴垂直于ad; ;3 3）求出求出直线直线MN和平面和平面ABC在在V1投影面上的新投影面上的新投影投影m1 n1 和和a1 b1 c1 ；4 4）求求出出m1 n1 和和a1 b1 c1 的交点的交点k1 ；5 5）根据根据k1 求出求出k，再由，再由k求出求出k

11、 ，则点，则点K(k,k )就是就是直线直线MN与平面与平面ABC的交的交点；点；6 6）取取H面的面的重影点重影点1、2判断判断直线直线MN 的的H 投影投影的的可见性。可见性。7 7）取取V面的面的重影点重影点3 、4 判断判断直线直线MN 的的V 投影的投影的可见性。可见性。2.2 2.2 两平面相交两平面相交2.2.1 2.2.1 一般位置平面与特殊位置平面相交一般位置平面与特殊位置平面相交 在两平面之一有在两平面之一有积聚性积聚性的情况下，的情况下，可以在没有积聚性的那个平面上取两可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚条直线，分别求这两条直线与有积聚性的那个

12、平面的交点，则这两个交点性的那个平面的交点，则这两个交点的连线就是两平面的交线。的连线就是两平面的交线。例例4 4求一般位置平面求一般位置平面ABC与铅垂面与铅垂面DEF的交线。的交线。解：解：由图可见，由图可见，只要求出只要求出ABC上的两条直线上的两条直线AB、AC和和DEF 的的交点交点M、N ，就可以求得两平面的，就可以求得两平面的交线交线。作图步骤：作图步骤：1)1)利用利用积聚性求积聚性求AB与与DEF的的交点交点M (m,m )；2)2)利用利用积聚性求积聚性求AC与与DEF的的交点交点N (n,n )；3)3)连接连接MN (mn,m n )就可得到两平面的交线；就可得到两平面

13、的交线；4)4)取直线取直线AB和和DF在在V面上的重影点面上的重影点1 (2 )，分辨可见性：分辨可见性： 由图可见，点由图可见，点1在点在点2的前面，故的前面，故b m 为可为可见，为见，为m l 不可见。由于过重影点的两线段的不可见。由于过重影点的两线段的投影之可见性必不相同，因此可以确定其他各投影之可见性必不相同，因此可以确定其他各边的可见性。边的可见性。 例例55求一般位置直线求一般位置直线ABC与正垂面与正垂面P 的交线。的交线。解：解：P 平面为正垂面，平面为正垂面，可以可以利用利用PV 的积聚的积聚性性，直接求出交线，直接求出交线的的V 投影投影m n ，再，再由由m n 求得

14、求得mn。由于由于P 平面是用平面是用迹线表示迹线表示的平面，的平面，故故不需要判断其可不需要判断其可见性。见性。例例6 6求证垂面求证垂面P与三棱柱表面的交线。与三棱柱表面的交线。解解:求求P 平面与三棱平面与三棱柱表面的交线，只柱表面的交线，只需要利用积聚性求需要利用积聚性求出三条棱边出三条棱边AA1、AB、AC 和和P 平面平面的交点的交点D、E、F，然后将交点顺次连然后将交点顺次连接即可。接即可。作图步骤：作图步骤：1)1)利用积聚性求直线利用积聚性求直线AA1与与P 平面的交点平面的交点(d,d ,d )；3 3）用同样的方法用同样的方法求出求出F (f, f , f )；4 4）顺

15、序连接点顺序连接点D、E、F 的同面投影，的同面投影，就可求得就可求得P 平面与平面与三棱柱表面的交三棱柱表面的交线。线。2 2）利用积聚性求直线利用积聚性求直线AB与与P 平面的交点平面的交点E，其过，其过程为先求程为先求e ， 根据根据e 求出求出e ，再跟据再跟据e 求出求出e； 例例77已知三棱锥已知三棱锥SABC 被铅垂面被铅垂面Q 切去一角，切去一角，试完成其主、左视图。试完成其主、左视图。解：解：平面平面Q为铅垂面，只为铅垂面，只需利用积聚性求得需利用积聚性求得Q 平面平面与三棱锥三条棱边与三棱锥三条棱边SA 、AB、AC的交点的交点D、E、F，然后将其顺序连接即可。然后将其顺序

16、连接即可。作图步骤：作图步骤：1)1)求求D、E、F得得H投影投影d、e、f；2)2)由由d、e、f求出求出d 、e 、f ；3)3)由由e、f求出求出e 、f ；4)4)由由d 求出求出d ；5)5)顺序连接顺序连接D、E、F的同面投影即可。的同面投影即可。2.2.2 2.2.2 两个一般位置平面相交两个一般位置平面相交 两一般位置平面的投影都没有积两一般位置平面的投影都没有积聚性，所以其交线不能直接求出。解聚性，所以其交线不能直接求出。解决此类问题的决此类问题的思路思路是采用是采用换面法换面法，将，将两相交平面之一变换为投影面垂直面，两相交平面之一变换为投影面垂直面，这样就可以利用积聚性在

17、新的投影体这样就可以利用积聚性在新的投影体系中直接求得交线的一个投影，然后系中直接求得交线的一个投影，然后将其返回原投影体系中，即可求得两将其返回原投影体系中，即可求得两平面的交线。平面的交线。 例例88求两一般位置平面求两一般位置平面ABC 和和DEF 的交线。的交线。解解: :将平面将平面ABC变换成变换成投影面投影面垂直面，垂直面，即可求即可求得交线的一个投影。得交线的一个投影。作图步骤：作图步骤：1)1)在平面在平面ABC上上作水作水平线平线AN(an,a n )；2)2)作作X1轴垂直于轴垂直于an；3)3)求出求出ABC和和DEF在在V1面上的新投影面上的新投影 a1 b1 c1

18、和和 d1 e1 f1 ；6 6）利用利用V1投影直接投影直接判断判断H 投影的投影的可见性可见性；利用利用重影点重影点1 ,2 和和 3 , 4 判断投影的可见性。判断投影的可见性。4 4）求出求出a1 b1 c1 和和d1 e1 f1 的交线的交线k1 l1 ；5 5）根据根据k 1 l 1 求出求出kl，再根据再根据kl 求出求出k l ，则，则直线直线 KL(kl, k l ) 就是就是两平面的交线；两平面的交线；3 3 综合举例综合举例 本节给出了用换面法解决一些较复杂的本节给出了用换面法解决一些较复杂的相对位置问题的一些例子。相对位置问题的一些例子。 例例11求点求点M与直线与直线

19、AB之间的距离。之间的距离。解：解：由图可见，求点由图可见，求点 M 与与直线直线AB 间的距离，应由点间的距离，应由点向直线向直线AB引垂线，交引垂线，交AB于于K点，则线段点，则线段MK 即为点即为点M与直线与直线AB 间的距离。间的距离。 当直线当直线AB垂直于某垂直于某一投影面时，则线段一投影面时，则线段MK必必平行于该投影面，且在该平行于该投影面，且在该投影面上的投影反映实长。投影面上的投影反映实长。m b a abXm图所示直线图所示直线AB为水平线，若求点为水平线，若求点M到直线到直线AB的的距离，应进行一次投影换面，将直线距离，应进行一次投影换面，将直线AB变换为投影变换为投影

20、面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点M与与直线直线AB 之间的距离的实长。将其返回原投影体系之间的距离的实长。将其返回原投影体系中，就可求出距离的投影。中，就可求出距离的投影。AKBA(b)(k)MmHm b a abXmk km b a a bXmX1H V1( (b1 ) )a1 k1 m1 作图步骤：作图步骤：1)1)取新投影轴取新投影轴X1垂直于垂直于ab，求出点，求出点M与直线与直线AB的新的新投影投影m1 和和a1 b1 ; ;2)2)由点由点M向直线向直线AB作垂作垂线，与直线线，与直线AB相交于点相交于点K，点，点K在新投影体系中在新

21、投影体系中的投影的投影k1 与与a1 b1 重合，重合，连接连接m m1 1 k k1 1 即为所求距即为所求距离的实长；离的实长；3)3)自自m引直线平行于引直线平行于X1轴，轴，与与ab相交于相交于k ；4)4)由由k求出求出k ，则可求，则可求得点得点M与直线与直线AB的距离的距离MK (mk, m k )。 例例2 2 求点求点S 到平面到平面ABC 的的距离。距离。解：解：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。如到垂足的距离，即为所求

22、点到平面的距离。如图图(a)可见，当平面垂直于某一投影面时，则由可见，当平面垂直于某一投影面时，则由点点M向平面所作的垂线向平面所作的垂线MK为该投影面的平行为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。线，且在该投影面上的投影反映实长。图图(b)所示的平面所示的平面ABC为一般位置平面，求为一般位置平面，求点点S到平面的距离时，应先把点到平面的距离时，应先把点S和和ABC平面作平面作一次换面，使平面一次换面，使平面ABC在新的投影体系中为投在新的投影体系中为投影面垂直面，再由点影面垂直面，再由点S向平面向平面ABC作垂线，则作垂线，则垂足垂足L和点和点S的连线的连线SL即为所求点即为所求

23、点S到平面到平面ABC的距离。的距离。作图步骤：作图步骤：1 1）在在ABC 平面上作水平线平面上作水平线CD( cd , c d ) ；2 2）取取X1轴垂直于轴垂直于cd，在，在V1投影面上求出投影面上求出s1 和和 a1 b1 c1 ( (积聚为一直线）积聚为一直线）；3 3）自自s1 引引a1 b1 c1 的的垂线与之相交于垂线与之相交于l1 ，则，则s1 l1 即为所求距离的实长；即为所求距离的实长；4 4）自自s 作作X1的平行线，并在其上根据的平行线，并在其上根据l1 求出求出l ；5 5）用取面上点的方法求出用取面上点的方法求出l ，则线段，则线段SL(sl ,s l )即为所求点到平面的距离。即为所求点到平面的距离。例例3 3求平面求平面ABC和平面和平面ABD间的间的夹角。夹角。解解: :由图由图( (a) )可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。要使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线要使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线变换为投影面垂直线