2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分）1.曲线为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（A）解 若，则曲线表示曲线是三条交于原点的直线反之，由于直线和直线交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线过原点，即2.函数的最小正周期为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（C）解 化简得，则函数的最小正周期为3.设双曲线的左右焦点分别为，点是过且倾斜角为的直线与双曲线的一个交点若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）答案；(D)解 因为，

2、要使为等腰直角三角形，则必在双曲线的左支上，且，从而，由勾股定理得解得4.已知正三棱锥-，底面边长为1，侧棱为2若过直线的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（D）解：设截面与棱交于点，由已知条件可知，点为棱的中点取的中点，连接，则为截面与底面所成二面角的平面角，设为在中，所以中线在应用余弦定理得5.已知，函数若对任意，有，则的取值范围为（ ）（A ） （B） （C） （D）答案：（D）解：由题设，即令，则由此即知6.已知向量垂直，且若，则的最小值为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（B）解：用数形

3、结合方法求解，作正方形，连对角线，则向量等于向量（为对角线上一点）向量等于向量（为上一点，）因为，所以由几何意义可知的最小值为的值，即等于7.设集合，则集合的元素个数为（ ）（A） （B） （C） （D） 答案：（B）解：由得，从而这样同理，所以可设因此，原式等价于解得又与一一对应，则集合中元素的个数为1.8.记为不超过的最大整数若集合，则集合所表示的平面区域的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）答案：（A）解：当时，所以，即；当时，所以，即；当时，所以，即画出满足上述条件的区域，可知集合所表示的平面区域的面积为二、填空题（本大题共7小题，12题9分，其余各题7分，满分51分）9.设是定

4、义在上的奇函数若对任意实数有，且当时，则 答案：解：由得，所以周期为4，因此10.已知数列满足：则 答案：解：由题设递推关系，我们有从而，注意到我们有11.设方程恰有三个不同的根，则 答案：解：原方程可变形为，要使方程恰好有三个不同的根，则，此时方程恰好有三个不同的根，所以12.已知两个底面重合的正四面体-和-，分别为与的重心记若点满足则实数 ， ， 答案：解 设点在面上的投影为，则所以又所以同理，由得，所以13.在中，的中点为若长度为的线段（在的左侧）在直线上滑动，则的最小值为 答案：解：由已知得，由正弦定理，得过作直线平行，交于点，则，注意到为的中位线，则，所以为平行四边形，即有这样问题就

5、转化为在直线上找一点，使最小作关于的对称点，则注意到则14.若关于的方程组有实数解，则正实数的取值范围为 答案：解：两式平分后相加，消去，得反之，当时，也存在满足此方程因此，正实数的取值范围为15.已知为互不相等的整数，则的最小值为 答案：解：，其最小值为三、解答题（本大题共3小题，16题15分，17，18题每题18分，满分51分）16.设函数已知对于任意的若满足，则求正实数的最大值解 由于二次函数的对称轴为，故题设条件等价于对任意的，均有即对任意的，均有注意到当且仅当时取等号，故所以，正实数的最大值为17.已知椭圆经过点，离心率为过椭圆的右焦点作斜率为的直线，交椭圆于两点，记的斜率为（1）求

6、椭圆的标准方程；（2）若，求实数解 （1）由题设条件，得所以椭圆方程为（2）椭圆的右焦点坐标为若时，则此时故直线的方程为和椭圆方程联立，并消去，得设，则由韦达定理，得注意到可得18.给定数列，证明：存在唯一分解，其中数列非负，单调不减，并且证 我们只需证明对任意的正整数，满足 的存在且唯一下面用数学归纳法证明之（1）当时，这样有或者若则若，则此时命题成立（2）假设当时，命题成立，则当时，等价于这样有或进一步若，则即若，则，即故当时，命题成立（3）由数学归纳法可知，对任意的正整数，命题均成立从而原命题得证四、附加题（本大题共2小题，每题25分，满分50分）19.设集合证明：（注：表示集合中的所有元素的倒数之和）证 在位正整数中，各位上的数码不含数字的共有个，其中首位数字为的各有个，所以，所有不含数字的位数的倒数和小于所以，20.设正整数，对格点链中的个结点用红、黄、蓝三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示若对剩余的个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数解 对格点链中的个结点用红、黄、蓝三种颜色染色，其中左端点染红色与黄色，设右端点染色为如下图所示记（或），时的着色数目为；记（或）时的者色数目为；我们