数值计算课后答案1

1、1习题一解答1.取3.14,3.15,22,355作为n的近似值，求各自的绝对误差，相对7113误差和有效数字的位数。分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先 求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。 有效数 字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位 的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。根据定理2，首先要将数值转化 为科学记数形式，然后解答。解：（1）绝对误差：e(x)=n3.14=3.141592653.14=0.001590.0016。相

2、对误差：有效数字:因为n=3.14159265=0.314159265X10，3.14=0.314X10，m=1而n3.14=3.14159265一3.14=0.0015911所以|n3.140.00159三0.005=0.5X102=1102- 101 322所以，3.14作为n的近似值有3个有效数字。(2)绝对误差：e(x)=n3.15=3.141592653.14= 0.0084070.0085。 相对误差：er(x)血0.00850.27 102x 3.15有效数字：因为n=3.14159265=0.314159265X10，3.15=0.315X10，m=1而n3.15=3.1415

3、92653.15= 0.00840711所以|n3.150.0084070.05=0.5X101=101 101 222所以，3.15作为n的近似值有2个有效数字。(3)绝对误差：22e(x)3.14159265L 3.142857143 0.001264493_0.00137相对误差：er(x)e(x)x0.00163.140.51 102有效数字:因为n=3.14159265=0.314159265X10,22223.14159265L3.1428571430.001264493L7实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差 和相对误差2、用四舍五入原则写出下列各数的具

4、有五位有效数字的近似数。346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300V(x)空x曾0.41 103223.1428571430.3142857143 10,m=1所以223.14159265L3.1428571430.001264493 L 0.0050.5 102122 1022101 3所以，琴作为”的近似值有3个有效数字。(4)e(x)绝对误差：3553.14159265 L 3.141592920.0000002705 L1130.000000271相对误差:er(x)e(x)x0.0000002717-000一0863 10113有效数字:因为n=3

5、.14159265=0.314159265X10,3551133.14159292 0.314159292 10,m=13553.14159265L1133.141592920.0000002705 L3553.14159265 L 3.1415929211310.0000002705 L0.00000050.5106所以，355113指出：10作为n的近似值有7个有效数字。所以1 71 10612 23解：346.7854346.79,7.0000097.0000,0.00013245800.00013246,0.6003000.60030。指出：注意0。只要求写出不要求变形。3、下列各数都

6、是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出 他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。X|0.0315, x20.3015, x331.50, X45000。分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则 确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字 个数。有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是(为)0.00005, (x2)0.00005, (x3)0.005, (x4)0.5由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是（X1）X10.031516%,(x2)0.00005（X2-0.02%,X20.3015(

7、x3)0.005(%)0.002%,X331.5（X(X4)0.50.01%.&5000有效数字分别有3位、4位、4位、4位。指出:本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对 误差4(x y) z,x (y z)两种算法计算x y z的值，并将结果与精确结果比较解：fl(x y) z) (0.23371258 1040.33678429 102) 0.33677811 102(0.00000023 1020.33678429 102) 0.33677811 1022 20.33678452 100.33677811 100.00000641 102fl(x (y z)

8、0.23371258 104(0.33678429 1020.33677811 102)0.23371258 1040.00000618 1020.00000023 1020.00000618 1020.00000641 1024.计算的近似值，使其相对误差不超过0.1%。 解：设取n个有效数字可使相对误差小于0.1%，则1石而31 n100.1%,.1012a14，显然a11n1101 n2 33，此时,101 n0.1%，1即丄6也即( 所以， 此时，5、在计算机数系F(10,4,-77,77)103与X20.314159 1011 n10n10n=4。X10.14281其相对误差。解：f

9、l(Gfl(X2)103，1043.162。中，对试求它们的机器浮点数fl(Xi)(i1,2)及30.1428 10 ,e(fl(xj)0.3142 101,e( fl(x2)XiX2333fl(X1)0.14281 100.1428 100.00001 10 ,fl (x2)0.314159 101( 0.3142 101) 0.00041 101其相对误差分别是0.00001 103030.007%,e20.000041 1010.3142 101013%。6、在机器数系F(10,8丄,U)中，取三个数x 0.23371258 104, y0.33678429102,z 0.3367781

10、1 102，试按5精确计算得：422x y z 0.23371258 1040.33678429 1020.33677811 1022 2 2(0.00000023371258 1020.33678429 102) 0.33677811 1020.33678452371258 1020.33677811 10220.0000641371258 102第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加 容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致 有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数x 0.2337125

11、8 104,y 0.33678429 102,z 0.33677811 102，试按(x y) z,x (y z)两种算法计算x y z的值，并将结果与精确结果比较。解：fl(x y) z) (0.23371258 1040.33678429 102)0.33677811 102222(0.00233713 1020.33678429 102) 0.33677811 102220.33912142 1020.33677811 102220.00003391 1020.33677811 1020.3367442 102fl(x (y z)0.23371258 104(0.33678429 102

12、0.33677811 102)0.23371258 104(0.00003368 1020.33677811 102)420.23371258 1040.33674742 102220.00000023 1020.33674742 102显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计20.33674719 102第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更 精确。精确计算得：x y z 0.23371258 1040.33678429 1020.33677811 1020.000023371258 0.0

13、033678429 33.6778110.003391214158 33.67781133.67441978584220.33674419785842 1026算及从右到左计算1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.01试比较所得结果。解：从左到右计算得1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.010.1 10 0.04 10 0.03 10 0.02 10 0.00 10 0.00 10 0.00 10 0.00 10 0.19 101.9从右到左计算得1 0.4 0.3 0.2 0.04 0.03 0.02 0.010.01 0.02 0.03 0

14、.04 0.2 0.3 0.4 10.1 1010.2 1010.3 1010.4 1010.2 0.3 0.4 10.1 0.2 0.3 0.4 10.1 10 10.1 10 0.1 100.2 102从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。&对于有效数x13.105,x20.001,x30.100，估计下列算式的相对误差限X2%X,X X3, y2X1X2X3,y3 X3分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和 的方法。解：因为X13.105,X20.001,X30.100都是有效数,所

15、以(X1)0.0005, (X2)0.0005, (X3)0.0005(X1)0.00050.00050.00050.16%,(X2)50%,(X3)0.5%3.1050.0010.100则(为X2X3)(X1)(X2)(X3) 0.0005 0.0005 0.0005 0.001547(X2)(X2)(X3) 50% 0.5% 50.5%X3指出：如果简单地用有效数字与误差的关系计算，则不够精确。注意是相对误差限的讨论。符号要正确，商的误差限是误差限的和而不9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确(其中X = 1表示X充分接近0,X ? 1表示X充分大)-A X = 1；1 XXXXxX?

16、1；4X,x 0且X=1;X cotx,x 0且X = 1根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。解：(1)In xxInX2In互；X2(2)11 X 1 X (1 x)21 X 1 X (1X)(1 X)1 x (1 2x X2)3x X2(1X)(1 X)(1X)(1 X)(XiX2X3)(XiX2X3)0.0015(X1X2X3)Xi(X1) (X2)3.105 0.0010.1000.00153.004(X3)0.16% 50%0.5%50.66%4.99 100.05%(1)InX1InX2,X-I X2;分析:811X21X21Xx XX：X

17、X、X21/ X21X1)Fl F12(X1、“ 1、-)(X -)XXr1/ 1JxVXVX2i( .X21. X21)1)21(12X2 X2!4 X4!LX3 XL2!4!11一COtXXX113-xX3451 COSXL（丄X4-L 4!X2n(1)n1丄L (2n)!X2n 1 n 1X(1)L(2n)!13X452n1)盒（Bn是贝努利数）指出:1 X322nBn 2n 1X(2n)!22nBn :X(2n)!2n 1L)9穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因素。采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。例如1 cosx2si n222(|)

18、2xxxx21cotx1cosxsin xxcosxxxsin xxsi nxx XCOSX,.(x = 1,sinx x) xsin x1 cosxsin x1 i(x = 1,cosx 1) sin x0试与上例比较。有时候这种方法可以使用，例如因为cos(x ) cosx cos sin xsin，当=1时，cos 1,s in 0cos(x ) cosxcossin xsin cosx sin xg在这个计算中，由于x是常数，x的函数值实际上放大了每一项的计算结果，使得相近的数相减的问题不很突出。而利用一阶的泰勒展开f (x ) f (x) f ( )(x x )，当=1时,就有f(x

19、 ) f (x) f (x)，因此cos(x ) cosx sin x和上面的结果一样。但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能。采用等价无穷小代换的方法一般不可行。近似计算中的误差并不是无102采用洛必达法则也是不可以的。实际上，无论是等价无穷小还是洛必 达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微 分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小（趋于零的变 量），因此近似计算是不能采用极限方法的。3转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。取极限 就违背的了数值计算的本意。所以，11 x 11 01 11 x

20、 1 x 10 1010、用4位三角函数表，怎样算才能保证1 COS20有较高的精度?解：根据1 cos2O2sin21o，先查表求出sin1o再计算出要求的结果精度 较咼。指出：用度数就可以。不必化为弧度。11、利用.78327.982求方程x256x 10的两个根，使它们至少具有4位有效数字。解:由方程的求根公式，本方程的根为因为.78327.982，贝x 28783 28 27.982 55.982如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造 成有效数字的减少，误差增大。因此根据韦达定理x1x21，在求出x155.982后这样计算x2:是错误的。4极小的数做除数，实际上是

21、0型的不定型，要转化为非不定型人,256匕匕5624256 22821228 78311x2丄丄1= 0.01786=0.1786101x155.982这样就保证了求出的根有四位有效数字。12、试给出一种计算积分1e1xnexdx(n0,1,2,3,.)，0近似值的稳定算法。In解：当n=0时,I011e00 X |x e dxe1(e 1) 11(eXdx01)对In运用分部积分法budvauvbvdu)得a11 n x ,Ine x e dx01 n xe (x e1n 1 x 、nx e dx)0e1(e1n 1 x 、nx e dx)01.1n 1 x .1 ne xe dx1 nIn

22、 1由此得到带初值的递推关系式由递推公式In=1nIn110In解得1enIn1(n 1,2,3,.)1-(1 In)，这是逆向的递推公式，对nIn的值作估计，有11 n x ,Ine x e dx011 1e e0 xndx另有11 n xIne x e dx011 ne x dx0(取e的指数为最小值0，将e取作 则e1丄In。n 1n 1那么，我们可以取其上下限的平均值作为其近似值。即取e0=1作为常数即可简化公式)。In121)可以看出，n越大，这个近似值越精确地接近于准确值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和精确值就越接近)此时，en1=In1In1

23、= (InIn)1en,|e|= |Cn|,计算是稳nnn!定的。实际上，如果我们要求 丨9,可以先求出丨20，这样求出的丨9的误差是比丨20的误差小得多的，而丨20的误差本身也并不大。实际上，这样求出的 丨9比直接计 算出来的精确得多。补充题(一)1、 给出数系F(10,4,-5,5)中的最大数、最小数和最小整数。解：最大数：0.9999X105;最小数：0.9999X105；最小正数：0.0001X105。2、 已知e 2.7182818284590452353602874L，求它在F(10,5，5，5)和F(10,8，5,5)中的浮点数。解：在F(10,5,5,5)中，fl(e) 0.2

24、7183 101在F(10,8,5,5)中，fl(e) 0.27182818 103、 已知数e的以下几个近似数，它们分别有几位有效数字？相对误差是多少？x02.7182, x12.7183, x02.7182818。分析：题目没有说明近似数是通过哪种途径取得的，也就没有明确每个 近似数和准确数之间的误差关系。所以，本题的解答应当从求近似数的误差开始。解：因为eXo0.0000818111031101 422eX110.00002 -1041101522eX20.000000031107110182213所以，xo2.7182, x,2.7183, X。2.7182818分别有4、5、8个有效

25、数字。其相对误差分别是er（x。）1101 4e xj 210132103, |x|2.718241,c4e为410，e x2110744、数（3嘤3与下述各式在实数的意义上是相等的，（3亦）3（1）（17 6.8）3，（2）（17 6.8）31，（3）（3、.8）6，（4）（3、8）T（5）19601 6920.8，（6）（19601 6920 8）1。试说明在浮点数系F（10,4, 8,8）中，用哪个公式计算出的结果误差最小。分析：本题实际上是一个算法分析与设计问题，也就是说要应用算法设 计的基本原则进行分析讨论解：在本例中，显然3和.8在浮点数系中是相近的数。进一步地，17和6,8、19

26、601和6920、.8也是相近的数。因此:1为避免相近的数相减，不应采用（1）、（3）、（5）三种计算方法。2在余下的三种计算方法中，（2）需要进行4次乘除法，（4）需要进行7次乘除法，（6）需要进行1次除法。从减少运算次数来说，应采用（6）所以，采用（6）计算，计算结果误差最小。X5、f （x） xe2ln（1 x） / x3，当x = 1时，如何计算才能获得准确的结果？解：当|x = 1（即很小时），f（x）的分子是两个相近的小数相减，而分 母也是一个小数，因此应避免简单地按原计算顺序直接计算，而应进行变 形。由泰勒展开得x14因此5 113972xx24 481920此处最后略去部分的第

27、一项为当x= 1时，这一部分是相当小的值，可以略去指出:如果要提高计算精度，就可以考虑保留更多的项补充题（二）（一）1、计算e的近似值，使其误差不超过10-62、利用n 11彳2|nxf (x)1 x x L x市1 x(1x)n 2计算f(0.1)的近似值，其误差不超过10-2,求n。3、3.142和3.141分别作为n的近似数，各有几位有效数字？4、 已知近似数x的相对误差限为0.3%，问x至少有几个有效数字?5、已知x的下列3个近似数的绝对误差限都是0.005，问它们 的有效数字各有几位？a=138.00，b=-0.0132，c=-0.86X1046、设近似值x=1.234，且绝对误差界

28、为0.0005，则它至少有几位有效数字？7、某校有学生6281人，通常说有6000人。下面哪个式子表示6000这个近似数合适?0.6 10444xxe2ln(1x)x(2) x捋3!2xx2f(x)(8(-)x516 245L /x31120 321、36)x6393x3840(01,x1)1、33)x14；)xx150.60 1040.600 103116分析与解答e2.718 285解决这类问题其实很简单。只要知道了泰勒展开式，余下的就只是简单的 计算了。泰勒(Taylor)中值定理：若函数f(x)在a,b上存在直至n阶的连续导函数， 在(a,b)上存在n+1阶导函数，则对任意给定的x,X

29、0a,b,至少存在一点 & (a, ,b)，使得其中,2、解:m=1。因为n-3.142=3.14159265一3.142= 0.00040所以，|n3.142| =0.00040W0.0005=0.5X10一3=x.2XnxXen 1.e 1 xL一 -X(02!n! (n 1)!当x=1时,e 1 11L1e2!n! (n1)!故Rn(1)e3。(n1)!(n 1)!1)f(x)f(X) f (X)(X X。)f (X0)(x x0)2L2!f%)(xn!x)nrn()(n 1)!(x x)n 1f(T()(n 1)!当X0=0时,得到麦克劳林公式。Rn(x)(x Xo)n1叫做拉

30、格朗日型余项f(x) f(0) f (0)gxf (0)2!2gx(n 1) /(X)ngx(n 1)!(01)xn1二2(1 x)9(n 2)9n 2所以，0.1n 1(1 0.1)n2103,103n=2。0.1n 1210 10 ,n=3.14159265=0.314159265X10,3.142=0.3142X10,1、解：令f(x)=ex，而f(k)(x)=ex,f(k)(0)=e=1。由麦克劳林公式，可知1)(0当n=9时，Rn(1)10-6,符合要求。此时,17贝U m-n=-3。而x=1.234=0.1234X101, 则m=1，所以n=1-(-3)=4所以，x=1.234解：

31、哪个式子表示1010所以，3.142作为n的近似值有4个有效数字3.1415926L ,3.1415926L3.1410.000590.0050.5 102- 10211 3101 32取为9,小数点后几个0，10的指数的绝对值就是几。解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况 则0.3% 1000_12(91)101九九101n 1 101n2 10解:由上可得6 10n1000，n2.2，所以取n=2。0.005102，所以m-n=-2。a=138.00=0.13800X103，则m=3即a有5位有效数字；b=-0.0132=-0.132X10-1，则m=-1所以b有1位有效数字

32、。c=-0.86 X10-4，贝U m=-4，所以n=-4-(-2)=-20所以c没有有效数字。解：因为近似数x=1.23410.00052,所以n=3-(-2)=5，所以n=-1-(-2)=1的绝对误差界为0.0005,所以103，有4位有效数字。6000这个近似数合适实际上要看近似数31186000有多少个有效数字。6281近似到十位、百位，千位分别是6281 6280628163006281 6000写成科学记数的形式分别是6281 6280 0.628 104628163000.63 1046281 6000 0.6 104可见，上述写法中，第一种是合适的。实际上，446281 0.6

33、281 10 ,6000 0.6000 10所以m=4,而6281 6000 281 0.281 1030.5 1 031 103所以m-n=3，贝Un=m-3=4-3=1，即近似数6000只有一个有效数字，所以，只有0.6 104这 种写法是合适的。（二）1、已知测量某长方形场地的长为a=110米，宽为b=80米。若|aa|w（.米），|bb|w（米），试求其面积的绝对误差限和相对误差限。2、 已知三角形的两个内角的测量误差都不超过0.1则计算第三个角时，绝对误差不超过多少。13、 若x1=1.03.01,x2=0.45.01，计算y x：e2的近似值并估计误差。24、 已知测量某长方形场地

34、的长为a=110米，宽为b=80米。若Iaa（.米），I bb（米），试利用多元函数的误差分析方法求其面积S=ab的绝对误差限和相对误差限，并与四则运算的误差分析比较。5、 如果用电表测得一个电阻两端的电压和通过的电流分别是V=1102（V），I=20.5（A）试运用欧姆定律RV求这个电阻值R的近似值，并估计所求出的近似值的I绝对误差和相对误差。19&已知近似值&=2.21耳=4.63,空=7.98是由四舍五入得到的，它们的绝对误202、提示：内角和为180而且180是准确数，没有误差3、由已知，xi=1.03， xi=0.01,X2=0.45, X2=0.01。所以,fx1(

35、X1,X2)2X11迪小刈尹0.7842,(=X1=0.01, (2)=X2=0.01。所以，y的绝对误差限为（y）fx1（X1，X2）（幼fx2（X1，X2）（X2）2.06 0.01 0.7842 0.01 0.028将有关数据代入函数表达式，可以求出函数值的近似值为y xi丄eX21.845，2则y的相对误差限为（y）卫空1.5%y 1.845进一步地，本题的绝对误差限可以看作是0.05,那么计算结果中只需要保留 到百分位就可以了，即最终结果取1.8,那么计算过程中各数只需要取到千分位。）4、（6、略解分析与解答ab, (S)(ab)a (b)b (a)19.1(m2)(ab)-(ab)19.10.00217 0.217%ab110 80aa2a3和a18忆3的相对