第二十八章锐角三角函数导学案

1、北京市朝阳外国语学校第二十四章 圆 初中数学教研组2011 级第28章锐角三角函数28. 1锐角三角函数（1）正弦【学习目标】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一 事实。能根据正弦概念正确进行计算一、自主复习：1、如图在 RtAABC 中，/ C=90 , / A=30 , BC=10m , ?求 AB2、如图在 RtAABC 中，/ C=90 , / A=30 , AB=20m , ?求 BC二、合作交流:问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是3

2、0 ,为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?思考1:如果使出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的水管?果使出水口的高度为 am,那么需要准备多长的水管?结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值思考 2:在 RtAABC 中，/ C=90 , / A=45吗？ ？如果是，是多少?结论：直角三角形中，45角的对边与斜边的比值三、探究:结论：这就是说，在直角三角形中,当锐角 A数一定时，不管三角形的大小如何,?/A斜边的比规定：在 RtABC中，/ C=90边记作对边abC3正弦函数概念:在 RtABC 中，/ C=90 ,我们把锐角A叫做/ A的正弦,t己作, si

3、nA =例如，当/ A=30 时，我们有 sinA=sin30 =当/A=45° 时，我们有 sinA=sin45例1 如图，在 RtAABC中，/ C=90,求sinA和sinB的值.3434A. 4B, 3C. 5D.52.如图，在直角 ABC中，/C= 90°,若 AB= 5,AC= 4,贝UsinA =3434A 5b 5C.-4D3随堂练习：1.三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 sin “的值是（3 .在 ABC中，/C=90° , BC=2 sinA= 2,则边 AC的长是（）3A. >/13B . 3 C . 4 D .乖4 . （ 2

4、006 成都）如图，在 RtABC中，Z ACB= 90° , CD!AB 于点 Do 已知 AC=/5 , BC=2,那么 sin / ACD=（）A. _5B, 2C. 2_5D. _53352五、课堂小结:在直角三角形中，当锐角 A的度数一定时，不管三角形的大小如何，/A?的对边与斜边的比都是在RtAABC中，/ C=90 ,我们把锐角 A的对边与斜边的比叫做/ A?的?记作;北京市朝阳外国语学校第二十四章 圆 初中数学教研组2011级728. 1锐角三角函数(2)余弦、正切【学习目标】：感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一 事实。：逐步培

5、养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。一、自主复习：1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、如图，在 RtABC 中，/ ACB= 90 ° , CCL AB 于点 Db已知 AC=/5 , BC=2 那么 sin / ACD=()A.叵B. 2C.迪D.叵33523、如图，已知 AB是。的直径，点 C D在。0上，且 AB= 5, BC= 3.贝U sin / BAC=; sin / ADC=.4、？在Rt ABC中，/ C=90 ,当锐角 A确定时，/A的对边与斜边的比是 ,进一步思考：/A的邻边与斜边的比呢？/A的对边与邻边的比呢？二、合作交流：探究：CD B C

6、Al. BB斜边c/ / A的对边aAC C/A勺邻边b为什么？般地，当/a取其他一定度数的锐角时， 它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值?如图：RtABC 与 RtA'B'C' , Z C= Z C' =90o, /B=/B'=aBC B'Cf那么AB与有什么关系？ 二、学习新知： 类似于正弦的情况，如图在 RtBC中，Z C=90 ,当锐角 A的大小确定时，/ 边与斜边的比、/ A的对边与邻边的比也分别是确定的.我们把/ 叫做/ A 的余弦，记作 cosA, 即 cosA= 把/ A的对边与邻边的比叫做/ A的正切，记作tanA,即 tanA

7、=，B斜叫" 对边aAbCA的邻、弋A的证 cbB;邻也;北京市朝阳外国语学校第二十四章 圆 初中数学教研组 2011级例如，当/ A=30 时，我们有 cosA=cos30 =;当/ A=45 时，我们有 tanA=tan45 ° =.重要说明：锐角 A的正弦、余弦、正切都叫做/ A的锐角三角函数.对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样地，cosA, tanA也是 A的函数.3一一例 2：如图，在 RtAABC 中，/ C=90 , BC= ?6, sinA=-,求 cosA、tanB 的值.四、随堂练习：1 .在必阻 中

8、，/ C=90 , a, b, c分别是/ A、/ B、/ C的对边，则有（）a. d-tanB, b二。sm工c. «=c-cos5d, c = a-sinA2 .在 EiKABC 中，/C= 90。，如果cos A4那么tail £的值为（）4 ¥/A . 3 B 4 C . 4 D . 43、如图：P是/仃的边OA上一点，且P点的坐标为（3, 4） , 口J 贝U cos a =.五、课堂小结：在RtABC中，/ C=90 ,我们把锐角 A的对边与斜边的比叫做/ A的正弦，记作sinA,即sinA=且.内可学c.A的斜边把/ A的邻边与斜边的比叫做/ A的余

9、弦，记作 ,即把/ A的对边与邻边的比叫做/ A的正切，记作 ,即28. 1锐角三角函数（3）特殊角三角函数值【学习目标】 ：能推导并熟记30。、45。、60。角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数：能熟练计算含有 30。、45。、60°角的三角函数的运算式一、自主复习： 一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的?一个锐角余弦是怎么定义的？一个锐角正切是怎么定义的?二、合作交流：思考：两块三角尺中有几个不同的锐角?你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？.三、知识运用：归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA例3:求下列各式

10、的值.(1) co$260 +sin260 .cos45tan45(2)sin 45北京市朝阳外国语学校第二十四章 圆 初中数学教研组2011级例 4: (1)如图(1),在 RtABC中，/ C=90, AB=J6/ A的度数.（2）如图（2）,已知圆锥的高 AO等于圆锥的底面半径求a.OB 的 J3四、随堂练习:（一）、选择题.A. 3 B . 62.计算 2sin30 ° -2cos60A . 2 B .8C . 9 D+tan45 °的结果是(C .近13.在 ABC中，/ A、/ B都是锐角，且 sinA=一 2.12).D . 13,cosB=A .直角三角形

11、B .钝角三角形 C.锐角三角形 D,则 ABC的形状是（ 不能确定1 .已知：RtABC中，/ C=90° , cosA=3 , AB=15,则 AC的长是(). 5114 .如图 RtABC中，/ ACB=90 ,CDL AB于 D, BC=3, AC=4,设 / BCD=a 贝U tana?的值为().3434A. 4 b , 3 C , 5 D , 55 .若tanA-3 ) 2+ 2cosB-事 =0,贝必 ABC ().A .是直角三角形B .是等边三角形C .是含有60。的任意三角形D .是顶角为钝角的等腰三角形6.求下列各式的值.(2) 2sin60 -2cos30

12、sin45一、 sin 45(1) -+cos45»cos3028. 1锐角三角函数(4)一运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角(1) sin30 cos45 +cos60 ;(2) 2sin60 -2cos30 sin452cos60 0 ；2sin 30 -2(4)sin 45 cos30 -sin603 - 2cos 60(1-sin30 ).【学习目标】让学生熟识计算器一些功能键的使用、自主复习:30°45°60°siaAcosAtanA、求下列各式的值.(5) Vi2+2sin60° =三、知识运用：用计算器求锐角的正弦、

13、余弦、1、(1)sin38 =cos52 =(3)cos25.8 =sin64.2观察结果，猜想结论：正切值(结果保留四个肩效数字(2)sin40 = =(4)cos41 37 =) cos50 = cos48 23'2、(1)sin23 =(2)cos75 = 观察结果，猜想结论：cos23 =sin75 =tan23 =tan75 =3、(1)sin15 = (2)cos5 =sin30 =cos30 =sin56 =cos60 =sin89 =cos88 =（3）tan3 =观察结果，猜想结论:tan30 =tan45 =tan89 =练习：下列各式中不正确的是（）.A . si

14、n 260° +cos260° =1 Bsin30 ° +cos30° =1C . sin35 ° =cos55D . tan45 ° >sin4514.已知/ A为锐角，且cosAW& ,那么（）</AW 30° D. 30° <Z A<90°A . 0° </AW 60° B, 60°A<90° C , 07 .当锐角a>60°时，cosa的值（）.A .小于& B .大于2 C .大于乎 D

15、.大于18 .已知，等腰 ABC?勺腰长为43 ,?底为30?0 ,?则底边上的高为 ,?周长为59 .在 RtABC中，/ C=90 ,已知 tanB= ,贝（J cosA=.10 .已知梯形 ABCD43,腰BC长为2,梯形对角线 BD垂直平分AC,若梯形白高是 石，?则/ CAB等于（）A . 30° B . 60°C . 45° D ,以上都不对11 . sin 272° +sin 218° 的值是（）.A . 1 B . 0 C 1 D .乎12 .设 a、3 均为锐角，且 sin a -cos 3 =0,贝U a + 3 =.213

16、,已知：cosa =,则锐角a的取值氾围是（）3A. 0 < a <30B. 45 < a <60 C. 30 < a <45 D. 60 < a <9014 . （2006年潜江市）当 45 < 0 <90 时，下列各式中正确的是（）A. tan 9 >cos0 >sin 0 B. sin 9 >cos0 >tan 0 C. tan 0 >sin 0 >cos0 D . cot 0 >sin 0 >cos0北京市朝阳外国语学校第二十四章 圆 初中数学教研组2011 级28. 1锐角三角

17、函数（5）【学习目标】灵活运用锐角三角函数解决问题、自主复习:30°45°60°siaAcosAtanA二、运用知识：例 1 在 ABC中，/ C=90°(1)若 sinA= 1 ,则/ A=. (2) 若 cos A =,贝U / B= 22(3)若 cosA=,贝U tanB=; ( ?4) ?若 cosA=,贝U tanB=.2_ 5例2.在 ABC中，/ C为直角，AC= J2 , BC= J6 ,求/ A的度数.例 3.在 RtABC中，/ C=90° , / B=30° , BC=8,求/A 的度数，AC 的长练习.1 在

18、 RtABC中，/ C=90° , / A=45° , AB=8,求 AC 的长。2 在 RtABC中，Z C=90o, Z A=60o, BC = <3 ,求/ B 的度数，AB的长例 3(1)如图，在 RtABC中，/C=90° , AD是/ BACZ 的平分线，/ CAB=60 , ?CD=/3 ,BD=2*,求 AG AB的长.（2） （2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园 BC=25米，你能求出这块花园的ABC ?有人已经测出/三、随堂检测：1.在 RtMBC中,/ C=90°则sinA的值是A、,15 B15.1542.

19、在 A ABC中,已知/ C=903 sinB= 一 ,5D . 35则cosA的值是 （3.在Rt A ABC中，/ C=9C0,则下列等式中不正确的是 （）(A) a=csinA ;(B) a=bcotB ; ( C) b=csinB ; ( D) c= cos B .4. (2010哈尔滨)(A) 7sin35在 RtA ABC 中，/ C=90°7AB = 7,则BC的长为（).(B) 0coS350(C)7cos35°(D) 7tan35°5.在 AABC 中,一一3/ C = 90 , cos A =,2.45° C . 607. （2010

20、年怀化市）在RtAABC 中，/ C=9C° ,. 901SinA= ,2则/ A=8.计算：，12 +2sin609. （2010年金华）计算:(点0十匹 -4cos30 °.A=30° , AC=40 米, 面积吗？#北京市朝阳外国语学校第二十四章 圆 初中数学教研组2011级28. 1锐角三角函数（6）【学习目标】灵活运用锐角三角函数解决问题一、运用知识：构造直角三角形解决问题.例1.在正方形网格中， 4ABC的位置如图所示，则cosNB的值为C例2. （2010山东济南）图所示， ABC中，/ C =90 , / B=30 ,ABC的角平分线，若 AC =

21、点.求线段AD的长.例3.某片绿地形状如图所示, ?求人口、BC的长.其中 AB ± BC , CDXAD , / A=60,AB=200m , CD=100m ,三、随堂练习：1、若AB =4,AC =10,NABC =60：求B、C两点间的距离2、已知，在 ABC中，/ A= 45 °, AC= 业 AB= m+1 ,则边 BC的长为3、在 RtAABC 中，/ C=90 , AC=2 , BC=1 ,贝U tanB=, sinA=4、如图，已知 RtABC中，斜边 BC上的高 AD=4,cosB=,则5AC=15-205、计算：(-2) +tan45'+201

22、06. RtABC中，若 sinA= 4, AB=10,那么 BC= , tanB=57.在 ABC中，/ C=90°AC=6,BC=& 那么 sinA=8.在 ABC中，/ C=90°sinA=则cosA的值是（）2516 D.-25北京市朝阳外国语学校第二十四章 圆 初中数学教研组2011级28. 2解直角三角形（1）【学习目标】：理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及 锐角三角函数解直角三角形：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形， 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.：渗透数形结合的数

23、学思想，培养学生良好的学习习惯.一、自主复习：1 .在三角形中共有几个元素？ 2 .直角三角形 ABC中，Z C=90 , a、b、c、/ A、/ B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）边角之间关系ababsin A = ；cos A= ； tan A= ；cot A=一ccbababa sin B = ； cos B = ; tan B = ；cot B = ccab如果用/a表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成sin工/口的对边斜边；cos:/仪的邻边斜边；tan ;/a的对边/a的邻边；cot 口 =Na的邻边/a的对边#（2）三边之间关系（3）锐角之间关系/ A+ / B=9

24、0 .a2 +b2 =c2 （勾股定理）以上三点正是解直角三角形的依据.二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角&一般要满足（如图）.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0. 1 m）（2）当梯子底端距离墙面 2.4 m时，梯子与地面所成的角口等于多少（精确到1°）这时人是否能够安全使用这个梯子三、知识运用：例1在 ABC中，/ C为直角，/ A、/ B、/ C所对的边分别为 a、b、c,且b= J2 , a= , 6 ,解这个三角形.例2在RtAABC中， Z B =35°, b=20 ,

25、解这个三角形.四、随堂练习：1 .根据直角三角形的 元素（至少有一个边），求出?其它所有元素的过程，即解直角三角形.2、在 RtAABC 中，a=104.0, b=20.49 ,解这个三角形.3、在4ABC中，/ C为直角，AC=6 ,2BAC的平分线 AD=4 <3 ,解此直角三角形。4、RtAABC中，若 sinA= 4 , AB=10,那么 BC=, tanB=55、在 ABC中，/ C=90° , AC=6, BC=& 那么 sinA=6、在 ABC中，/ C=90° ,sinA= 3 ,则cosA的值是（5925c 16D.25ClFLl北京市朝阳外

26、国语学校第二十四章 圆 初中数学教研组2011级28. 2解直角三角形(2)【学习目标】：了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.：逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.：渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识一、自主复习：1 .解直角三角形指什么？2 .解直角三角形主要依据什么？(1)勾股定理：(2)锐角之间的关系：(3)边角之间的关系:二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水 平线下方的角叫做俯角.#三、知识运用：例3 2003年10月15日神舟” 5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图，当飞船运行到地球表面上 P点 的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置 也样的最远点 与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400 km,结果精确到0. 1 km) 例4热气球的探测器显示，从热气球看