数学实验教学与MP_Lab的应用

1、數學實驗教學與MP_Lab的應用* "應用MP-Lab促進學生數學知識建構高級培訓暨優秀說課案例評選活動頒獎大會" 南京 2008/11/07澳門數學教育研究學會 副會長澳門培道中學 副校長韋輝樑2008/11.mo一. 數學實驗教學知識在人腦中是以一種認知結構的形式存在。學習是建構知識意義的認知結構的過程, 是人腦內部的一種活動, 它由外部刺激引起, 經過分析、搜索、類比、推理、綜合、歸納、記憶等複雜的內部心理歷程, 逐漸形成對知識的某種具有結構性特徵的認知, 經過一磚一瓦的認知過程, 最後建構成人腦中的知識大廈。   

2、;  在課堂上, 向學生發出外部刺激, 引發和幫助學生學習的過程就是課堂教學。在學習過程的各式各樣外部剌激中, 經驗, 例如經歷、操作、活動、體驗、實驗、練習等是最有效的外部刺激。活動、實驗、操作、練習等教學方式是一種有利於引發和幫助學生學習的教學模式。     盡管數學實驗教學早已有人提出, 過去, 基於技術條件和課堂條件難於實現, 傳統的黑板粉筆教學模式, 直到現在仍然占著主流地位，在40分鐘課堂時空內的數學實驗仍然難以實現。現今, 資訊技術的發展提供了重新研究數學實驗教學的條件和時機。數學實驗教學是一種基於某種技術條件的教學模式，在動態的數學實驗環

3、境中，採用探究式或發現式教學法，以幫助學生主動地建構對知識的認知，形成人腦中的認知結構。數學實驗教學是建構主義學習理論在數學學習中的體現。二. 數學實驗教學的形式和教學法 數學實驗教學的基本形式可以有三種:1. 學生實驗(1) 數學實驗課與物理實驗課十分相似:物理實驗課數學實驗課說明實驗課的環境1. 實驗室環境2. 操作一定的實驗儀器或設備1. 電腦室或數學實驗室2. 操作一定的軟件或數學模型MP_Lab就是一種數學實驗環境。實驗課的目的1. 體會或理解課堂學習的物理現象和規律2. 驗證課堂學習的物理定律3. 探索、發現新的物理知識1. 體會或理解課堂學習的數學定理2. 驗證課堂學習的數學知識

4、3. 探索、發現新的數學知識實驗課可以有3類目的。實驗課的過程1. 操作儀器、設備；2. 對現象或數據進行觀察、分析、歸納；3. 理解、驗證、發現物理定律，從而獲得物理知識。1. 操作軟件或其他數學模型；2. 對現象或數據進行觀察、分析、歸納；3. 理解、驗證、發現數學定理或規則，從而獲得數學知識。過程是相同的，通過操作、觀察、分析、猜想、驗證、歸納而獲得知識。實驗課的形式在實驗室進行，學生自行操作並完成實驗報告。在實驗室進行，學生自行操作並完成實驗報告。強調學生動手操作和實驗報告；實驗課的地位作為課堂教學的補充或延伸，實驗課沒有取代課堂教學。作為課堂教學的補充或延伸，實驗課沒有取代課堂教學。

5、實驗課不取代課堂教學(2) 數學實驗環境和MP_Lab進行數學實驗課關鍵的是，有甚麼工具、儀器、設備或軟件適合作為數學實驗的環境。一個好的數學實驗環境應該具備下列一些要素:² 數學實驗環境應能清晰地表達所研究的數學問題，並且要符合數學的有關約定。² 數學實驗環境應能迅速地提供大量有關數學概念和規則的正例，以幫助學生形成概念和掌握規則。² 數學實驗環境對所研究的數學元素應能進行動態操控和動態測量，具有實時反饋和同步互動的功能。² 數學實驗環境允許在實驗過程中隨時添加某些可操控的數學元素，以幫助解決問題的探究。² 數學實驗強調，可以讓學生直接操作，

6、而不是眼看手勿動的。"傻瓜型"是學生可以直接操作的必要條件。數學實驗環境不應該是包羅萬有的，而應該像物理實驗分為力學的、電學的、光學的那樣，數學實驗環境可以分為小學圖形的、整數的、分數的，中學平幾的、代數的等等。這些數學實驗環境可以由電腦軟件提供、也可以由實物模型或其他形式提供，這裡有一個廣闊的研究和開發的天地。MP_Lab是一套電腦軟件，它滿足了數學實驗環境的諸要素。MP_Lab提供一個適合於小學數學特別是圖形教學的數學實驗環境。根據數圖結合的教學原則，小學數學幾乎都可以而且需要與圖形結合進行教學，因此，MP_Lab可以作為整個小學數學實驗教學的平台。(3) 數學實驗課的

7、教學法要點² 數學實驗課的教學方法要點是，在實驗過程中教師除了要適時啟示之外盡量少講，學生盡量通過操作進行探索、試驗、思考、分析，通過歸納形成猜想。² "實驗報告"是數學實驗課的教材，它包括幾項基本內容: 操作步驟、測量、觀察、發現、分析、猜想或結論。老師不要預設實驗結果，實驗報告中屬測量性、結論性的地方留以空白，讓學生填寫。課堂上未能完成的實驗，可以作為回家作業，並鼓勵家長與學生一道完成。² 學生的操作培訓，可以配合資訊技術課，在電腦課學習MP_Lab的有關操作。數學實驗課不要變成電腦操作課。² 不是書本上所有教學內容都適合實驗教學

8、。例如一些屬於邏輯推理的課題、演譯運算的課題，對這些課題紙筆仍然是必須的工具。2. 演示實驗(1) 在普通課堂上，教師操作、學生觀察，教師啟示學生進行分析、歸納和總結。這也是數學實驗教學的一種模式 - 演示實驗教學。教室具備電腦及投影設備是必要的硬件條件。軟件仍然可以用MP_Lab，也可以用其他適合的軟件。(2) 作為實驗教學，結論都不要預設，必須經過操作、觀察、試驗、分析、思考、歸納和總結幾個步驟，最後才導至結論。探索式、發現式教學法是演示實驗課的主要教學法。(3) 在現有教材中，結論是和盤托出的，甚至加上特別的標誌。進行實驗教學需要改革現有教材，在要下結論的地方留以空白，讓學生通過留心觀察

9、教師操作實驗之後再填寫。這裡，教材的改革將會有大量的工作要做。(4) 演示實驗要充分利用MP_Lab圖形變換(平移、旋轉、拉伸、縮放等)的功能，對克服印刷教材必然導至的圖形定勢，對培養學生靈活思考和創意發揮有著重要的作用。(5) 演示實驗教學不要把實驗過程事先製作成課件。現今大多數資訊技術教學，教師都是課前製作好課件，上課時打開課件，按預設的程序向學生講授。一切都是預謀的，探索、發現失去了動力而流於形式。即時操作，實時反饋，臨時嘗試，隨機應變，是一切實驗的基本武功，不要把"實驗"最精華的武功廢去。MP_Lab的傻瓜型設計，實時反饋的功能有助於你廢去課件。3. 課堂外的數學創

10、意實踐活動源於教材而又高於教材，是課外數學實踐(實驗)活動的指導思想。例如:² 學習完基本圖形之後可以進行"由圓構圖"、"七巧板圖形設計"、"十五巧板圖形設計"的設計比賽；² 學習完"四邊形內角和等於360°"之後，可以進行"密鋪圖形設計"比賽；² 學習完軸對稱之後進行"軸對稱圖形設計"比賽；² 學習完軸對稱之後加插旋轉對稱並進行"旋轉對稱圖形設計"比賽；² 學完基本立體圖形之後進行"立

11、體模型展開圖設計"比賽。² 學完圖形變換(平移、旋轉、縮放)之後，進行"圖藝創意設計"比賽。還可以想出更多的創意設計比賽活動，這些活動都是源於教材而又高於教材，而且都具廣闊的創意空間。MP_Lab對這些圖形設計都有非凡的功能和非常成功的先例。三. "概念" 的教學哪一類的知識適於採用數學實驗教學 ? 小學數學是學生接觸數學殿堂的初步，概念性的知識較多，感性的認知多於理性的思維。概念的教學宜於採用實驗教學法。異分母分數的比較和運算通分概念分數單位同單位可比同單位可運算整數單位概念通常通過文字陳述來表達，多屬於陳述性知識。"概念

12、"從字面上看是"大概的意念"。意念源於形象思維，在一個動態圖形環境中學習概念知識最為唿合人腦的認知過程。實物、模型是最好的動態圖形環境，由資訊技術提供的動態圖形環境是實物、模型之外的最佳選擇。MP_Lab就是一個這樣的動態圖形環境。概念的教學首先要提高教師對概念意義的認識，理解概念的知識結構。然後通過動態圖形引發學生的形象思維，構建對概念意義的認知。下面以"通分"概念的教學為例加以說明。1. 通分概念的知識結構"促進知識建構"，建構甚麼? 建構一個認知結構，如果人腦中對知識的認知結構與科學知識的結構唿合，那麼他的認知結構是優

13、良的否則就是不良的。不良的的認知對後面的學習會有很大的負面影響。一項知識的知識結構是指他在這座知識大廈中的地位。具體(較為局部)地，是考察該項知識的"乘前和啟後"。乘甚麼前，啟甚麼後。通分概念的知識結構可用右圖表示。通分概念是"異分母分數比較和運算"的基礎；通分概念又是建立在"分數單位"和"同單位可比、可運算"的基礎上。2. 原有書本教材的缺點和一點建議書本教材在教授整數時沒有提及數的單位。整數3的單位是甚麼? 書本沒有提及。到分數時，出現了的單位是的說法，這就顯得有點"從天而降"了。我們知道，

14、數是由度量得來的，數的大小依賴於度量的單位。2公里和200公尺中的數2和200是用不同單位度量得來的，我們不能簡單地由2和200說明2公里比200公尺短，更不能用 200 - 2 來計算他們的差。每一個數的背後都有一個單位。無名數有沒有單位? 實數軸的結構包括一條直線，一個原點，還有一個單位。可見實數也有單位，實數的單位是1。作者在此建議，老師在教授分數單位之前要補充提及: 整數是有單位的，整數3是以1為單位度量得到的，3就是3個1，3的單位是1。然後再講分數的單位是，3個就是。3. 通分概念教學的幾個基本問題(1) 為甚麼要學通分 - 為了對異分母分數進行比較和運算 (2) 甚麼是通分 -

15、本知識點所在(參閱下文)(3) 怎樣進行通分 - 下一個知識點(本文從略)這三個W(why, what, How)是概念教學的基本問題。4. 本質上和形式上的通分概念在講通分概念之前，老師要舉例說明"同單位才可比，同單位才可加減"。然後啟示性提問，的分數單位是甚麼，的分數單位是甚麼。引導學生思考如果我想對這兩個分數進行比較會有甚麼問題? - 不能直接比較，因為分數單位不同；怎麼辦 ? 要想辦法化為相同單位的分數 - 盡量讓學生回答 - 一種策略思維的培訓。由此理解通分概念的本質: 把兩個不同單位的分數化為相同單位的分數。5. 形象思維與形式邏輯可以用圖形來表示"通

16、分"的本質概念。通過形象思維促進學生對概念(本質)知識的建構。在此MP_Lab可以大派用處了。先作出1/3和1/4的分數單位，再分割使成相同的1/12的分數單位。教師不要預製圖形，圖形的出場要與學生思維同步。此外，因為分數單位的分子總是1，"化為相同分數單位的分數"在形式上看就是"化為同分母"。這樣，可以將通分概念形式化: 把兩個不同分母的分數化為同分母分數。他只著眼於形式上分母是否相同，是一種形式邏輯。形式邏輯是數學科學的寶貝之一，學生要學會形式邏輯，它方便記憶和高效率的優點對學好數學，特別是應對考試、紙筆解題十分重要，它的特點是"

17、照套"，快速地套得結果。但是，形式邏輯有一個缺點，它掩蓋了事物的本質，跨越了事物的根源，只需要記憶和熟練，形式邏輯太過泛濫也不是好事。6. 對"通分"概念教學的反思如上所述，這裡有兩種教學法教學法1(1) 和能不能比較? - 不能，因為分母不同。(為甚麼分母不同不能比較? 蒙過去了。)(2) 怎麼辦? - 化為同分母 - 這個過程叫做通分。教學法2(1) 和能不能比較? - 不能，因為分數單位不同，而同單位才可比。(2) 怎麼辦? - 化為相同分數單位的分數 - 這個過程叫做通分。(3) 為方便記憶，通分也可以說成是"化為相同分母分數"的過程。

18、兩種教學法的比較。(1) 前者簡單，效率高。不需用MP_Lab或其他工具，黑板粉筆可以解決問題。(2) 後者講清楚了通分概念的本質，幫助學生明白問題的來攏去脈，理解通分的本質，達到意義的建構。其中用到了MP_Lab作為演示工具。兩者比較，後者對前者作了一些帶本質性的補充，在時間效率上看，多用了一些課堂時間。但是從教學理念上，基礎教育的數學教學，要不要讓學生學習一些"研究數學"的方法? 還是只需要讓學生學會形式上照套即可? 這個問題當前在教育界還是有爭論的。數學實驗教學和MP_Lab有用沒用恐怕也免不了有一番爭論。四. 結語目前，應試仍然是主流的教學目標，"數學素質"還難以評測，紙筆解題仍然是數學學習質量評估的主要手段。雖然，數學實驗教學是近年數學教學的熱門話題，尚未形成數學教學的主流，實驗環境還有待進一步開發，推廣應用還需要時間，教材改革也需要配合。此時推廣和實踐數學實驗教學的學校和老師，都是