向量问题的研究性学习课例

1、向量问题的研究性学习课例格致中学 王国伟一、设计理念1、自2006年上海市全面实施新教材以来，数学教师的教学理念、方法有了很大的改变。而2009年上海市高考数学学科的考试要求中也提出了对学生数学探究能力考查的要求。提高学生的探究能力，仅通过高三一年的学习、强化是不够的，这就要求数学教师在高一、高二的教学中就能够注重这一方面能力的启发和训练。2、挖掘有研究价值的教学素材数学教学抓好“双基”，这是培养能力的根本，也是学生探究问题的基础。因此，我们的课堂教学不可能把所有问题都让学生去研究，因此如何选好有研究价值的教学素材，显得尤为关键。我认为有研究价值的素材，首先应该在一个阶段的知识点教授完毕后，学

2、生对这一阶段的所学内容已经有了较为全面的理解和掌握之后才能进行。其次，有研究价值的教学素材，它不应该是个孤立的知识点，而是应该与高中阶段其他知识有密切联系，我们既可以通过新的知识来研究已学的其他知识，也可通过新旧知识的结合来研究一个新的问题。如在对向量问题的研究过程中，不仅大量用到了三角的有关概念及运算性质，还牵涉到不等式、函数等知识点及相关性质，可以说，所涉内容涵盖了高中阶段大部分代数知识点。再次，有研究价值的教学素材，应该体现一定的数学思想方法。其中函数与方程的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、归纳、类比、化归的思想等数学思想方法一直是高中数学教学中重要的数学思想方法，这些思想方法的理

3、解和掌握，对学生的数学能力的提高有着非常重要的作用。而“向量”正是沟通代数与几何的工具，有着非常直观的集合意义，是数与形的完美结合，研究向量问题是始终与数形结合的数学思想紧密联系在一起的。同时，当教师引导学生通过对特殊情况的研究，逐步从简单到复杂、从特殊到一般，将研究问题推广到一般情况，在此过程中，充分体现了分类讨论、归纳及化归等数学思想方法。3、创设有研究价值的问题情境在选好有研究价值的教学素材后，很重要的一方面是看学生能否提出有研究价值的问题。这时，一个好的问题情境的创设尤为关键。一个好的问题情境，不仅能使学生清楚这类问题所涉知识点、基本量及基本量之间的关系，而且还能引起学生对问题再深入研

4、究的兴趣，以此激发学生的学习潜能。因此，我在“向量问题研究课例”这一课题的教学中，我所创设的问题情境是一个数学问题：若向量满足，且两个向量的夹角为，求的值。这个问题解答有多种方法和途径，通过这个问题的提出，可以复习向量数量积的运算性质、向量加、减法的几何意义及向量的坐标表示，而这些恰是向量问题中的基本知识点，显然这是这类问题深入研究的基础。(下面是课堂教学中学生自主提出的研究问题，解答也是学生独立或小组合作完成的)二、学生开展研究性学习摘录1、探究原问题的逆向问题。在上述题目中，已知三个确定的量，求第四个量的值，若将所求的量作为条件，原来已知三个量中的一个作为结论，则可得新的问题。探究一：若向

5、量满足，且，求两个向量、的夹角。解：（利用数量积的运算性质）设、的夹角为。，解得：，由，可得：向量、的夹角为。说明：在研究与向量模有关的问题时，运用数量积的运算性质来解决问题是常用的方法。探究二：若两个非零向量满足，和的夹角为且，求的值。解：，化简此方程可得：，解得：或。说明：问题中由于两个向量所在平行四边形的夹角固定，且对角线的比固定，因此有两种情况，实际为相似图形。因此本题若将条件改为已知，求，可得：或； 从代数形式上看，当问题逆向提出时，原来将数据代入公式中，转变为当前解方程的情况，当方程为二次时，可能出现两解： 由于每个问题都涉及等式，（在坐标运算时有同样算式）涉及到、及这四个量，已知

6、其中三个量，可通过等式求出第四个量（有时答案不唯一）。结合图形来看，平行四边形的两条邻边、夹角及对角线长度的比值这四个量，已知其中三个量，图形唯一确定（或形状唯一确定），因此可以求出第四个量。那么如果我们在研究这类问题时，已知条件只确定了四个量中的两个，其它的值还能确定吗？探究三：若两个向量的夹角为且，求的值。这个问题可顺着变式二的思路紧接着提出，即：当一个平行四边形的两条对角线长的比值及一个内角确定时，这个平行四边形的形状是否确定？要研究这个几何问题，我们可提出怎样的问题，并如何通过向量来解决？解：由题意知：即令，则上式可化为即，解此方程可得：或，即或。说明：根据所给条件，或这两个量的值是无

7、法确定的，但它们的比值却可以确定，从图形上来说，在给出了一个平行四边形的两条对角线长的比值及一个内角的值后，这个平行四边形的形状是确定的，因此这些平行四边形的两条邻边之比也就确定了。探究四：已知两个向量满足，求的取值范围。解：设，则，由，可得：，解此不等式可得：，。显然当即与同向时，有最大值5；当即与反向时，有最小值。说明：从上述解题过程可以看出：当变化时，的大小随之变化，因此本题若给出 的取值范围，同样可得的取值范围。探究五：已知两个非零向量的夹角为，且，求的取值范围。解：设，则 ， 显然当时，取得最大值。说明：题目中非零向量这个条件若省略，则取值范围为；从变式四、五这两个变式可以看出：当已

8、知所给条件缺少时，即只给出前三个量中的两个值，此时已无法求出的确定值，但问题同样可以研究，只不过对象变为对它的取值范围的研究； 在这种情况下，要研究的取值范围，可通过等式将用第四个量来表示，由第四个量的条件（或隐含条件，如变式四中，变式五中），通过函数、不等式等性质，求出它的取值范围。探究六：已知两个向量满足（或），且，求这两个向量的夹角的取值范围。解：由已知可得：即化简上式可得：即（）当且仅当时，取得最小值，又，。另：当已知为时，方程可化为当且仅当时，取得最小值，又，。说明：当已知所给条件缺少时，即只给出前三个量中的两个值，此时已无法求出其它两个量的确定值，但问题同样可以研究，只不过对象变为

9、求它们的比值或其它量的取值范围的研究； 在所给条件不充分时，要研究某个量的取值范围，可通过等式将这个量用第四个量来表示，由第四个量的条件（或隐含条件），通过函数、不等式等性质，求出它的取值范围。2、研究开放度更大的问题 若四个量中仅确定一个量，此类问题还能如何研究呢?探究七：（对探究五的深入研究）若两个非零向量的夹角为，求的取值范围。解：设，令则，同样可得：，显然当且仅当时，取得最大值。说明：与探究五相比，探究七中少了一个量的值，但得到的结果完全相同，这是由于当两个向量的夹角确定时，即两个向量所在平行四边形的一个内角确定时，这个平行四边形的两条对角线的长度之比只与平行四边形的邻边长度之比有关。

10、探究八：（探究七的再研究）若两个非零向量的夹角为，求的取值范围。解：设，令，当时，即此时；当时，当且仅当时有最大值；当时，；当时，当且仅当时有最小值；当时，说明：探究八中所给条件为一个参数，因此在研究过程中要进行分类讨论； 探究八为前几种情况的一个推广，是前几种情况的一般情况，显然前几种情况是它的特例。对于本课所研究的向量问题，若只给条件，则对两个非零向量的夹角，我们可以提出什么问题？应如何研究？探究九：若两个向量满足条件，求这两个向量的夹角的取值范围。解：由已知：即：化简可得：，即，当且仅当时，取得最小值。又，。探究十：若两个非零向量满足条件，求这两个向量的夹角的取值范围。解：由已知：即：化简可得：即， 当时，当且仅当时，取得最小值， 此时；当时，；当时，当且仅当时，取得最大值， 此时。三、开展研究性学习的体会1、开展研究性学习是激活课堂的有效途径。开展研究性学习较好地体现了学生的主体地位，把主动获取知识、发现、创新的权利还给了学生。2、切实培养了学生提出问题、解决问题的能力。本研究课例中学生提出的问题都有一定的思维容量，解决问题的方法也灵活，学生研究过程中建构知识、掌握数学思想