我《量子力学》复习提纲

1、第 1 页 共 14 页量子力学复习 提纲一、基本假设1、（1）微观粒子状态的描述（2）波函数具有什么样的特性（3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5

2、、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。第一章 绪论1、德布洛意假设：德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果：i2、德布洛意平面波： h(vprr-Et)yvp=Ae3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射：第 2 页 共 14 页附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1量子力学中用波函数描写微观体系的状态。2波函数

3、统计解释：y*ydt若粒子的状态用y(r,t)描写，r=y2dt表示在t时刻，空间r处体积元dt内找到粒子的几率（设ry是归一化的）。3态叠加原理：y,y2,LynL是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加设1nn也可以说,当体系处于态 时，体系部分地处于态ny=cnynn也是体系的一个可能状态。 y=cyy1,y2,LynL中。4.任何一个波函数y(r,t)都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。5波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： ryh22vih=-y+V(r,t)yt2mvV(r)不显含时间t时，其解是定态解 当势场2hvHyn=Enyn满足定态薛定谔方程 其中H=-2+V(r,

4、t)2myn(r,t)=yn(r)e-iEtnvvhv,yn(r)注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。6波函数的归一化条件：ydt=1（对整个空间积分）相对几率分布：波函数常数因子不定性；y(r)cy(r)波函数相位因子不定性：2 （全）2vv第 3 页 共 14 页7波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。vih*j=yy-yy8几率流密2m()vr*r=yy+j=0度与几率密度 满足连续性方程 t9.定态所需的条件 ：10一维无限深方势阱（1）若 0,0xaV(x)=x0或xa, 2npx222sin,nphy=aEn=,n=1,2,3,L本征函数an本

5、征值22ma0,xa0,（2）若11.自由粒子波函数（推导过程）V(x)=xa ,1npsin(x+a),n=1,2,3,.xa222nphy=a2a则本征值本征函数 nEn=20,8maxa11E=n+n12一维谐振子本征值V=mw2x222nn本征函数 y=Ne-a12x2213、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中）三维各向同性谐振子的能级和波函数。0xax0或xahw，n=0,1,2,L,Hn(ax)Nn=2nn!a=mwh3E=n+n+n+hwxyz能级 nxnynz2nx,ny,nz=0,1,2,Lynnx ynz=NnxNnyNnze-a22rHnx(ax)Hny(ay)Hn

6、z(az)第三章 量子力学中的力学量第 4 页 共 14 页1量子力学中的力学量用线性厄米算符表示，并且要求该算符的本征函数构成完备系。2.厄米算符A的定义：*yAjdr=(Ay)jdrvv此为坐标表像中的表示式厄米算符的本征值是实数。厄米算符的属于不同本征值的本征函数一定正交。附：力学量算符的本征函数系满足正交、归一、完备、封闭等条件。3力学量的测量值：在力学量F的本征态中测量F，有确定值，即它的本征值；在非F的本征态f中测量F，可能值是F的本征值。将f(x)用算符F的正交归一的本征函数展开： f(x)=cynn2n(x)+clyl(x)dxcl则在f(x)态中测量力学量F得到结果为n的几率

7、为n，得到结果在ll+dl范围内的几率为cldl2。 *cn =yn(x)f(x)dxFyn=lnyny=lyFll,*cl=yl(x)f(x)dx=f*(x)Ff(x)dx力学量的平均值是 或 =lncn+lcldln22附：本书中五个基本原理(r,t)波函数 y（1）量子力学中态的表示（2）态叠加原理：（3）定态薛定谔方程：（4）力学量与算符的关系：（5）自旋：4 连续谱的本征函数可以归一化为d函数。5简并：属于算符的某一个本征值的线性无关的本征函数有若干个，这种现象称为简并。 r算符的属于本征值简并度：F简并。 ln的线性无关的本征函数有f个，我们称F的第n个本征值ln是f度vviprh

8、vp6 动量算符的本征函数(即自由粒子波函数)v=(2ph)yp-32e*ypv(r)ypv(r)dt=d(p-p)vvvv第 5 页 共 14 页正交归一性7 角动量z分量 Lz=-ihjym(j)=1本征函数 2peimj,m=0,1,2,LLz的本征值 Lz=mh8 平面转子（设绕z轴旋转） 课本P101 3.5题H=L2z=-h2d2哈密顿量 2I2Idj2ym(j)=1eimj,m=0,1,2,L能量本征态 2pm2h2E能量本征值 m=2I9 (L2,Lz)有共同的本征函数 球谐函数Ylm(q,j)：Ymlm(q,j)=(-1)NmlmPl(cosq)eimjNl-m!2l+1!l

9、m=4pl+m!,(l=0,1,2,L;m=0,1,2,L,l)L2Ylm(q,j)=l(l+1)h2Ylm(q,j)LzYlm(q,j)=mhYlm(q,j)1L2的本征值为l（l+1）中心力场中，势场V(rv)=V(r),Lv,H=0，角动量Lv为守恒量。10中心力场中，定态薛定谔方程h212r+L2-+V(r)2mrr22mr2y=Ey选(H,L2,Lz)为体系的守恒量完全集，其共同的本征函数为y(r,q,j)=R(r)Ylm(q,j)l=0,1,2,L,m=l,l-1,L,-l20120408.第 6 页 共 14 页11氢原子 me41e21E=En=-22=-,2 2an2hnn=

10、1,2,3,La=h2me2(玻尔半径）ynlm(r,q,j)=Rnl(r)Ylm(q,j) R径向函数，Y球谐函数 n l m 的意思如下能级简并度 fn=n2ehmehM=-=-mm,m=Bohr轨道磁矩（zBB2mc2mc为玻尔磁子）MzMze旋磁比 =-Lzmh2mcEn=-2类氢离子 me4Z22hn26第 7 页 共 14 页12 守恒力学量的定义：若（即力学d=0量F的平均值不随时间变化），则称F为守恒量。 dtd1F=F,H+iht 力学量F的平均值随时间的变化满足dt=0， 且 F,H=0 因而力学量F为守恒量的条件为：13宇称算符Ftrry(rP)=y(-r) 宇称算符的定

11、义：本征值本征函数。注：宇称出现在一维无限深势阱、自旋中。14 对易式定义： A,BAB-BA15 对易式满足的基本恒等式：A,B+C=A,B+A,CA,BC=BA,B+A,BCAB,C=AB,C+A,CBA,B,C+B,C,A+C,A,B=0（Jacobi恒等式）16 一些重要的对易关系：x,x=0,p,p=0,x,p=ihdababababxgxbL,p=eihpgbabgaLbLg L,L=ihLxy2z,s,s=ihsxy2z,2J,J=ihJxyz s,s=0,J L,L=0,aa,Ja=0 附：要会证明对易关系注：量子力学证明题多关于算符和自旋。17若算符A、B对易，即A,B=0，

12、则A和B有共同的本征函数系。在A和B的共同的本征函数表示 7第 8 页 共 14 页的态中测量A、B，都有确定值。18.不确定关系:若算符A、B不对易，即A,B0，则必有(DA)2(DB)212A,BDADB12A,B简记为特别地， DxDpx2第四章 态和力学量的表象1 Q表象是以Q的本征函数系un(x)为基底的表象，在这个表象中，有Qun(x)=Qnun(x)y=an(t)un(x)a1(t)y=a(t)2L,y+=(a*(t),a*12(t),L,an(t)an(t)算符F对应一个矩阵（方阵），矩阵元是Fu*nm=nFumdx，选定表象后，算符和量子态都用矩阵表示。 平均值公式是=y+F

13、y，归一化条件是y+y=I，本征值方程是Fy=ly。附：在自身表象中表示算符的矩阵为对角矩阵。2 幺正变换：在量子力学中，两个表象之间的变换是幺正变换，满足S+=S-1；态的变换是b=S+a； 算符的变换是F=S+FS。幺正变换不改变算符的本征值。附：在自身表象中，本征函数是函数。第 9 页 共 14 页附：证明某个算符势厄密算符坐标表像中用厄密算符的性质*yAjdr=(Ay)jdrvv来证明。+-1任意表象中则用幺正变换（即：表示算符的矩阵的转置共厄等于算符本身）S=S来证明。3 量子态可用狄拉克符号右矢A或左矢A表示。狄拉克符号的最大好处是它可以不依赖于表象来阐述量子力学理论，而且使用十分

14、方便。基矢的完备性： nnn=I,dxxx=I,坐标表象 狄拉克符号(1)Fy(x,t)=f(x,t)(2)ihy(x,t)=Hy(x,t)tFy=fihy=Hyt(3)Hun(x)=Enun(x)*(4)um(x)un(x)dx=dmnHn=Ennmn=dmn(5)y(x)=cnun(x)n*(6)cn=un(x)y(x)dxy=cnnncn=ny=F(7)=y*(x)Fy(x)dx(8)y*(x)y(x)dx=1y=1第五章 微扰理论1定态微扰理论第 10 页 共 14 页适用范围：求分立能级及所属波函数的修正。适用条件是：一方面要求较易计算，另一方面又要求算收敛较快，即H0的本征值和本征

15、函数已知或H0把H的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰H比较小，以保证微扰计Hnk1(0)(0)Ek-En（1）非简并情况H=H0+H(0)+Ek=Ek+HkknHnkE(0)k2(0)n-E+L(0)yk=yk+nHnk(0)n+L(0)(0)Ek-En（2）简并情况能级的一级修正由久期方程(1)-EkdetHmndmn=0即(1)-EkH11H21H12L(1)-EkH22LLHfk2fkH1fkH2LHfk1(1)fEk给出。有k个实根，记为LL(1)LHffff-Ek=0(1)Eka,a=1,2,L,fk，分别把每一个根E零级波函数(1)ka代入方程 n=1-Eadmn)an=0(H

16、mn(1)kfk，即可求得相应的解，记为aan，于是得出新的aann相应能量为kn=fkn)Ek=Ek(0)+Ek(1a2变分法第 11 页 共 14 页dH=0选择尝试波函数f(l)，计算H的平均值H，它是变分参量l的函数，由极值条件dll0出l0，求出H(l0)，它表示基态能量的上限。3由k的跃迁几率是t2Wkm(t)=a(t)2m=1Heiwmkth2mkdt此公式适用的条件是Wkm(t)Enlj=l-1/2。例如 由于3p1/23s1/2Na： 3p3/23s1/2还可以解释反常塞曼效应。附：只有考虑了电子的自旋光谱线的精细结构才能得到解释。13两个电子的自旋单态与三重态v(5896A

17、)(5890A) oo14. 两个角动量的耦合第 14 页 共 14 页vvvvvJ,JJ若12是两个独立的角动量，则=J1+J2也是角动量。(J(J21212),J2,J2,Jzj1j2jm,(耦合表象基矢2,J1z,J2,J2zj1m1j2m2)(无耦合表象基矢)C-G系数j1j2jm=j1m-m2j2m2m2C-G系数的性质：m=m1+m2，j的取值：15全同粒子（1）量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩、寿命等）相同的粒子称为全同粒子。（2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得全同粒子所组成的体系中，二全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。全同性原理或表述为交换对称性：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的。这就给描述全同粒子系的波函数带来很强的限制，即要求全同粒子体系的波函数具有交换对称性j1+j2,j1+j2-1,j1+j2-2j1-j2, F=FF=-FPijSS或者交换反对称性PijAA。（3） 全同粒子系的波函数的交换对称性与粒子的自旋有确定的联系。玻色子：自旋为h整数倍（s=0,1,2,L）的粒子，波函数对于两个粒子交换总是对称的，例如p介子（s=0），光子（s=1）。它们遵守Bose统计，称为Bose子。费米子：自旋为h半奇数倍（