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文档简介

1、精选优质文档-倾情为你奉上§3. 2 洛必达法则主要内容：洛必达法则； 重点分析：利用洛必达法则求未定式的极限；洛必达法则的适用条件；难点分析：洛必达法则与其它求极限方法结合使用求极限。一、型及型未定式解法：洛必达法则l 定义1 如果当时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么极限叫做未定式，并简记为。如重要极限就是型未定式的一个例子。此时“商的极限等于极限之商”法则失效。那其极限如何求？1：型未定式定理1(洛必达法则)：设2）在点的某个去心邻域内，及都存在且；3)存在（或为无穷大），那么。定义2在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法称为洛必达法则。证明：利用柯

2、西中值定理推导。注意:1. .若仍属型，且满足定理1条件，则。 且可以类推下去，直到求出极限。2.定理1中换为之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立。定理2 设：设2) 当时，及都存在且；3)存在（或为无穷大），那么 。注：定理2中把换成之一，条件2)作相应的修改，定理2仍然成立。例1例1 求解： 原式=1例2 求解：原式注意：上式中的，（因为已不再是不定式，不能对它再用洛必达法则）。在反复应用洛必达法则的过程中，要特别注意验证每次所求的极限是不是未定式，如果不是，就不能应用洛必达法则。又如例 3计算。解：。例 4计算。解：这是型，若用洛必达法则计算得： 。说明：由此认为极限不存在是错误的

3、。因为使用此法则计算极限时，必须有存在（或为无穷大）。显然对于此例这个条件不满足，因此不能用洛必达法则。事实上，注：不存在（或不为无穷大）时，不能用洛必达法则。考虑其他求极限方法计算。例5 分析：直接用洛必达法则分子的导数会变得很复杂，可结合无穷小转化为书本例1解：由于，所以(最后的等式利用法则)注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，例如能化简尽可能化简，可以用等价无穷小来 替代或可用重要极限时尽可能应用，效果更好.二、型未定式定理3.设 1) 2) 与在内(或时)可导，且 3)存在（无穷大）那么.注：定理3中的极限换成单侧极限，定理结论仍然成立。例 6求解：原

4、式=1。（无穷小替换）例7 求 解：（为什么a的范围不需要考虑）？例8 求解：原式 说明：n不为正整数的情形结论仍成立，可用夹逼准则证明(文科可不讲) 存在正整数k，使当x>1时，从而.例 5 求解：原式思考(补充知识)：如何求（n为正整数）(为子列，故极限为1)满足定理 条件的某些情况下洛必达法则可能不能解决计算问题，例如，例6计算(型)(先练习后讲解)解：由于不存在，故洛必达失效。 事实上，。？ 同时由这个例子也说明了的极限不存在，并不能说明的极限也不存在。三、其他 未定式：关于的极限的求法：通过恒等变形化为或型，再用洛必达法则。1) 2) 3)若 为:法一：可设，并做恒等变形为。再用洛必达法则计算，则。 法二：对两边取对数：化为型未定式。例9 求求 (型，取倒数)解： 原式例10 求(型，通分)解：原式例8 求

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