第二章 赋范线性空间

1、第二章赋范线性空间一 赋范空间的基本概念1 赋范空间的定义定义 设是域上的线性空间，函数：满足条件：1) 对任意，；且，当且仅当；2) 对任意及， (齐次性)；3) 对任意， (三角形不等式)称是上的一个范数，上定义了范数称为赋范(线性)空间，记为，有时简记为。 在一个赋范线性空间中，通过范数可以自然地定义一个距离，（1）称赋范空间这个距离是由范数诱导的距离，这个赋范空间是一个距离空间。2 赋范空间的基本性定理1.1设是赋范空间，则1） 范数是一个连续函数，即当时时，；2） 线性运算是连续的，即当及时，；当及时，定理1.2设是赋范空间，如果是完备的且级数+ (4)收敛，则级数收敛，且。反之，如

2、果在一人赋范空间中，任意无穷级数(4)收敛有级数收敛，则空间是空间。3 凸集凸集是线性空间中一个重要的几何概念，它在泛函分析中有着十分广泛应用。定义设是线性空间，是子集，如果对任意，及满足的数，称是中的凸集。从定义不难看出，任意个凸集的交集还是凸集。设是空间中任意子集，所有包含集的凸集交集是凸集，称这个凸集是集生成的凸集或集的凸包，记为。4 赋范空间的例例1空间。中按通常方式定义线性运算，即按坐标相加用数乘是线性空间，定义，其中例2 空间（见）二空间1不等式与不等式引理2.1设是正数，且满足（1）则对任意数（2）引理2.2（不等式）设是可测集，是上的可测函数，则有不等式（3）引理2.3（不等式

3、）设是可测集，是上的可测函数，则有不等式（4）空间设是上的可没集，是可测函数，。如果在上可积，称是上次幂可积函数，用表示所有上次幂可积函数的全体，其中两个几乎处处相等的函数看作是同一元，在中按通常方式定义线性运算，是线性空间，对于每一定义由不等式，它满足三角形不等式，至于范数的另外两条公理显然成立，所以是一个赋范空间。定理2.4是空间。定理2.5是可分的。3 空间设是上的可没集，是可测函数，如果存在可测子集，使得且在上是有界的，称在上本质有界的，用表示上本质有界可测函数全体。按通常方式定义线性运算，构成线性空间。同样地，在中两个几乎处处相等的函数看作同一元，在上定义不难验证，是的上范数，在中点

4、列按范数收敛于等价函数列在上除去一个零测度集之外一致收敛于，是一个不可分的空间。三赋范空间进一步的性质1赋范空间的子空间设是赋范线性空间，是的线性子空间，如果在中取原来上的范数，那么是赋范空间，称它为的赋范子空间。这里，不难验证赋范空间的任一完备子空间是闭子空间；空间的任一闭子空间是空间。2赋范空间的完备化如果一个赋范空间不完备，可以将其完备化。设是给定的赋范空间，作为一个距离空间有一个完备化。设，其中，是中的列，在中定义线性运算及范数：这时是一个空间，并且的一个稠密子空间等距同构。3赋范空间的商空间设是线性空间的线性子空间，对于，如果，则，不难证明“”是等价关系，对于，用表示以为代表的等价类，表示所有中元的等价类全体。在中定义线性运算：是一个线性空间，称这个空间为关于子空间的商空间，记为。定理3.1设是空间，是的子空间，则赋范商空间是空间。4赋范空间的乘积设，是赋范空间，在积集中按坐标定义线性运算，显然这时是一个线性空间。如果定义，定义不难验证是赋范空间，并且如果及都是空间，则也是空间。5赋范线性空间的基如果是一个有穷维赋范空间，则在中存在个线性无关元，使得中每一元唯一地表示为的形式。是线性空间的一个基。6等价范数设与是线性空间上两个范数，如果存在常数，使得对于每一个，称这两个范数与是等价的。四有穷维赋范空间定理4.1任意维赋范空