常微分方程习题集

1、 常微分方程测试题 1一、填空题 30%1、  形如                的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。2、  形如                 -的方程，称为

2、伯努利方程，这里的连续函数.n  3、  如果存在常数             -对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、  形如                      -的方程

3、，称为欧拉方程，这里5、  设的某一解，则它的任一解-                       。二、计算题40%1、  求方程2、  求方程的通解。3、  求方程的隐式解。4、  求方程 三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任

4、何不包含原点的区间a上的基解矩阵。2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>常微分方程测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是         .2、方程的通解中含有任意常数的个数为      .3、方程有积分因子的充要条件为  

5、0;  .4、连续是保证对满足李普希兹条件的     条件5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是     6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们      (有或无)共同零点   7、设是方程的通解，则     .8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解      

6、;  .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是         .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是         .二、求下列微分方程的通解：（40%）  1、2、3、4、5、求解方程三、求初值问题  的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组 

7、60;                         满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）        设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题 3   &

8、#160;                                                 &

9、#160;1辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）       （2）       （3）（4）      （5）      （6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程M(x, y)dx +

10、N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_. 3、单选题(14%)（1）方程是（           ）.(A)可分离变量方程             （B）线性方程(C)全微分方程   &

11、#160;             （D）贝努利方程（2）方程，过点（0，0）有（   ）.(A) 一个解                     （B）两个解  (C) 无数个解 

12、0;                 （D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（     ）.(A)y=±1, x=±1,                

13、(B) y=±1(C) x=±1                       (D) y=1, x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=(        ).(A)  &

14、#160;      (B)             (C)2            (D) e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（    ）线性空间（A）维      （B）维 

15、0;    （C）维      （D）维    （6）. 方程（    ）奇解（A）有三个      （B）无      （C）有一个      （D） 有两个（7）方程过点（   

16、0;）    （A）有无数个解            （B）只有三个解    （C）只有解         （D）只有两个解4.计算题(40%)  求下列方程的通解或通积分：    （1）.     （2）.&

17、#160;（3）.     （4）.                   （5）. 5. 计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程              

18、        的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>常微分方程测试题 4                             1辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）

19、60;      （2）       （3）（4）      （5）      （6）2、填空题(8%)（1）方程的所有常数解是_.（2）若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为_.（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是_.（4）.设M(x0,

20、 y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_3、单选题(14%)（1）方程是（           ）.(A)可分离变量方程             （B）线性方程(C)全微分方程          

21、0;      （D）贝努利方程（2）方程，过点（0，0）有（   ）.(A) 一个解                     （B）两个解  (C) 无数个解         &

22、#160;         （D）三个解（3）方程x(y21)dx+y(x21)dy=0的所有常数解是（     ）.(A)y=±1, x=±1,                 (B) y=±1(C) x=±1 

23、60;                     (D) y=1, x=1（4）若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=(        ).(A)         (B) 

24、            (C)2            (D) e（5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（    ）线性空间（A）维      （B）维      （C）维  

25、60;   （D）维    （6）. 方程（    ）奇解（A）有三个      （B）无      （C）有一个      （D） 有两个（7）方程过点（    ）    （A）有无数个解 

26、0;          （B）只有三个解    （C）只有解         （D）只有两个解4.计算题(40%)  求下列方程的通解或通积分：    （1）.     （2）. （3）.     （4）.&#

27、160;                  （5）. 5. 计算题(10%)求方程的通解6证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程                     

28、60;的非常数解，当时，有，那么必为或常微分方程测试题 5     一、填空题（30%）    1若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为                 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是       

29、       3连续是保证方程初值唯一的         条件一条积分曲线.    4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于          个，其中，    5二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是    

30、          6方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是                  7方程的所有常数解是                  

31、0; 8方程所有常数解是                   9线性齐次微分方程组的解组为基本解组的             条件是它们的朗斯基行列式    10阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为     

32、;          个二、计算题（40%）    求下列方程的通解或通积分：    1.     2    3     4    5    三、证明题（30%）1试证明：对任意及满足条件的，方程    

33、60;      的满足条件的解在上存在    2设在上连续，且，求证：方程的任意解均有3设方程中，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在常微分方程测试题 6一、填空题 （20%)1方程的所有常数解是                2方程的常数解是    

34、60;             3一阶微分方程的一个特解的图像是        维空间上的一条曲线4方程的基本解组是                二、选择题(25%)1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ &#

35、160;  ）个    （A）         （B）-1        （C）+1         （D）+22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（    ）条件（A）充分  （B）必要 （C）充分必要&#

36、160; （D）必要非充分3. 方程过点共有（    ）个解（A）一   （B）无数   （C）两    （D）三4方程（    ）奇解（A）有一个   （B）有两个  （C）无  （D）有无数个5方程的奇解是（    ）（A）  （B）  

37、0; （C）    （D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03. 4.    5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2. 3.   常微分方程测试题 7  一 . 解下列方程 (80%)1.      x=+y2.     tgydx-ctydy=03.

38、     y-x(+)dx-xdy=04.     2xylnydx+dy=0 5. =6-x6. =2 7. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。  8一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为）。试求此质点的速度与时间的关系。二 证明题 (20%)1.  &

39、#160;证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N试同齐次函数，且xM+yN0,则是该方程的一个积分因子常微分方程测试题 8 计算题 .求下列方程的通解或通积分 （70%）1. 2. 3. 4. 567证明题 （30%）8. 在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为9. 设在区间上连续试证明方程       

40、               的所有解的存在区间必为 10. 假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解求证：若<，则在区间I上必有 <成立常微分方程测试题 9一、填空题（30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程，它有积分因子_。、_称为伯努利方程，它有积分因子_。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关

41、的充要条件是_。、形如_的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是_。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（0，0）的第三次近似解6.求的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。常微分方程测试题 10一、选择题 （30%）1  微分方程的阶数是_2  若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_3   _

42、 称为齐次方程.4  如果 _ ,则存在唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中 _ .5 对于任意的 ,  (为某一矩形区域),若存在常数使 _ ,则称在上关于满足利普希兹条件.6 方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的存在区间是 _7 若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程 _8        

43、 若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _9         若为毕卡逼近序列的极限，则有_10     _称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换_，可化为伯努利方程二求下列方程的解 （35%） 求方程经过的第三次近似解讨论方程，的解的存在区间 4 求方程的奇解 5   6   7

44、   三 证明题  （35%）1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解 2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程 , 当 , 在上连续时,其解存在唯一<%建设目标%>常微分方程测试题 11一  填空题  （30%）。1、当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全        &

45、#160;        微分方程。 2、_称为齐次方程。3、求 =f(x,y)满足的解等价于求积分方程_的连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程 的解 y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是_。 6、方程组的_称之为的一个基本解组。 7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_ 8、满足_的点（），称为方程组的奇点9、当方程组的特征根为两个

46、共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定 的，对应的奇点称为_。 二、计算题（60%）1、求解方程：=2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算6、试讨论方程组   （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。 三、证明题（10%）。试证：如果满足初始条件的解，那么       &

47、#160; 常微分方程测试题 13 一、判断题（10%）1方程是恰当方程。                 （   ）2 是三阶微分方程。                  

48、60;             （   ）3是方程的通解。                        （   ）4函数组线性相关的充要条件是它们的伏朗斯基行列式等于零

49、。         （   ）5方程是二阶线性方程。                          （   ） 二、选择题（101方程定义在矩形域上，则经过点的解的存在区间是（

50、   ）。A        B         C          D2与初值问题等价的一阶方程组是_.A             B  C    

51、          D3方程（是一个函数矩阵）的解空间构成_维线性空间.An-1        Bn        Cn+1        D4微分方程的一个解是（  ）A         

52、     BC              D5方程有积分因子（   ）A    B    C    D 三、填空题（20%）1方程通过点的第二次近似解是_。2当_时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。3如果在    

53、60;     且              ，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中                 ，             。4若1，2，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则 满足一阶线性方程