第八讲 间隔和分段问题

1、(1)非封闭线的两端都有“点”时，“点数”“段数”1。(2)非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。(3)非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”“段数”-1。(4)封闭线上，“点数”=“段数”。最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。例如，一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树420÷31141(棵)。又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？由于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40÷220(棵)。再如，两座楼房之间相距30米，

2、每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形，能栽树30÷2-114(棵)。再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60÷320(盆)。许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。例1在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？解：这是第(1)种情形，所以，“段数”1019。这段路长为50×(10-1)450(米)。小精灵儿童答：这段路长450米。例2小明要到高层建筑的11层，他走到5层

3、用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100÷(51)25(秒)。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需25×6150(秒)。解：100÷(5-1)×(11-5)150(秒)。答：还需150秒。例3一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米。这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？解：车队间隔共有30-129(个)，每个间隔5米，所以，间隔的总长为(30-1)×5145

4、(米)，而车身的总长为30×4120(米)，故这列车队的总长为(30-1)×5+30×4265(米)。由于车队要行265535800(米)，且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要(265535)÷2400(秒)6分40秒。答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。例4下图是五个大小相同的铁环连在一起的图形。它的长度是多少？十个这样的铁环连在一起有多长？解：如上图所示。关键是求出重叠的“环扣”数(每个长6毫米)。根据植树问题的第(3)种情形知，五个连在一起的“环扣”数为5-14(个)，所以重叠部分的长为6×(5-1)24(毫米)，又

5、4厘米=40毫米，所以五个铁环连在一起长40×5-6×(51)176(毫米)。同理，十个铁环连在一起的长度为40×10-6×(10-1)=346(毫米)。答：五个铁环连在一起的长度为176毫米。十个铁环连在一起的长度为346毫米。例5父子俩一起攀登一个有300个台阶的山坡，父亲每步上3个台阶，儿子每步上2个台阶。从起点处开始，父子俩走完这段路共踏了多少个台阶？(重复踏的台阶只算一个)。解：因为两端的台阶只有顶的台阶被踏过，根据已知条件，儿子踏过的台阶数为300÷2150(个)，父亲踏过的台阶数为300÷3100(个)。由于2×

6、;3=6，所以父子俩每6个台阶要共同踏一个台阶，共重复踏了300÷650(个)。所以父子俩共踏了台阶150100-50200(个)。小精灵儿童网站网站 练习101.学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。(1)如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？(2)如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？(3)如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？2.一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈(仍为长方形)上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树？3.一根90厘米长的钢条，要锯成9厘米长的小段，一共要锯几次？4.测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每

7、隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？5.学校举行运动会。参加入场式的仪仗队共180人，每6人一行，前后两行间隔120厘米。这个仪仗队共排了多长？6.在一条长1200米的河堤边等距离植树(两端都要植树)。已挖好每隔6米植一棵树的坑，后要改成每隔4米植一棵树。还要挖多少个坑？需要填上多少个坑？7.一个车队以5米/秒的速度缓缓地通过一座210米长的大桥，共用100秒。已知每辆车长5米，两车之间相隔10米，那么这个车队共有多少辆车？上一页 奥数植树问题时间：2008-11-30 18:19:55基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两

8、端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数1棵距×段数=总长棵数=段数1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关植树问题例1   有一条公路全长为1250米，在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵槐树问：可栽槐树多少棵？思路分析：若以两棵槐树之间的距离用作分段的标准，公路长可分为若干段由于公路的两端都要求栽树，所以要栽的棵数比分成的段数多1例题解答：以25米为一段，公路的全长可分的段数为：1250÷2550(段)栽槐树的棵数为：50151(棵)答：可

9、栽槐树51棵方法指导：植树栽花，美化环境为了不浪费树苗和花卉，概括不同的需要，在栽种前应计算出栽树、栽花的棵数这样的数学问题我们把它称为植树问题本题是植树问题中植树线路不封闭的一种，并要求植树线路的两端都要植树那么路的全长、植树的棵数、间隔三量之间的关系是：棵数全长÷间隔长1全长间隔×(棵数1)间隔长全长÷(棵数1)只要知道其中的两个量，就可以求出第三个量例2   一个圆形池塘，它的周长是300米，每隔5米栽一棵柳树，需要树苗多少棵？思路分析：在圆周上栽树时，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起，所以可栽的棵数正好等于分成的段数例题

10、解答：以5米为一段，圆形池塘一共可分为：300÷560(段)所以需要树苗60棵答：需要树苗60棵方法指导：本题是植树问题中植树线路封闭的一种，在圆、正方形、长方形等闭合曲线上植树，由于首尾相接，两端重合在一起，所以全长、间隔数、棵数三量之间的关系是：棵数全长÷间隔数全长间隔数×棵数间隔长全长÷棵数只要知道其中的两个量，便可求出第三个量例3   在20米的路边种树，从一端起，每隔5米种一棵，一共需要种多少棵？思路分析：我们可以画出示意图：        &#

11、160;      从图上可以看出，每隔5米种1棵，20米长的路上共种5棵因为我们首先要在这条路的顶端种上1棵，然后每隔5米再种1棵，就是说要种的棵数比分的段数要多1例题解答：20÷51415(棵)答：一共要种5棵方法指导：例4   从公园通往湖心的小岛有一条长900米的小路，在小路的两侧从头到尾每隔15米栽一棵桃树，需要多少棵桃树？思路分析：这条路线是不封闭的，总长为900米，每两棵树之间的距离是15米，所以段数是900÷1560(段)题目要求从头到尾都栽树，所以一侧栽的棵数比分成的段数要多1，即601

12、61(棵)，那么小路两侧都种树的棵数就可以求出了(900÷151)×261×2122(棵)答：需要122棵桃树例5   学校进行100米短跑比赛，在100米跑道两旁，每隔10米插1面彩旗，两端都插，一共插了多少面彩旗？思路分析：路线不封闭总长为100米，以10米为一段，所以段数为100÷1010(段)，因为两端都要插，所以跑道的一侧插彩旗的面数是10111(面)例题解答：(100÷101)×211×222(面)答：一共插了22面彩旗例6   有16名学生排成一排，要求在每2名学生中间放

13、2盆花，需要摆放几盆？思路分析：如果每两名学生中间看作一段的话，那么16名学生共有15段，每一段放2盆花，就应该放2×1530(盆)例题解答：2×(161)30(盆)答：需要摆放30盆花例7   一条公路长500米，在路的两边每隔20米栽一棵树，起点和终点是站牌，不用栽树一共栽多少棵树？思路分析：栽树的路线不封闭，总长是500米，每两棵树间的距离是20米，所以段数是500÷2025(段)因为起点和终点都不用栽树，如下图所示：          &

14、#160;    所以要栽的棵数比分成的段数要少1，即路的一侧栽的棵数是25124(棵)那么路两边的棵数也就可以求出来了例题解答：(500÷201)×224×248(棵)答：一共栽48棵例8   植树节到了，同学们给一条长90米的小路的一旁栽树，每隔3米栽一棵(1)如两端都各栽一棵，需要多少棵树？(2)如只有一端栽树，需要多少棵树？(3)如两端都不栽树？需要多少棵树？思路分析： (1)路线不封闭，两端都各栽一棵，所以栽的棵数比所分段数要多1例题解答：90÷3131(棵)答：需要31棵树思路分析：(2)这题

15、段数是90÷330(段)，因为只有一端栽树，如下图所示：                 所以栽的棵树和所分段数相等例题解答：90÷330(棵)答：需要30棵树思路分析：(3)因为两端都不栽树，所以比上题少1棵例题解答：90÷3129(棵)答：需要29棵树方法指导：解植树问题就要弄清有几段在不封闭线路上植树时，如果两端都可以栽一棵树，那么植树棵数比所分的段数要多1棵数段数1；如果只有一端植树，那么植树棵数与

16、所分的段数相等，棵数段数；如果两端都不植树，那么植树棵数应比所分的段数少1棵数段数1例9   在一段公路的一旁栽95棵树，两头都栽，每两棵之间相距5米，这段公路长多少米？思路分析：以两棵树之间的距离为一段题目要求两头都栽，所以一共分为95194(段)，因为每两棵树之间的距离为5米，因此全长为5×94470(米)例题解答：5×(951)5×94470(米)答：这段公路长470米例10          某工厂在道路一侧插彩旗，每隔4米插1面彩旗，从起点到终点

17、共插了8面问工厂这条道路长多少米？思路分析：根据“从起点到终点共插了8面”，可以知道中间一共分了817(段)，每两面旗之间的距离为4米，所以道路全长是4×728(米)例题解答：4×(81)4×728(米)答：工厂这条道路长28米例11          实验小学三年级120名学生到展览馆观看爱国主义图片展览，他们排成两条纵队，前后两同学相距1米这条队伍首尾的学生相隔多少米？思路分析：120名学生排成两条纵队，可以求出每条纵队共有120÷260(人)，这相当于植树问题

18、中树木的棵数；“前后两同学相距1米”相当于每两棵树之间的距离因此，可以求出这条队伍的长度，即这条队伍首尾学生相隔的米数为1×5959(米)例题解答：1×(120÷21)1×5959(米)答：这条队伍首尾的学生相隔59米例12          某城市举行马拉松长跑比赛，从市体育馆出发，最后再回到市体育馆，全长42千米，沿途等距设茶水站7个，求每两个相邻的茶水站之间的距离思路分析：这实际上是一个在封闭路上的植树问题，总线长为42千米，共设有7个茶水站，因此总长被分为7

19、段，也就是段数为7要求每两个相邻的茶水站之间的距离也就是树距例题解答：42÷76(千米)答：每两个相邻的茶水站之间的距离为6千米例13          在40米长的走道一侧栽树，起点和终点都要栽一棵，一共栽了5棵，相邻两棵树之间的距离都相等，求相邻两棵树之间相距多少米？思路分析：根据“起点和终点都要栽1棵，一共栽了5棵”，可知40米长的走道平均分成514(段)，每段是40÷410(米) 例题解答：40÷(51)40÷410(米)答：相邻两棵树之间相距10米方法指导

20、：解以上这类题时，根据段数总长÷树距由此可得到总长树距×段数；树距总长÷段数例14          把一根木头锯断，要2分钟把这根木头锯成4段，要几分钟？思路分析：把1根木头锯断，也就是锯1次要用2分钟而把这根木头锯成4段，需要锯3次，也就是需要3个2分钟例题解答：2×(41)2×36(分)答：要6分钟例15          有三根木料，打算把每根锯成3段，每锯开

21、一处，需要3分钟，全部锯完需要多少时间？思路分析：一根木料锯成3段，只需在中间锯开2处，三根木料一共要锯开2×36(处)，每锯开一处要3分钟全部锯完一共需要3×618(分)例题解答：3×(31)×33×618(分)答：全部锯完需18分钟方法指导：锯木头问题、上楼梯问题等都可以用植树问题的方法来解答它们中就是考虑有几个间隔(或几层，或几次)，就相当于植树问题中考虑的有几段例16          一个圆形花坛，它的周长是320米，每隔8米栽一棵柏树，需要栽多

22、少棵？思路分析：这是在一条封闭的线路上栽树，由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵是重合在一起的，所以可栽的棵数正好等于所分的段数以8米为一段，圆形花坛的周围长度一共可分成320÷840(段)，即可栽树40棵例题解答：320÷840(棵)答：需要栽树40棵例17          一个湖泊周围长1800米，沿湖泊周围每隔3米栽一棵柳树，中间栽一棵桃树，湖泊周围各栽了多少棵柳树和桃树？思路分析：在封闭线路上植树，每3米为一段，柳树棵数等于段数又每两棵柳树中间栽一棵桃树，也就是每段栽一棵桃树，

23、所以桃树的棵数也和段数相等例题解答：1800÷3600(棵)答：湖泊周围柳树和桃树各栽了600棵例18          有一个池塘，绕着它的周围走一圈是4500米，要求每隔15米栽一棵杨树，再在每相邻的两棵杨树之间等距离栽2棵柳树问需要多少棵杨树？多少棵柳树？相邻两棵杨树之间的两棵柳树相距多少米？思路分析：以15米为一段，池塘的一周可以分为4500÷15300(段)由于是在池塘的周围植树，首尾两棵重合，所以栽的棵数恰好等于所分的段数，即杨树可栽300棵；又因为在每相邻的两棵杨树之间等

24、距离栽2棵柳树，也就是每段里有2棵柳树，所以柳树的棵数是2×300600(棵)；在相邻的两棵杨树之间等距离地栽了2棵柳树，就是说在4棵树(2棵杨树和2棵柳树)之间有3段相等的距离，所以两棵相邻的杨树之间的两棵柳树相距15÷(21)5(米)例题解答：(1)杨树的棵数是：4500÷15300(棵)(2)柳树的棵数是：2×300600(棵)(3)相邻两棵杨树之间的两棵柳树相隔的距离是：15÷(21)5(米)答：需要300棵杨树，600棵柳树，相邻两棵杨树之间的两棵柳树相距5米例19      

25、;    在一个正方形池塘的四边上植树，每边栽10棵(四个角上都栽一棵)，四边一共栽了多少棵？思路分析：这是在封闭的线路上植树的问题树的棵数和所分的段数相等正方形每边上有1019(段)，四边一共有9×436(段)，即一共栽了36棵例题解答：(101)×436(棵)答：四边一共栽了36棵例20          有一个水池周长是50米，在水池周围每隔5米种一棵柳树，一共要种多少棵？思路分析：不论这个水池是什么形状，种的树可以围成一个封闭的路线所以种的棵数等于

26、所分段数因为以5米为一段一共可分50÷510(段)，即一共要种10棵例题解答：50÷510(棵)答：一共要种10棵方法指导：在封闭线路(如四边形、圆、三角形、封闭曲线等)上植树时，植树的棵数等于所分的段数例21          马路的两边每相隔8米种一棵杨树，王叔叔沿着这条马路骑自行车到工厂去上班，2分钟经过了马路一边的71棵杨树照这样的速度，他从家到工厂要用5分钟王叔叔的家到工厂的路程是多少米？思路分析：要求王叔叔的家到工厂的路程，就必须知道速度和用的时间时间已知，关键是求出速度由

27、题意可知，解答这道题先要求出了1棵杨树首尾两棵间的距离，这是一个不封闭线路上的植树问题所分的段数71170(段)，因而2分钟行的路程是8×70560(米)，每分钟行的路程是560÷2280(米)例题解答：8×(711)÷2×5280×51400(米)答：王叔叔的家到工厂的路程是1400米上一篇: 奥数天地三 15.差倍问题下一篇: 奥数天地三 17.鸡兔同笼大家正在看：奥数天地三 17.鸡兔同笼 -旭日东升-易小天 | 奥数天地三 15.差倍问题 -旭日东升-易小天 | 奥数天地三 23.平均数 -旭日东升-易小天 | 奥数天地三 2

28、2归一问题 -旭日东升-易小天 | 评论 (0) |  阅读 (1090)  |  献鲜花砸鸡蛋 |  固定链接 |  发表于 20:26  | 最后修改于 2008-08-25 20:26提示：“固定链接”为您显示此篇文章的固定不变链接，如果您有还有疑问请点击帮助链接地址： 复制此地址 窗体顶端 EMBED Forms.HTML:Hidden.1 选择  鲜花鸡蛋榜 个数  点击充换鲜花鸡蛋 评语   &

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30、的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵。问第一棵和第九棵之间相距多少米？ 这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数之间的关系。解答植树问题要考虑植树的方式，一般在不封闭的路线上植树，棵数总距离÷间隔长1；在封闭的线路上植树，棵数总距离÷间隔长。 另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解决，比如锯木头、爬楼梯问题等。这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”和“棵数”对应起来。练习一：1、小朋友们植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵。问第一棵和第九棵之间相距多

31、少米？2、在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点一共插了10面。这条道路有多长？3、在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了18盆，这条走廊有多少米？4、在一条20米长的绳子上挂气球，从一端起，每隔5米挂一个气球。一共挂了多少个气球？练习二：1、在一条长40米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了22棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离有多少米？2、在一条长32米的公路一侧插彩旗，从起点到终点一共栽插了5棵，已知相邻两面彩旗之间的距离都相等，问相邻两面彩旗之间的距离有多少米？3、在公园一条长25米的小路两侧放椅子，从起点到终点等距离放了12把椅子，

32、问相邻两把椅子之间相距有多少米？4、有一根木料，要锯成8段，每锯开一段需要2分钟，全部锯完需要多少分钟？练习三：1、把一根钢管锯成小段，一共锯了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管锯成了多少段？2、有一根木料，要锯成4段，每锯开一处需要5分钟，全部锯完需要多少分钟？3、把一根圆木锯成2米长的小段，一共花了15分钟，已知每锯下一段需要3分钟，这根圆木长多少米？4、小明爬楼梯，每上一层要走12级台阶，一级台阶需走2秒，小明从一楼走到四楼共要多少时间？练习四：1、甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到5楼，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到17楼，乙跑到多少楼？2、小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第

33、4层，小红恰好跑到第5层，照这样计算，小明跑到第16层，小红跑到第几层？3、两名同学比赛爬楼梯，1号爬到第六层是4，2号爬到第9层，当1号爬到第十一层时，2号应爬到第几层？4、甲的爬楼速度是乙的2倍，当乙爬到第六层时，甲爬到第几层？练习五：1、一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？2、有一个圆形花圃，周长是30米，每隔3米栽一棵月季花，每两棵月季花之间栽一棵兰花。花圃周围栽了多少棵月季花？多少棵兰花？3、有一个正方形水池，绕着它走一圈是200米，如果沿着这一圈每隔10米装一盏红灯，再在相邻的两盏红灯之间等距离地装4盏黄灯，水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？4、一条公路长480米，在两旁植树，两端都植。每隔12米栽一棵杉树，两棵杉树之间又等距离栽了3棵柳树。问杉树和柳树各栽了多少棵？小学三年级数学数数图形第八讲 间隔和分段问题小军家住在5楼，每上1层楼梯要1分钟。他从1楼走到5楼要用几分钟呢？如果你的答案是5分钟就错了，正确的答案应该是3分钟，为什么？这就是我们这一讲所要解决的问题间隔、分段