中学数学建模中的常见模型举例

1、中学数学建模中的常见模型举例成都市龙泉一中 张昌金 610100人教社2003年普通高中数学课程标准中明确提出高中数学教学“要发展学生的数学应用意识”，要“开展数学建模”的学习活动”，“促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力”。可见，数学建模已被提高到很高的高度。但是学生在数学建模中，最难的是如何分析出实际问题涉及的数学模型。下面就高中数学建模中的常见模型予以举例说明。1、函数模型例1、根据统计资料，我国能源生产自1985年以来发展速度很快，下面是我国能源生产总量（折合亿吨标准煤）的几个统计数据，1985年8.6亿吨，1990年10.4亿吨，1995年12.9亿吨。有关专家预测：到2

2、005年我国能源生产总量将超过20亿吨。试给出一个简单模型，说明有关专家的预测是否合理。分析：这是一个能源总量随着年份变化的题，可以考虑用“函数”作模型。解：为方便起见，把已知 的三组数据（1985，8.6），（1990，10.4），（1995，12.9）变换为（0，8.6），（5，10.4），（10，12.9），用图象或代数方法易见不适合用一次函数对数据拟合，试选用二次函数拟合，令相应的二次函数为，则所以，对应于2005，取，代入此函数关系式得，这说明有关专家的预测合理。2、方程模型例2、某顾客第一次在商店买件商品花去元，第二次再去买该商品时，发现这种商品已降价，且120件正好降80元，因此

3、这一次他比第一次多买10件，共花去20元，若该顾客第一次至少花去10元，那么他第一次至少买商品多少件？分析：容易看出，这个题涉及方程。可用“方程”模型。解：第一次购买商品的单价是，每件降价元，故解之得或（舍去），所以至少买5件商品。3、不等式模型例3、汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是碰车了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超过10，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：。

4、问超速行驶应负主要责任的是谁？分析：要弄清主要责任者，应需分析行驶速度，要弄清速度问题，就要运用刹车距离函数和实测数据，构建一元二次不等式。解：分别求解得：，或（舍去）；或（舍去）。经比较知乙车超过限速，应负主要责任。4、数列模型例4、某地区位于沙漠边缘地带，人与自然进行了长期顽强的斗争，到2000年底，全地区的绿化率已达到30%，从2001年开始，预计将会出现以下变化，原有沙漠面积的16%栽上树，并成为绿洲；同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀为沙漠，问至少经过多少年的努力，才能使全地区的绿洲面积超过60%？（年数取整数，）分析：这里涉及两个量的“连环关系”，那就分别用两个数列的递推公式去表示即

5、可用“数列模型”。设经过年后绿洲面积为，沙漠面积为，根据题意能较容易找出递推公式。解：设2000年底绿洲面积为，沙漠面积为；经过年后绿洲面积为，沙漠面积为，并设这个地区总面积为1，则。由题意知：，这个式子可变形为所以数列是以为首项，为公比的等比数列。因此，依题意有解得。故至少经过5年才能使全地区的绿洲面积超过60%。5、三角模型B例5、如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东北方，现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，现要求市中心与的距离为10千米，问把、分别设在公路上离市中心多远处，才能使最短，并求其最短距离。DLLOA 分析：此题因为涉及到最值，并与直角三角形有关，可以建立“三角”模型来研究。解：过点作于，则，设，在中，所以当即时，最短，最短距离为20，此时、距离市中心为千米。6、几何模型例6、是我方三个炮兵阵地，在的正东，相距6千米，在的北偏西30，相距4千米，为敌炮兵阵地，某时刻发现敌炮兵阵地的某种信号，由于、两地比距地远，因此4秒后，、才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1千米），若炮击地，求炮击的方位角。分析：由题意知，点与点、的距离相距4千米，即，依此可建立“双曲线”模型。解：以的中点为原点，分别以正东、正北方向为、轴，建立直角坐标系，则，