2021年考研数学模拟卷二共三套试卷及答案解析

1、绝密启用前考生姓名考生编号2021年全国硕士研究生招生考试模拟二数学(一)试题(科目代码：301 )考生注意事项1. 考生必须严格遵守各项考场规则。(1) 考生在考试开考15分钟后不得入场。(2) 交卷出场时间不得早于考试结東前30分钟。(3) 交卷结東后，不得再进考场续考，也冬得在考场附近逗留或交谈。2. 答題前，应按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名” “报考单位” “考生 编号”等信息。3. 答发必须按要求填涂或写在指定的答題卡上。(1) 填涂部分应该按照答题卡上的要求用2B铅笔完成。如要改动，必須用橡皮撺干净。(2) 书写部分必须用(蓝)黑色字迹纲艺、圈洙£或签字笔在

2、答題卡上作答。字迹要清 楚。4. 考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，甙卷交给监考人员，题型选择题堉空题解答题分值50分30分70分得分版权所有翻版必究一、选择题 110小题，每小题5分.共50分.下列每小题给出的网个选项中.只有 一项符合题H要求的.消将所选项前的字母墳在答题纸指定位n h.參參(1)当_r->0时.下列3个无穷小a = >/l+ tanx-Vl + sinj： /? = £' (er -l)d/ . / = Vl-x4 -Vl + 3x4 按后一个 无穷小比前_个高阶的次序排列.正确的次序是() (A > a，p，y. (B)Y，P，a.

3、 (C ) Y，a，p.( D)a，y，/?.fM(2设函数F(x) = X2 K中/(幻在x=0处二阶可导.厂(0)式0. 1/(0),又=0，尸(0) = 0. /(0) = 0.则x = 0FM的()(A)第一类间断点(B)连续点(C)第二类问断点(D)连续点或间断点不能由此确定(3) 没函数/(.v)连续.则下列函数必为偶函数的是()(A) 必(B) :'/(/)-/(-拳(C) £»(D)fsin(xy)v；e0x * X 在(0.0)点处() 0， x = 0.(A)连续，且人'(0,0)，/v'(0,0)存在(B)连续.但人'(

4、0,0)，/、'(0,0)不存在(C)不连续.但<(0.0),/；(0.0)存在(D)不连续，且/；(0,0),/；(0.0)不存在(5)微分方程/-2y+y = ev的特解形式为(A/ = ev(-4*0).(B) / = (A + Bx)eJ(B0).(C ) ya=(A + BA + Cx2)e'(C0).(D > / = (A+Cx2 + Dx3)ex(D#0).(6) 下列不等式屮正确的是()(A)0JJ(?-yW<0|:$i(C) ff(X + 1)d°(D) If (-人加>0vpl(7) 己知/t-.则B = (A-E)(A-A

5、2E)(A-AiE)=()(A) 0(B) E(C) IE(D) -E(8) gaI=(l,2,l)T,a2=(2,3,a)r,a3 = (l,a+2,-2)r.若及=(l，3,4)r能由线性表示，fl. = (0.1,2/不能由线性表示，则a =() (A) -1(B) 3(C) 0(D) 1(9) 随机事件A，B 满P(A) = P(B) = -9 P(AUff) = l.则有()(A) 4|JB = Q (B) AB = 0(C)尸(AU及)=1(D) P(A-B) = 0（io）s随机变six （o,i）,r/v（o,i）.则（A）x + r服从正态分布(B) x2 + Y2服从分布（

6、o x2和y2服从;分布二、填空题：H-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位罝上.(11)设 a 弇 则 limln 2rrn - 2na +1n(l-2a)（12） y = lnx的最大曲率为 <13>Sx >0时微函数/U）及其反函数尺W满足关系式（，（0 = |（-8）,则/(0= . (14)计算不定积分f dx =.(其中abO)J a sin- x+b cos- xfl 1 1(is)己知向贵a = (l，*，l)F是矩阵4= 121的逆矩阵的特征向策.则J 1 2, k=.(其中炎>0) (16) 己知亨件九B满足p(A)=P(/).记

7、P(A)=p.则P(B) =. 三、解答题I 1722小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位罝上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步dx(17) (本题满分10分)计算不定积分(18) (本题满分10分设/U)在区问0，1上可傲.当0 <X< 1时.恒有 o</(l)</(x).且.证明：在(0,1)内存在唯一的点使得(19) (本题满分10分求f(x9y) = x+xy-x2-y2在闭区域D =y)|0<x<l,0<.y<2上的最大值和最小值.(20) (本题满分11分)求抛物面z = l + / + /的一个切甲而.使该切甲面与抛物而

8、及阏柱|fil(.r-l)2 + / = 1 _成的立体的体积E小，并求出E小体积.(21) (本题满分14分)设4为3阶矩阵.旱，毛，4为必的三个不同特征值.对应的 特征向$为a.a2.a,.令= aa2 + a.(1)证明：向S组A(ax + a.YA(a + a.),A(a, + a3线性无关的充荽条件是凫为可 逆矩阵*(2)若Afl = A-fi,求秩r(A-E)及行列式|A + 2E，(22)(本题满分15分)，0 < x < 1，设总体X*. r相互独立.且x的槪率分布为f(x；o)=A<x<Y的槪率分布0, 其他.pr = o = pr = i = -&l

9、t; xXf .x，来自总体x的简单随机样本.记/v为样 本xux2人中小于1的个数。(1) 求z = x + y的分布函数：(2) 求x的数学期®e(x)和方差D(X)；(3) 求参数a的轵估计璜和大似然估计值.版权所右翻版必究2021全国硕士研宄生招生考试数学模拟测试二（数学一）解析本试卷满分150,考试时间180分钟一、选择题1 110小题.每小题5分.共50分.下列每小题给出的四个选项中.只有 一项符合题目要求的.请将所选项前的字母堉在答题纸指定位社. 豢（1）当又一0 时.下列 3 个无穷小a = >/l + taii.r->/l + sin«r B=

10、 （er -l）d/ . Jo/ =.按后一个无穷小比前一个高阶的次序排列.正确的次序是（）(A > a，p，y. (B)(C)y，a，/3. (D) 【答案】(D).匾a ” vl+ tani- -Vl + sin.vtan a-sin x【解析】Inn= lim= lunty.x 一0x1 一0 xA(Vl+tan +Vl+sinx)1 . sinx(l-cos x) 1,. x5=lim；= lim所以当x->0时.所以当xO时./3-x6.2 -o cosx 443.4对于y.用带有佩亚诺余项的泰勒展汗式展歼最方便./ = Vl-x4 -/l + 3x4 =l-|x4 +

11、f?(x4)- 1+1(3x4)+o(x4) =-|x4+(x4).所以当xO时.综合之.无穷小的阶从低到卨排列应後a、y、p.选（D）3 版权所有翻版必究/('.)(2设函数F(x) = l x2 其屮/(x>在.r=0处二阶可导.r(0)*0. 1/(0),:v = 0,r(0) = 0. /(0) = 0.则x = 0是F(x)的()(A)第一类间断点(B)连续点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定【答案】(A)【解析】limF(x) = lim= lim f (x) f (Q) = 1 yff(0)F(0).所以x=0是第 ho“ r2x2类间断点.故选(A

12、).(3) 没函数/(X)连续.则下列函数必为偶函数的是()<a) J。,/"(聯(B) £'/(/)-/(-r)k/(C)(D) f:f2(【答案】(A)【解析】记F(X)= £*/(/)+则厂(-x)= /t/(r)+ /(-/)W = -l r (-«)/(-w)+ /(h)JJ(-m) JOJO= £“/(“)+ f(-u)du = F(x).故选(A.三逆v0(4) 二元函数/(x,y) = I x在(0,0)点处()0.x=0.(A)连续.且/；(0,0),/；(0,0)存在(B)连续,但人'(0,0)，/、&

13、#39;(0,0)不存在(C)不连续.但(0,0),/；(0,0)存在(D)不连续.且(0,0),/、'(0,0)不存在【解析】连续性：【答案】(A)"=卿)故/(x，y)在点(0.0)处连续.版权所有翻版必究0.同理 /、.(0,0) = 0,tt/Uy)在(0.0)处偏导数存在故选(a).(5) 微分方程/一2y'+y = ev的特解形式为()(A ) yW(hO).(B) / = (4+&v)e'(F*0).(C) y,=(4 + Ri + C.r)eA(C0).(D) y=(A + Bx + Cx2 + Dx3)ex(D0).【答案】(C ).

14、【解析】因为方稈右边e'指数的系数1是特征方稃的二承特征根.故特解形式为/ = Arel(v40).即(C屮CO的形式.故应选(C).(6) 下列不等式中正确的是()JJ(.v-y2)J(r<0I?!【答案】(C)【解析】由轮换对称性，Yj错误；区域D内.始终有-x2-y2<0.故(D)错误.故选(C).版权所有翻版必究则 B = (4矣£)(4 一弋E)(4 牟 E)=(A) O【答案】(A)(B) E(C) IE(D) 一E【解析】设a-a =.即A = PAP 其中尸是可逆矩阵.则B = (A-E)(A - E)(A -人£) = (PAPX -

15、EPAPX - Z,E)(PAPa - E)=P(A-E)P'P(A-A,E)P-1P(A-WP1(8) 设4=(1，2，1)汐=(2,34)% = (1，6/ + 2，-2) 若 A = d，3,4)r 能由o.a.a;线性表示.戶2=(0.1，2)'个能由a.a.,a.线性表示.则=() (A) -1(B) 3(C) 0(D) 1【答案】(A)【解析】& A = x,iai + xi2a2+ x<. (/ = 1,2), -4 = (a,ar2, a3).对该非齐次线性方程4 20 -1 0 01 1 a !1(a-3>(a + l) I «

16、+ 1O'i乂A能巾，乂，线性农示.炙不能由组的增广矩阵作初等行变换，有rl 21：1 0、1 2 1 ! 1 0、(aaa,丨 A A)=2 3 a + 2 ''3 1->0-1 a ! 111 a -2 L4 2 A、0 a-2 -3 1 3 2版权所有翻版必究坏炎必线性表示即厂(坏，02,0?3) = 1<01，0：2，3，戶；)*，(碼，02，咚，戶2)，则 U = -l .故选(A.(9) 随机事件/VS满足P(A) = P(B) = |. P(4UB) = 1.则有()(A) Ai)B = Cl (B) AB = 0(C) P(AJB) = 1(

17、D) P(A-B) = O【答案】(C)【解析】由加法公式P(AUB) = P(A) + P(B)-P(AB).代入己知可得.P(AB) = O. 则 P(AU) = P(AB) = l-P(A/i) = l .故选(C).（10）设随机变mx -（oj）.r-N（o.i）.则（A） xy服从正态分布（b） x2+y2服从/分布（o x2和y2服从/分布（D）f眼从F分布5【$案】（c） 【解析】本题未说明x，r相互独立.故选（c）.二、填空题* 1116小题.每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.(11)设则limln2n - Ina +1/(l-2d)【解析】limln 界一

18、n - 2na +1n(l-2a)n=lim,? In 1 +1”(1- 2a). n1=lim=”，"(l-2a) l-2a（12） y = lnx的最大曲率为 版权所有翻版必究【解析】y = lnx则/ = -,y ，x>0(l + x2pdK1 2x211 j/r1 狀令了;T°.得.'°=万.当0万时,i>0,当时了<(bdx故当X=2时.m K-(13)设.v>0时.可微呐数/(.V)及其反函数尺W满足关系Ajo，(，1g(r) = (-8).则/(x) = 【答案】/(x) = V7-2.【解析】对£/(%(=

19、|(P-8)两边对A求导，得s/(.v)./'u)=|VL山于/w为发(4的反函数，gf(X) = X.于是= 则/W = J,W.t = J2w 1 dx = yx + C .山/(4) = 0,得 C = -2.故/U) = V7-2.(14>计疗不定积分tan x (其中 abO)【答案】/ = _Lln(tanv + /r)+C.【解析】tan xrianx. r sec*xtaiix .1 /，i，、门= y ln(am M+c.的逆矩阵的特征向最.则(15)己知向最a = (l，l/是矩阵4= 121k= .(其中0) 【答案】*=16版权所有翻版必究【解析】设A是/

20、T1的对应于a的特征偾.则A la = Aa -即a=AAa.rl、r2 1 1r'3 + k 'k=X1 2 1k=A2 + 2k1 1 23 + k /k2=-2丰=1.则=1或一2 (舍).A(3 + > = 11.得方程组A =(16)己知亨件记尸(欠)=尸.则P(«) = 【答案】P=l-p【解析】P(AB) = P(AS) = 1-P(A(JB) = 1- P(A)-P(B) + P(AB).则 1-P(A)-P(B) = O.故P(B) = l-P(A) = l-p.三、解答题I 17-22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位罝上.解答应写出文

21、字说明、证明过程或演算步骤.(lx<17)(本题满分io分)计算不定积分+【答案J ln|x|一去inX+1dx(.v2 + l)(.r + x)= ln|x|-yln|.v+lx 2(x+l) 2(< + 1)1 arctan x- 21 ft/Cr + 1)4 J x2 +1-arctan x- lii(x: + l)+C 24【解析】没一=-+-7 + - 得 A = l,ft = -|,C =Cr + l)(x- + .r) x x + 1 x"+l2=In x - In x+12arctan j-ln(x2 + 1) + C.24(18)(本题满分10分设/(A

22、)在区问0，1上可微.当0 X< 1时.恒有版权所有翻版必究0</(l)</(x)，且fx) /(x).证明：在(0，1)内存在唯一的点<，使得 【解析】存在性：令=则gW在0，1上连续.又5(0) = /(0)>0, x(i)= Jj/(D-/(/)k/r <0.由零点存在定理可知.存在卜(0,1)使得= 0 即 f(£) = JJ .唯一性：反证法.假设存在么，祕 * A)满足/() = /(/ )dt .不妨设W然 尺(4)=g(厶)= 0.巾罗尔屮值定ffi可知存托r/e(H)使得g'(") = 0.即 /'-/=

23、0与尸矛盾.则假没不成立，即在(0,1)存在唯一的点彡， 使得 /(4) = f07(/Mr(19(本题满分10分)求f(x,y) = x+xyr-x2-y2在闭区域 D = U y)|0<x<l,0<y<2上的最大值和最小值.【答案】S大值为!和记小值为-4【解析】由 f(x,y) = x+xy-x2 -y2.得人'(x，y)= 1+y-2x 2 I ? I 1f,，(x9y) = x-2y 令人'Cv，y) = 0,/v'<A.，y) = 0得驻点(->-),/(y,-) = -当 y = 0时.即在x轴上./Cr，y) = x

24、+ xy-?-y2=A：-x2，S大值为/(丄，0)=丄. 24下边界的端点<0,0)，(1，0)处有/(0.0) = 0，/(1，0) = 0.则下面边界的最大值为最 4小值力0.同理可得：上边界最大值为-2.最小俱力-4;左边界最大似力0.最小俏为 -4»右边界最大值为最小值为-2.综上./(.¥,y) = x +- / 在闭区D = (x,y)10< A< 1,0< y <2上的最大偾为j和5小值为-4.(20)(本题满分it分)求抛物面z = i+? + r的一个切平面，使该切平面与抛物面 及柱面(A-1)2 + / = 1围成的立体的

25、体积最小.并求出最小体积.【答案】=V(L0)=|.切平谢方稈为z = 2x【解析】设切点力AM.vc，yc，l + .< + y。2).则抛物而在点A/。处的切平而力杵为2.r0Cr-x0)+2y0(y-y0)-z-(l+< +)<)】 = ()即 z = 2.v + 2yoy + (l-x-y-).所求体积的立体是以此切平W为底.抛物|U-z = l + x2 + y2为顶 (x-l)2 + y2= 1为侧 凼的柱体.所以由二承积分的儿何意义町知Vyl)dxdy=Jf(-V2 + / - 2x0.¥- 2yQy)d.xdy + (.rj + )JJ dxdy显然

26、当一 2.r0 + j)和yl均収Al小偯时.即当>o = O时.V取得最小值匕=| .此时切平面方程为z = 2x.(21(本题满分14分设A为3阶矩阵.A，人，4为4的三个不同特征值.对应的 特征向景为avava.令p = aa.a3.(1) 证明：向黾组Aaa1Aaai),A(aai>线性无关的充要条件是凫为可逆矩阵；(2)若Afl = A-fi求秩r(A-E)及行列式|A + 2E . 【解析】(1)线性无关<=>+ 线性无关o<a】，a、，a0A人-o.r的秩为3»|4 =0- A M逆矩阵.(2) Afi = Aifl.有0 0 0、AptA

27、pA2p) =(Afl.A2p.A3p) =(Afl.A2fl,Afl = (fl,A/3,A2p 1 0 1lo 1 o?1由于p.AfiA1 p = ax,a,.ay) 1 1所以P = (fl,Afl,A:p).则有PlAP = 1r-l从而 tir(A-E) = r(B-E)= 1、00-10、1一1'可逆o1 0-2|A + 2E| = |B + 2E|= 1 0(22)(本题满分15021分)设总体X . K相互独立.且欠的概率分布为8, 0 < ¥ < 1， r的概率分布为尸y = o =尸y = i =去.x、，x!".xn o,其他.为

28、来自总体X的简单随机样本.记2V为样本值七，1/ ',中小于1的个数.(1) 求z = x + r的分布函数；(2) 求X的数学期.E(X)和方差D(X)；(3) 求参数汐的矩佔计带和W人似然估计位.【解析】U)由分布函数的定义可知F:(z) = PZz = PX + Yz. 由于X为离敗制捎随机受璜.则仃全概率公式町知E(z)=px + yz = py = ox + r<z|y = o+/>y = ix + yz|y = i = 1X<z + |X<z-1 = |f¥(z)+1fx(z-1)当z<0时，E(z) = o?O<Z< 1

29、 时.E(z) = z；当 1Q<2时.F.(z) =<9+12<z<3 时= + + +=+22222224当3<z<4时.F.(z) =丄+ 丄(z-2) + 丄0 = l_z +么2 2224当z>4时.厂(7) = 1.O，Z<O，n yZ,OZ<l,汐+10-1.z + 4z<2故Z的分布函数为E(z) =44-e7-3 i iz + -，2<Z<3, 24Iz + 3.r<4, 41，2 之 4.flr3 03(2) £(X)=f.r = 2-；Jo 2 2rvv，、 f1 nCl 0 2 &#

30、187; 13 120 £( X ) = jo 0x dx + xJ.rD(X) = £(X2)-£(X)2=|+2-.34 ?(3) 由(2)知E(X) = 2-0.解得O = -E(X).所以参数汐的矩估计景为23 3先计算似然函数L(O) = Yfx-0). f-1山于七，七弋中有;V个小于1，可知中旮/V个等于沒，另外n-N个等于¥因此,L() = fl/(x) = f-1取对数得 lnL() = 7Vln + (n-/V)ln A N 令得補最大似然估计值为"=713绝密启用前考生姓名考生编号2021年全国硕士研究生招生考试模拟二数学

31、(二)试题(科目代码：302 )考生注意事项1. 考生必须严格遵守各项考场找则。(1) 考生在考试开考15分钟后不得入场。(2) 交卷出场时间不得早于考试结東前30分钟。(3) 交卷结東后，不得再进考场续考，也冬得在考场附近逗留或交谈。2. 答題前，应按准考证上的有关内容填写答题卡上的“考生姓名” “报考单位” “考生 编号”等信息。3. 答发必须按要求填涂或写在指定的答題卡上。(1) 填涂部分应该按照答题卡上的要求用2B铅完成。如要改动，必须用橡皮撺干净。(2) 书写部分必须用(蓝)黑色字迹纲艺、圈洙£或签字笔在答題卡上作答。字迹要清 楚。4. 考试结束后，将答题卡装入原试卷袋中，

32、武卷交给监考人员，题型选择题堉空题解答题分值50分30分70分得分版权所有M版必究一、选择题.110小题，每小题5分.共50分.下列每小题给出的网个选项中.只有 一项符合题H要求的.消将所选项前的字母墳在答题纸指定位參參(1)当x->0时.下列3个无穷小<7 = 7l+tanx-7l + sinx，p =(e'2 l>dz / = Vl-x4 -Vl + 3x4 按后一个无穷小比前_个高阶的次序排列.正确的次序是()(A ) a，p，y.(B ) y，P，a. (C ) y，a，fJ.( D ) a，y，p.(2)没函数= < x2 其中/(x)在x = 0处二

33、阶可导.厂<0)其0.1/(0),又=0，r(o)=o,/(o)=o.则 x=0 是阶)的()(A)第一类间断点(B)连续点(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定(3) ®/(X)= 34-|x|,则使/(0)存在的最高阶数”为()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(4) sf/(xWv = / + C.则lx2f(l-x3)dx=()(a)-3(x-x3)5 + C (b)3(1 x5)】 + C (c)(1_?); + C (d)-(x-?)3 + C(5) 设函数/(.V)连续.则下列函数必妁偶函数的足(<A)JO(C)sin(xy)(6)二元函数

34、 f(x9y) = -x0,(B) p/-/(-聯(D)X#Q在(0,0>点处( x = 0.(A)连续，且/；(0.0),<(0.0)存在(B)连续，但/；(0.0),/；(0,0)不存在(C)不连续但/(0,0)，<(0,0)存在 (D)不连续.且人'(0,0)，/y'(0,0)不存在 版权所有翻版必究(7)微分方f¥./-2y+y = ev的特解形式为(A)y = Aex(AO).(B )y =(ABx)ex(BO).y=(/l + fiv + Cx2)ex(C*O).(D)/ = (A+ Bx + Cx2 + D?)ev(/9 0). 卜列不

35、等式屮正确的娃(JJ (x2 - y2、da > 0I®jj (,v + l)Jcr >0I®(B)V2Wcr<0¥jj (-,v-y2)t/cr >0 ?>v2<l攀则 B = (A-A1E)(A-A2E)(A-AiE)=(B) E(C) IE(D) -E<io)Sa = (l,2,l)r,a, = (2,3,a)r,a3 =+ 2,-2)r.若=(l，3,4)r能由线性表示.久= (0，l，2)T不能山，乂，线性表示.则a(A) -1(B) 3(C) 0(D) 1二、填空题* 11-16小题，每小题5分，共30分，请将

36、答案写在答题纸指定位置上.參(11)没a丈则limln2n 一 2na +1 n(l-2a)(12设 y = (l + sinx)1.则 dy = (13)v = lnx的最大曲率为 (!4i5U> 0 时.可微函数/(X)及 Jt 反函数(.V)满足关系式 Jor(，)<?(r)Jr = l(.-8),版权所有翩版必究则/(v) =. (15计算不定积分fdx = .(其中ab本0)J a-sin-.r+p-cos'i i r(16) 己知向氘a = (l，l/是矩阵4= 1 21的逆矩阵的特征向馈.则y 1 2,k = .(其中女>0)三、解答题1722小题，共7

37、0分.请将解答写在答题纸指定位罝上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.(17) (本题满分11分)设/(X)在区问0，1上可傲当0Sx<l吋.恒有 o</(d</(x).且.证明：在(o，i)内存在唯一的点<，使得仰=£，_.(18) (本题满分II分)求/Uy) = x+.n*-x2-y2在闭区域D = U y)|0x<l,0y2上的最大值和最小值.<19)(本题满分11分)没H线>与抛物线y = ,r2所W成的阁形的面积为它们与直线x = l所围成的阁形|O!>JS2.并.试确定a的值.使S = S，S2达到 最小.并求出最

38、小值. (20) (本题满分11分设函数/在(0,+oc)内具有二阶妤数.满足等式旮+宗=0.(I)验证 roo+=o； II(n)若/(l) = 0. /'(1> = 1，求函数f(u)的表达式.(21) (本题满分 12 分)计算 = jJ|y-/|max.r，yWa，其中D3版权所有翻版必究D=Uy)|O<A<l,O<yl.(22)(本题满分14分)为3阶矩阵.A，弋，人为凫的三个不同特征值，对应的 特征向嵐为a3.令p =+a3.(1证明：向量组A(a + a,), A(a + a.),A(a + a.)线性无关的充费条件是4为可 逆矩阵；(2)若 Af

39、l = Alfi.求秩 r(A-E)及行列式 |A + 2E|.版权所有翻版必究2021全国硕士研宄生招生考试数学模拟测试二(数学二)解析本试卷满分150,考试时间180分钟一、选择题I 110小题.每小题5分.共50分.下列每小题给出的四个选项中.只有 一项符合题目要求的.请将所选项前的字母堉在答题纸指定位社.(1)当A->0时.下列3个无穷小1 _ cz = Vl + lanx-Vl + sinx > P = £' (er -l)dz y = Vl-x4 - Vl + 3x4 按后一个 无穷小比前一个岛阶的次序排列.正确的次序是()(A)a,p，y. (B)Y

40、，P，a. (C)Y.ct.p, (D)【答案】(D).=lim .i->0tan .v-sin xxA (V1+tanx + Vl + sinx)r a>/l + tan _r - Ji + sin y【解析】hm- = hm1sinx-(l-cos) 1 v x3 -lim:= _ 1皿一p所以当x->0时.所以当又+ 0时* /3-X6.2x cos x 4 x4对于/.用带有佩亚诺余项的泰勒展幵式展幵最方便.1 .43.4/ = Vl-x4 -Vl + 3x4 =l-x4 + (x4)- 1+1(3x4)+o(x4) =-x4+f?(x4).232所以当时.综合之.无

41、穷小的阶从低到卨排列应後a、Y，P.选(D版权所有翻版必究/'(0) = 0，/(0) = 0,则 x = 0 是 7)的(（A）第一类间断点（C）第二类间断点（B）连续点（D）连续点或间断点小能由此确定2x3, x<0.(4) i$tj/(.v)J.v = x5 + C,则 j.r?/(l- v5)J.v=(【答案】（C）【答案】(A)【解析】limF() = lim = lim/V)-/>(0) = 1/70)F(0).所以x = 0M第 x22x 2一类间断点.故选(A).(3)设/(x) = 3? + x2|x|.则使/(0)存在的阶数"为()(A) 0(

42、B) 1(C) 2(D) 3【答案】(C)4.r >0,fl2x2, .¥>0,f24.t, .r >0,【解析】f(x) = 0， x = 0，. WiJfx) = J 0,x=0,尸= j 0,义=0，12x. x<0.【解析】Jx7(l-?Uv = -|j/(l-/)J(l-?) = -|(l-?/ + C.故选(C)（5）设函数/（.Y）连续.则下列函数必为偶函数的是（(A) p/U)+/(-拳(B) £'-/(-拳(d) Jo72(r)Jr(c) Jo7(r)Jz【答案】(a)【解析】记F(.t) = p/(r) + /(-r)df

43、.则F(-x) = £= -zfo-u)J(-z/)+ f(n)J(-n)=fo*w/(w)+ f(-u)du = F(.r).故选(A.(6)二元函数/Uy) = J_什°，在(0,0> 点处()0.x = 0.(A)连续，fl/；(0,0),/；(0,0)存在(B)连续.但人'(0,0)，/、'(0,0)不存在(C)不连续.但人'(0,0).人'_存在 (D)不连续.且/(0.0)，/、'(0,0)不存在 【答案】(A)【解析】连续性：(上。戶參(上。0)/(%，)在点(0,0)处连续.Ai/(v,v)在0,0处«

44、异数存在.故选(A).(7)微分方程/-2/+y = ev的特解形式力() (A)y* = Ae'(A0).(B ) / = (A + Rv)el(B0). (C ) y* = (4 + Rv + Cx2)ev(C0).(D)y* = (A + Bx + Cx2 + Dx3)e1 (DO). 【答案】(C) 【解析】因为方ft!右边ev柑数的系数1是特征方ft的二屯特征故特解形式为/ = Ax2ex(A * 0).即(C )屮CO的形式.故应选(C ).(8)下列不等式中正确的是()-y2)da<Qjj(X + 1)J(7>O KJ(D) JJ (-x2 -y2)da>

45、;0(A) | (x2 - y2 )da > 0【答案】(C)【解析】由轮换对称性.U/) + (y2-x2)«/a = 0,故(A)、(B)ff (又2 - y1 )加=jj (/- x2)da = |J (x2 - / $5 SB错误；区域d内，始终有-x2-/<0.故(D)错误，故选(C). 为x为关于I的奇函数.积分区域关于y对称，则JJ(A + l)cl(r = Jj Ider > 0 B5 t® (9)己知弋 则B = (A-AE)(A-A2E)(A-A3E)=()(A) 0(B) E(C) 2E(D) -E【答案】(A)A【解析】即A = P

46、AP 其屮尸是可逆矩阵.则 、aJZ? = (A-E)(A - E)(A-為£) = (PAP X - A.EKPAP1 - A.E)(PAP'1 -為E) = P(A-E)P-XP(A-E)P-XP(A-E)PX0"A-fA-毛4 A02-3，K< 一 Aj'o)0 、=P o P'1 = O 故选(A. 0(10)设= (l,2,l)r= (2,3)r,a, = (1,« + 2,-2)r .若氣=(i，3,4)r 能由arara5线性表示.戶2=(0.1,2)'不能由a.aa.线性表示.则a(B) 3(C)0(D) 1r

47、l 211 0、1 2 1 ! 1 0 ' a2 ' a3 1 A，A) =2 3 a + 23 1>0-1 a l I11 u-2 i4 2、0 a-2 -3 I 3 2,【解析】&fl,= x,xax + xi2a2 + xiya.(/ = 1,2).A = (aa2,a,).对该非齐次线性方程组的增广矩阵作初等行变换.有1rl0、02-101 0'1 1(a 3)(a + l) ； a + l a乂犀能由al9a29a.线性表示.足不能由a”a2，a3线性表示.即 r(a1,a2,a3)= r(al,a2,a3，1)*r(a1,a2,a3,/J2)

48、则 a = -1.故选(A.二、填空题* 1116小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位罝上. 畚參嫌、比11- I n-2/ia + ll(11)则 limln =.2n(l-2a)l-2a解析 1 liin Inn - 2na +1nIity) ” In 1+ 1vn1一 hml nrrvi J ulkl illn(l-2a)-11111 " U1 n-wcn(l-2a)”-"(1 2a)-2a【答案】(12)没 y = (l + sinx)r，则 dy x,a = 【答案】一冗dx【解析】dy =耐)=(l + siiix)JXCOSX1 +sill A

49、.+ ln(l + sinx)dx，徵 dy |xw< = -7tdx。版权所有翻版必究(13)y = lnx的最人曲率为 -,x>0(l+y'V (l+x2p ii1/【解析】y = lnx则/ =，/ = 一一故曲率为尺=dK -2x2令；77='(1+作Xx_為：万.当0<x<-时1>0 .当x>万时I<0 故当x=2时.m K-<!4)iSx>0吋.町微响数/U)及其反函数gW满足关系式£,(%0) = 1-8).则/(x) = 【答案】/(x) = V7-2【解析 Ftf/(<)g(0 = |(x-

50、8)两边对 X 求导，得 x/U)-r(.r) = |>/7.UT/(A) 为发的反函数，gfM = x.于是尸=类=5!'J/(r)= J fx)dx = dx =.由/(4) = 0,得C = -2,故/(x) = V-2-tan.v(计算不定积= .(其中abO) 【答案】/ = >Wx+/>+c.【解析】 sec* x tan x 心亡 t an: x + 印 C.(16)己知向aa = (l，l/是矩阵4 =1 r2 1的逆矩阵的特征向a.则1 2c=.(其中k0)【答案】女=1【解析】设的对应于a的特征值.则A xa = Aa -即a=zAa."

51、1、r2 1 1< 3 + Jl 'k=乂1 2 1k=A2 + 2k1 1 2 /u、3氏fA(3+幻=1.得方酣三、解答题I 1722小题，共70分.请将解答写在答题紙指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17(本题满分II分)设/(X)在区间0.1】上可微.当Oi.Y<l时.恒有 0</(l)</(X).且证明，在(0，1)内存在唯一的点使得 /() = /(棘【解析】存在性：令g(x) = /w-£'/(/)(*.则发(4在0，1上连续.父 (0) = /(0) > 0.尺=/(D-< 0.由；点存在定理口

52、f 知.存在 G (0,1)使得 g()=0 即 f()=f:.唯一性：反证法.假K存在么，姚 本)满足f() = fj f(t、dt .不妨® < 妥.ffi然 S()= 5«2)= 0,由罗尔中值定理可知.存在r/e(乂)使得/(/?) = 0,即 /，0；)-/(77)= 0与/'(J)萁/(x)矛盾.则假S不成立，即在(0，1)内存在唯一的点<，使得/(<) = /(0必. 版权所有翻版必究(18) (本题满分11分)求/Uy) = .r+.n*-x2-/在闭区域D = !(x,y)|0<x<l,0y<2上的最大值和最小值

53、. 【答案】最大值为!和最小值为-4.【解析】由 f(x,y) = x + xy-x2-y2.得/(x，y) = l+y-2x， f/(y)= v-2y.令人'U，y) = O,/(又，y) = 0触点(晉，去)，/(昏，!) = !. 当y = 0时.即在x轴上./(x,y) = x+xv-x2 - v2 = x-x2.鉍大值为/(丄，0)=丄. 24下边界的端点(0,0)，(1，0)处旮/(0.0) = 0，/(1、0) = 0.则下面边界的K大值为记 4小值为0.同理对得：上边界大值为一2. W小值为-4:左边界沿大值为0, W小值为 -4;右边界S大俏为最小值为一2.4 综上.

54、f(x.y) = x + xy-x2-y2 在闭区域 D = (x,y)|0<<L0<y <2上的最大值 为j和沿小值为-4.(19) (本题满分11分)设直线J = 与抛物线y = X2所囤成的图形的面积为它们与ft线x=l所围成的图形曲积s2.并fl.a<l .试确定a的值.使S = S、+ S2达到 最小，并求出最小值.【答案】当 = +时.< = =収51小值.【解析】当 0 <a< 1 时，S = SS, = V (av - / )dx + f (x2 - ax)dx = - - + A JoJa32 3y令s，= o得1，S" = >/2 > 0 则=2-2-是极6#小值.也是最小值.aa1十623当aS0时，5 = 5. + 5, = °(av-.v)rfv+ f(x2 -ax)dx =- _ JaJOotIT【毅】+5C x?p<r