模块2---构件的基本变形分析

1、模块模块2 2 构件的基本变形分析构件的基本变形分析 v学习情境1 变形体与杆件变形v学习情境2 拉伸和压缩v学习情境3 剪切、挤压和扭转 v学习情境4 直梁的弯曲模块模块2 2 构件的基本变形构件的基本变形v【知识目标】【知识目标】v了解变形固体的基本假设，理解杆件变形的基本形式；了解变形固体的基本假设，理解杆件变形的基本形式；v掌握杆件在轴向拉伸与压缩变形时的内力（轴力）的求法、掌握杆件在轴向拉伸与压缩变形时的内力（轴力）的求法、横截面上的应力及拉横截面上的应力及拉(压压)杆的变形计算，理解材料拉伸和压杆的变形计算，理解材料拉伸和压缩时的力学性能；缩时的力学性能；v理解剪切及挤压概念、掌握

2、剪切强度及挤压强度的实用计理解剪切及挤压概念、掌握剪切强度及挤压强度的实用计算方法；算方法；v建立圆轴扭转的概念，掌握扭矩、扭矩图、圆轴扭转时横建立圆轴扭转的概念，掌握扭矩、扭矩图、圆轴扭转时横截面上的应力和变形、强度条件及其应用；截面上的应力和变形、强度条件及其应用；v建立平面弯曲的概念建立平面弯曲的概念 、掌握剪力和弯矩的计算，掌握梁的、掌握剪力和弯矩的计算，掌握梁的强度条件及其应用，理解提高梁强度的主要措施。强度条件及其应用，理解提高梁强度的主要措施。模块模块2 2 构件的基本变形构件的基本变形v【技能目标】【技能目标】v对构件进行拉伸与压缩变形分析与计算；v分析构件剪切与挤压变形，校核

3、其剪切强度及挤压强度、设计截面等；v分析圆轴类构件的扭转，校核强度条件、设计截面等；v对梁的剪力和弯矩进行计算，校核强度条件，并采取措施提高梁的强度。 模块模块2 2 构件的基本变形构件的基本变形 工程实际中的构件种类繁多，根据其几何形状，可以简化为四类：杆、板、壳、块 。本模块研究的主要对象是等截面直杆(简称等直杆) 。构件的安全可靠性与经济性是矛盾的。构件基本变形分析的内容就是在保证构件既安全可靠又经济的前提下，为构件选择合适的材料、确定合理的截面形状和尺寸，提供必要的理论基础和实用的计算方法。 为此，需要掌握变形体与杆件变形、拉伸和压缩、剪切、挤压和扭转、直梁的弯曲等知识，这就是本模块的

4、学习内容。学习情境1 变形体与杆件变形2.1.1 变形体及变形体的基本假设v在外力作用下，一切固体都将发生变形（尺寸和形状），故称为变形固体，简称变形体。v而构件一般均由固体材料制成，所以构件一般都是变形体。v由于变形体种类繁多，工程材料中有金属与合金，工业陶瓷，聚合物等，性质是多方面的，而且很复杂，因此在材料力学中通常省略一些次要因素，对其作下列假设： (1) 各向同性：物体各个方向的力学性能相同； (2) 均匀连续：物体内被同一种物质充满， 没有空隙； (3) 小变形：物体受到外力后产生的变形与物体的原始尺寸相比很小， 有时甚至可以忽略不计。 2.1.2 杆件变形v工程实际中的构件种类繁多

5、，根据其几何形状，可以简化为四类：杆、板、壳、块。构件某一方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸时称为杆件，如图2-1所示。 v杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式。在工程结构中，杆件的基本变形有四种：拉伸和压缩变形、剪切变形、扭转变形、弯曲变形。杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。 学习情境2 拉伸和压缩2.2.1拉伸与压缩的概念v工程实际中，有很多发生轴向拉伸和压缩变形的杆件，如联接钢板的螺栓（见图2-2(a)），在钢板反力作用下，沿其轴向发生伸长（见图2-2(b)），称为轴向拉伸；托架的撑杆CD（见图2-3 (a)）在外力的作用下，沿其轴向发生缩短（见图2-3(b)），称为轴向压缩

6、。产生轴向拉伸（或压缩）变形的杆， 简称为拉（压）杆。 2.2.2轴力与轴力图 v1. 内力与截面法内力与截面法 杆件的内力指杆件受到外力作用时， 其内部产生的保持其形状和大小不变的反作用力。 该反作用力随外力的作用而产生， 随外力的消失而消失。 截面法是求杆件内力的方法。截面法求内力的步骤： (1) 作一假想截面把杆件切开成两部分（见图2-4（a）； (2) 留下其中的一部分， 并在切开处加上假设的内力（如图2-4(b)或图2-4(c)所示）； (3) 以该部分为研究对象列静力平衡方程， 求解未知的内力。 2.2.2轴力与轴力图 v2轴力轴力 为了对拉（压）杆进行强度计算，首先分析其内力。如

7、图2-5所示，因拉（压）杆的外力均沿杆轴线方向，由其共线力系平衡条件可知，其任一截面内力FN的作用线也必通过杆轴线，这种内力称为轴力。常用符号FN表示。 2.2.2轴力与轴力图 v2轴力轴力 为了使取左段或取右段求得的同一截面上的轴力相一致，规定：FN的方向离开截面为正(受拉),指向截面为负(受压)，如图2-6所示。 2.2.2轴力与轴力图 v3. 轴力图轴力图 用平行于杆轴线的x坐标表示横截面位置，用垂直于x的坐标FN表示横截面轴力的大小，按选定的比例，把轴力表示在x-FN坐标系中，描出的轴力随截面位置变化的曲线，称为轴力图。如图2-7所示。【例【例2.1】如图2-8所示，已知F1=20KN

8、，F2=8KN，F3=10KN，试用截面法求图示杆件指定截面11、22、33的轴力,并画出轴力图。 v解解 外力FR，F1，F2， F3将杆件分为AB、BC和CD段，取每段左边为研究对象，求得各段轴力为： FN1=F2=8KN FN2=F2-F1=-12KN FN3=F2+F3-F1=-2KN 各段受力分析及轴力图见图2-9。2.2.3 轴向横截面上的应力与变形计算v1.应力应力 内力在截面上的集度称为应力(垂直于杆横截面的应力称为正应力，平行于横截面的称为切应力)。应力是判断杆件是否破坏的依据。单位是帕斯卡，简称帕，记作Pa，即l平方米的面积上作用1牛顿的力为1帕。 根据杆件变形的平面假设和

9、材料均匀连续性假设可推断：轴力在横截面上的分布是均匀的，且方向垂直于横截面。即横截面上各点处的应力大小相等，方向沿杆轴线，垂直于横截面， 故为正应力。 2.2.3 轴向横截面上的应力与变形计算v1.应力应力 如图 2-10所示，横截面的正应力计算公式为： 正应力的正负号规定与轴力相同，即拉应力为正，压应力为负。 AFN【例【例2.2】 图2-11所示插销拉杆，插销孔处横截面尺寸b=50 mm，h=20mm，H=60mm， F=80 kN，试求拉杆的最大应力。 v解解 (1)计算轴力。由截面法可求得杆内各横截面的轴力为 FN=F=80 kN (2)计算最大应力。 由于整个杆件轴力相同，面积小的横

10、截面应力最大， 即 正号表示最大应力为拉应力。 MPabhHAFN4050)2060(1080)(108033max2.2.3 轴向横截面上的应力与变形计算v2、拉、拉(压压)杆的变形杆的变形 轴向变形和横向变形统称为绝对变形。拉伸时轴向变形为正，横向变形为负；压缩时轴向变形为负，横向变形为正。 轴向变形、横向变形计算公式分别为 dddlll112.2.3 轴向横截面上的应力与变形计算v2、拉、拉(压压)杆的变形杆的变形 英国科学家胡克通过实验，发表了力与变形的关系：当杆横截面上的正应力不超过某一限度时，杆的绝对变形与轴力FN、杆长成正比，与杆的横截面积A成反比，计算公式为 通过公式推导，可以

11、得到计算公式为 EAlFlNE【例例2.3】 求如图2-12(a)所示杆的总变形量。已知杆各段横截面面积为ACD=200mm2，ABC=AAB=500mm2，E=200GPa。v解解 （1） 作轴力图。 用截面法求得AB段轴力FNAB=20kN，BC段和CD段轴力。画轴力图，如图2-12(b)所示。 （2） 计算杆的总变形l。 由胡克定律可知，应先分别计算AB段、BC段、CD段的变形， 再求杆的总变形。 v解解 （2） 计算杆的总变形l。2.2.4材料拉伸和压缩时的力学性能v1低碳钢拉伸和压缩时的力学性能低碳钢拉伸和压缩时的力学性能 1）低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢标准拉伸试件安装在拉伸试验

12、机上，然后对试件缓慢施加拉伸载荷，直至把试件拉断，如图2-13所示。根据拉伸过程中试件承受的应力和产生的应变之间的关系，可以绘制出该低碳钢的曲线，如图2-14所示。 2.2.4材料拉伸和压缩时的力学性能v1低碳钢拉伸和压缩时的力学性能低碳钢拉伸和压缩时的力学性能 2）低碳钢压缩时的力学性能 低碳钢压缩时的曲线如图2-15所示，与其拉伸时的曲线（以虚线表示）相比，在弹性阶段和屈服阶段，两曲线是基本重合的。这说明压缩时的比例极限P、弹性极限e、 弹性模量E以及屈服极限s与拉伸时基本相同。 2.2.4材料拉伸和压缩时的力学性能v2. 铸铁拉伸和压缩时的力学性能铸铁拉伸和压缩时的力学性能 1）铸铁拉伸

13、时的力学性能 铸铁是脆性材料的典型代表。如图2-16所示，曲线没有明显的直线部分和屈服阶段，无缩颈现象而发生断裂破坏，塑性变形很小。 2.2.4材料拉伸和压缩时的力学性能v2. 铸铁拉伸和压缩时的力学性能铸铁拉伸和压缩时的力学性能 2）铸铁压缩时的力学性能 铸铁压缩时的曲线如图2-17所示，与拉伸时的相比，压缩时的曲线也无明显直线部分和屈服阶段。说明压缩时在应力很小的条件下也是近似符合胡克定律的，且不存在屈服极限。 2.2.5拉(压)杆的强度计算 v1.极限应力与许用应力极限应力与许用应力 极限应力是指材料丧失正常工作能力时的应力，用0表示。塑性变形是塑性材料破坏的标志，因而把屈服极限s作为塑

14、性材料的极限应力。对于脆性材料，断裂是脆性材料破坏的惟一标志，因此，强度极限b是脆性材料的极限应力。 许用应力是指构件安全工作时材料允许承受的最大应力。构件的工作应力必须小于材料的极限应力。一般把极限应力除以大于1的系数n 作为工作应力的最大允许值称为许用应力，用表示 。2.2.5拉(压)杆的强度计算 v2.轴向拉（压）时的强度计算轴向拉（压）时的强度计算 为了保证拉压杆具有足够的强度，必须使杆的最大工作应力小于或等于材料在拉伸（压缩）时的许用应力， 即 该式称为拉（压）杆的强度条件。应用该条件式可以解决以下三类问题：校核强度 、设计截面 、确定许可载荷。maxmaxAFN【例【例2.4】某铣

15、床工作台进给油缸如图2-18所示，缸内工作油压p2MPa，油缸内径D75mm，活塞杆直径d18mm，已知活塞杆材料的许用应力50MPa，试校核活塞杆的强度。 【例【例2.4】v解解 （1）求活塞杆的轴力。设缸内受力面积为A1，则： 【例【例2.5】 气动夹具如图2-19(a)所示。已知气缸内径D=140 mm，缸内气压P=0.6 MPa, 活塞杆材料为20钢，=80MPa，试设计活塞杆直径d。 v解解 活塞杆左端承受活塞上气体的压力，右端承受工件的阻力，所以活塞杆受到轴向拉伸，如图2-19(b)所示。拉力F的值可由气体压强乘活塞的受压面积求得。在尚未确定活塞杆的横截面面积之前，当计算活塞的受压

16、面积时，可暂将活塞杆横截面面积略去不计。故有kNNDPF24. 99240101404106 . 046262解解学习情境3 剪切、挤压和扭转2.3.1剪切v1.剪切的概念剪切的概念 当工作时，联接件的两侧当工作时，联接件的两侧面上作用大小相等、方向相面上作用大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近反、作用线平行且相距很近的一对外力，两力作用线之的一对外力，两力作用线之间发生里相对错动，这种变间发生里相对错动，这种变形称为剪切变形，如图形称为剪切变形，如图2-20所示。产生相对错动的截面所示。产生相对错动的截面称为剪切面。作用在剪切面称为剪切面。作用在剪切面上的内力称为剪力，用上的内力称为剪力

17、，用Fs表表示。示。 2.3.1剪切v2. 剪切的实用计算剪切的实用计算 工程中， 通常近似地认为剪切面上的切应力是均匀分布的，所以剪切面上的切应力计算公式为 剪切强度条件： 剪切应力不超过材料的许用切应力，即 AFsAFs2.3.2挤压v1.挤压的概念挤压的概念 构件在受到剪切作用的同时，往往还伴随着挤压作用。接触面上产生较大的压力，致使接触处的局部区域产生塑性变形，这种现象称为挤压。 工程中近似地把挤压面上的挤压应力也看成是均匀分布的。 挤压应力jy的计算公式为 挤压强度条件：挤压应力不超过材料的许用挤压应力 jyjyjyAPjyjyjyjyAP【例【例2.6】如图2-22所示齿轮与轴通过

18、B型普通平键联接 。 已 知 轴 径 d = 7 0 m m ， 键 的 尺 寸 为bhl=20mm12 mm100 mm， 传递转矩T=2 kNm，材料许用应力jy=100MPa，=60 MPa, 试校核此键联接。 v解解 (1) 校核键联接的剪切强度。 v解解 (2) 校核键联接的挤压强度。 故挤压强度够。 综上结果，此键联接强度足够。24.95100686.571422jyjyjyjyjyMPalhFAF2.3.3扭转v1.扭转的概念扭转的概念 变形特点：在杆件两端作用两个大小相等、方向相反，且垂直于杆件轴线的力偶；致使杆件的任意两个横截面产生绕杆件轴线的相对转动。这种变形称扭转变形。以

19、扭转变形为主要变形的构件称为轴，受扭圆轴实例如图2-23所示。 2.3.3扭转v1.扭转的概念扭转的概念 变形量用扭转角表示，如图2-24所示。2.3.3扭转v2扭转内力扭转内力扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图v1）外力扭矩 在工程中，作用于圆轴上的外力偶矩一般不是直接给出的， 通常给出的是圆轴所需传递的功率和转速。外力偶矩计算公式为nPMe95492.3.3扭转v2扭转内力扭转内力扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 2）扭矩 扭转时的内力称为扭矩。截面上的扭矩与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。扭矩求解仍然使用截面法。如图2-25所示。2.3.3扭转v2扭转内力扭转内力扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 2）扭矩 扭矩

20、符号用右手螺旋法则:指出截面外为正，指向截面内为负。如图2-26所示。 2.3.3扭转v2扭转内力扭转内力扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图 3）扭矩图 一般而言，圆轴上各横截面上的扭矩是不相同的。为了直观地表示圆轴上扭矩的作用情况，把圆轴的轴线作为x轴（横坐标轴）， 以纵坐标轴表示扭矩T，这种用来表示圆轴横截面上扭矩沿轴线方向变化情况的图形称为扭矩图。 【例【例2.7】 已知一传动轴如图2-27(a)所示，主动轮A上输入功率为15 kW，B、C轮为输出轮，输出轮B上输出功率为10 kW， 轴的转速为n=1000 r/min。试求各段轴横截面上的扭矩，并绘出扭矩图。 v解解 (1) 计算外力偶矩M。 其

21、中，MA方向与轴的转向相同，MB方向与轴的转向相反。 mNMmNMBA49.95100010954924.1431000159549v解解 (2) 计算扭矩T。 由图2-27(b)可得 T1+MA=0 T1= -MA=-143.24Nm 由图2-27(c)可得 T2+MA-MB=0 T2=MB-MA=-47.75Nm (3) 绘制扭矩图如图2-27(d)所示。由图可知，AB段所承受的扭矩最大，其值为-143.24 Nm。 2.3.3扭转v3.圆轴扭转时的应力与强度条件圆轴扭转时的应力与强度条件 1）圆轴扭转时横截面上的应力 在小变形的情况下，扭转时的变性特征的特点：各圆周线的形状大小及圆周线之

22、间的距离均无变化；各圆周线绕轴线转动了不同的角度；所有纵向线仍近似地为直线，只是同时倾斜了同一角度。 如图2-29所示。 2.3.3扭转v3.圆轴扭转时的应力与强度条件圆轴扭转时的应力与强度条件 2）圆轴扭转时的强度条件 要综合考虑扭矩和抗扭截面系数Wp，按这两个因素来确定最大切应力。 对于等截面圆轴，圆轴扭转的强度条件计算公式为maxmaxpWT【例【例210】 一阶梯圆轴如图2-31(a)所示，轴上受到外力偶矩M1=6 kNm，M2=4 kNm，M3=2kNm，轴材料的许用切应力=60 MPa，试校核此轴的强度。v解解 (1) 绘制扭矩图如图2-31(b)所示。 (2) 校核AB段的强度。

23、 69.171612. 060003maxMPav解解(3) 校核BC段的强度。 综合（2 ）、（3）可知，该轴强度足够。 90.191608. 020003maxMPa2.3.3扭转v4.圆轴扭转变形与刚度计算圆轴扭转变形与刚度计算 圆轴扭转时，任意两横截面产生相对角位移，称为扭角。扭角是扭转变形的变形度量。 圆轴扭转变形的刚度条件为：最大单位长度扭转角max不超过许用的单位长度扭转角。精密机器的轴：=0.250.50(/m)；一般传动轴：=0.501.00(/m)；要求不高的轴：=1.002.5(/m)。 【例【例2.11】 汽车传动轴输入的力偶矩M=1.5kNm，直径d=75mm，轴的许

24、用扭转角=0.50/m，材料的切变模量G=80 GPa，试校核此传动轴的刚度。v解解 (1) 计算扭矩T。 此传动轴横截面上的扭矩为T=M=1.5kNm。 (2) 计算极惯性矩Ip。 (3) 校核轴的刚度。 所以，此传动轴刚度足够。 46441012. 532075. 014. 332mdIp/21. 014. 31801012. 51080105 . 1180693maxmaxmGITp学习情境4 直梁的弯曲2.4.1直梁平面弯曲的概念v作用于杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使杆的轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形。如图2-32所示。以弯曲变形为主的直杆称为直梁，简称梁。在计算简图中，通

25、常以梁的轴线表示梁。 2.4.1直梁平面弯曲的概念v梁的轴线和横截面的对称轴构成的平面称为纵向对称面，如图2-33所示。梁的外载荷都作用在纵向对称面内时，则梁的轴线在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线，这种变形称为平面弯曲。它是最常见、最基本的弯曲变形。 2.4.1直梁平面弯曲的概念v工程中，粱的结构形式很多，但按支座情况可以分为三种，如图2-34（a）所示 。2.4.2 梁的弯曲内力v 1.梁的载荷的简化梁的载荷的简化 作用在梁上的载荷，一般可以简化为三种形式:1)集中力 指通过一微小段梁作用在梁上的横向力只如图2-35所示的F。 2)集中力偶 指通过一微小段梁作用在梁轴平面内的外力偶，如图2-

26、35所示的力偶M。 3)分布裁荷 在梁的部分长度或全部长度上连续分布的横向力。若均匀分布，则称为均布裁荷用裁荷集度q来表示，单位为N/m，如图2-35所示的q。粱的自重等，就属此类。 2.4.2 梁的弯曲内力v 2.梁的弯曲内力梁的弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩 求梁的内力的方法仍然是截面法。如图2-36所示的简支梁AB，在其上作用二集中力F1、F2，用截面法，假想地沿截面将梁截分为两段。取左段为研究对象，图2-36(b)所示，可列平衡方程求得 剪力FQ=FA-F1 弯矩M=FAx-F1（x-a） 当然，也可取右段为研究对象求得剪力和弯矩，如图2-36（c）所示。 2.4.2 梁的弯曲内力v 2

27、.梁的弯曲内力梁的弯曲内力剪力和弯矩剪力和弯矩 为了使同一截面取左、右不同的两段时求得的剪力和弯矩符号相同，把剪力和弯矩的符号规定如图2-37所示。 【例【例2.12】如图】如图2-38所示，求简支梁所示，求简支梁n-n截面的弯矩。截面的弯矩。 v解：取n-n截面得左段为研究对象，如图2-38（b）所示。列平衡方程求支反力 2.4.2 梁的弯曲内力v 3.弯矩图弯矩图 工程中，梁横截面上的剪力和弯矩沿梁的轴线发生变化。若以横坐标x表示梁的横截面位置，则梁在各横截面上的剪力FQ和弯矩M可以写成x的函数： FQ=FQ(x) M=M(x) 为了直观地反映梁上各横截面上弯矩的大小及变化规律，可根据弯矩

28、方程, 用横坐标x表示梁的横截面的位置, 纵坐标分别表示剪力FQ和弯矩M的大小而画出的图形，分别称为剪力图和弯矩图。 2.4.2 梁的弯曲内力v 3.弯矩图弯矩图 弯矩图的规律为： 梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并且在集中力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。 梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口方向与均布载荷的方向一致。 梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有集中力偶作用时，则弯矩为集中力偶的大小。 【例2.13】如图2-39（a）所示简支梁AB, 在梁的全长受均布载荷q的作用,试画出梁的弯矩图。 v解解（1）求支座反力 取整个梁为研究对象，由平衡方程求得反力为2.4.3 弯曲时的强度计算v1.弯曲时的强度条件弯曲时的强度条件 求出梁横截面上的剪力和弯矩后