圆的一般方程.

1、.2.2 圆的一般方程.圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径： (x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：直接看出圆心与半径 复习. x2 y 2DxEyF0 把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-+-+rbabyaxyx由于a, b, r均为常数FrbaEbDa= =- -+ += =- -= =- -222,2,2令令结论：任何一个圆方程可以写成下面形式 动动手.1.是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程都表示的曲线是圆呢？ 思考2.下

2、列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0. 022=+FEyDxyx4422)2(2)2(2FEDEyDx-+=+-2,2ED将将左边配方，得左边配方，得（1）当）当时时,它表示以它表示以为圆心为圆心,以以为半径的圆为半径的圆;D2+E2-4F02422FEDr-+=.(2)当当D2E24F0时，方程表示一个时，方程表示一个点点 ；)2,2(ED- - -(3)当当D2E24F0时，方程无时，方程无实数解实数解,不表示任何图形不表示任何图形所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E2-4F0）可表

3、示圆的方程. 圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0圆的一般方程与标准方程的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r= FED42122- -+ +没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：x2与y2系数相同并且不等于0；. 例1、判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1) x2+y2-2x+4y-4=0(2) 2x2+2y2-12x+4y=0(3) x2+2y2-6x+4y-1=0(4) x2+y2-12x+6y+50=0(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径10不是不是

4、不是. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于2. x2+y2-2ax-y+a=0 是圆的方程的充要条件是3 , 6, 4)(- -A3 , 6 , 4)(- -B3, 6 , 4)(- - -C3, 6, 4)(- - -D21)( aA21)( aB21)(= =aC21)( aDDD 练习. 下列方程各表示什么图形下列方程各表示什么图形?若是圆则若是圆则求出圆心、半径求出圆心、半径.0112422)1 (22=-+yxyx22(2)20(0)xyaxa+=22222(2)20)0 xyaxxaya+=+=由得（22(1) 22412

5、1 0 xyxy+- =解：由2212602xyxy+-=得22211)(3)2xy+-=即：（13-故它表示以（， ）为圆心,422为半径的圆.a,0a-故它表示以（）为圆心， 为半径的圆例例2：._, 4),3 , 2(0) 1 (22=-=+FEDFEyDxyx则半径为的圆心为已知圆巩固：巩固：4-6-3_,02)2(22的取值范围是则表示圆aayaxyx=+-+21,aRa_,024)3(222=+bxbbyxyx则切轴相与圆2或或-2.(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:一般方程一般方程配方展开标准方程标准方程小结一:FEDED421),2,2(22-+-半径圆心. 举例例1：

6、求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.几何方法方法一：yxM1(1,1)M2(4,2)0圆心：两条弦的中垂线的交点圆心：两条弦的中垂线的交点半径：圆心到圆上一点半径：圆心到圆上一点.因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上（4-a）2+（2-b）2=r2（a）2+（b）2=r2（1-a）2+（1-b）2=r2解：设所求圆的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2待定系数法方法二：所求圆的方程为：即（x-4）2+（y+3）2=25a=4b=-3r=5解得 举例例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）

7、的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 举例例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的一般方程为：因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则222240) 0(DEFxyDx Ey F+=+-F=0D+E+F+2=04D+2E+F+20=0所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0即（x-4）2+（y+3）2=25待定系数法方法三：F=0D=-8E=6解得. 小结二(特殊情况时,可借助图象求解更简单)注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准

8、方程较简单.若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. .例4. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线. 举例2222222( , )(0)(0)12(3)(0)23064( 9)0 x yxyxyxyx-+-=-+-+-=- -解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx .O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译法. 练习： 已知点P在圆C： 上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。0216822=+-+yxyx.1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? - -+ += =+ + + + +0402222FEDFEyDxyx 配方展开2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径) 小结.几何方法 求圆心坐标 （两条直线的交点）（常用弦的中垂线） 求半径 （圆心到圆上一点的距离） 写出圆的标