第3章平稳线性ARMA模型2--AR模型

1、本节结构 方法性工具 线性过程的因果性和可逆性 AR模型 13.1 方法性工具 差分运算 滞后算子 线性差分方程在正式讨论线性过程之前，我们首先给出相应的准备工具，介绍延迟算子和求解线性差分方程，这些工具会使得时间序列模型表达和分析更为简洁和方便2差分运算 一阶差分 阶差分 步差分pk1tttxxx111tptptpxxxkttkxx3滞后算子 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻 记B为延迟算子，有 1,pxBxtppt4延迟算子的性质 ，其中 10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBntt

2、nxxBiniinnnBCB0) 1()1 ()!( !ininCin5用延迟算子表示差分运算 阶差分 步差分pkitpiipptptpxCxBx0) 1()1 (tkkttkxBxx)1 ( 6线性差分方程 线性差分方程 齐次线性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz7齐次线性差分方程的解 特征方程 特征方程的根称为特征根，记作 齐次线性差分方程的通解 不相等实数根场合 有相等实根场合 复根场合02211ppppaaap,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(tpptititttccececrz33

3、21)(8非齐次线性差分方程的解 非齐次线性差分方程的特解 使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解 非齐次线性差分方程的通解 齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和tttzzz tz )(2211thzazazazptpttt tz910线性平稳时间序列分析 在时间序列的统计分析中，平稳序列是一类重要的随机序列。在这方面已经有了比较成熟的理论知识，最常用的是ARMA（Autoregressive Moving Average）序列。用ARMA模型去近似地描述动态数据在实际应用中有许多优点，例如它是线性模型，只要给出少量参数就可完全确定模型形式；另外，便于分析数据的结构和内在性质，

4、也便于在最小方差意义下进行最佳预测和控制。本章将讨论ARMA模型的基本性质和特征，这是时间序列统计分析中的重要理论基础。 1112 定理定理3.1 定义（3.1）中的线性过程是平稳序列，且 是均方收敛的。jtjjG 133.1.2 线性过程的因果性和可逆性 在应用时间序列分析去解决实际问题时，所使用的线性过程是因果性因果性的，即： 14 设 为一步延迟算子，则 ， ，(3.4)可表为： 其中， ，今后将把 看作对 进行运算的算子，又可作为 的函数来讨论。 BjttjXXB0j0)(jjjBGBG)(BGtB15 在理论研究和实际问题的处理时，通常还需要用t时刻及t时刻以前的 来表示白噪声 ，即

5、 ), 1 , 0(jXjtt16173.2 ARMA模型的性质 AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving Average model）18193.2.1一阶自回归过程AR(1) 通常地，由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种情形就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关，用数学模型来描述这种关系就是下面介绍的一阶自回归模型。2021 在一阶自回归AR(1)模型中，保持其平稳性的条件是对应的特征方程 的根的绝对值必须小于1，即满

6、足 。 对于平稳的AR(1)模型，经过简单的计算易得 0122233.2.2 二阶自回归过程AR(2) 当变量当前的取值主要与其前两时期的取值状况有关，用数学模型来描述这种关系就是如下的二阶自回归模型AR(2)： 引入延迟算子 的表达形式为：B2425 下面利用特征方程的根与模型参数 的关系，给出AR(2) 模型平稳的 的取值条件（或值域）。 12, 12, 12(1)(1)026 (3.16)和(3.17)式是保证AR(2)模型平稳，回归参数 所应具有的条件。反之，若(3.16)和(3.17)式成立，则特征方程 特征方程的根必落在单位圆内。 12,2120 27 满足条件(3.16)和(3.

7、17)式给出的区域 称为平稳域。对于AR(2)模型平稳域是一个三角形区域，见下图阴影部分。 12212,1,1 282930 例例3.2 设AR(2)模型： 试判别 的平稳性。 解：解：根据上述关于平稳条件的讨论，可以通过两种径进行讨论： 120.70.1ttttXXXtX3132 下面我们讨论序列的统计特性，关于平稳的二阶自回归模型AR(2)模型： AR模型的定义 具有如下结构的模型称为 阶自回归模型，简记为 特别当 时，称为中心化 模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt, 0, 0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pAR33 AR(P)序列中心化变

8、换 称 为 的中心化序列 ，令p101ttxytytx34自回归系数多项式 引进延迟算子，中心化 模型又可以简记为 自回归系数多项式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(35AR模型平稳性判别 判别原因 AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的 判别方法 单位根判别法 平稳域判别法36例3.1:考察如下四个模型的平稳性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx 12(3)0.5ttttxxxttttxxx115 . 0)4(37例3.1平稳序列时序图1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx38例3.1非平稳序列时序图1(2)1.1ttt

9、xx ttttxxx115 . 0)4(39AR模型平稳性判别方法 特征根判别 AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单位圆内 根据特征根和自回归系数多项式的根成倒数的性质，等价判别条件是该模型的自回归系数多项式的根都在单位圆外 平稳域判别 平稳域,21单位根都在单位圆内p40AR(1)模型平稳条件 特征根 平稳域141AR(2)模型平稳条件 特征根 平稳域2424221122211111,12221，且42例3.1平稳性判别8 . 010.81 . 111.1 211i212i221210.5,0.5,1.5 23112312221210.5,1.5,0.5 模型特征根判别平稳域判

10、别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳43平稳AR模型的统计性质 均值 方差 协方差 自相关系数 偏自相关系数44均值 如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有 根据平稳序列均值为常数，且 为白噪声序列，有 推导出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,t45方差 平稳AR模型的传递形式 两边求方差得函数为GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx046例3.2:求平稳AR(1)模型的方差 平稳AR(1)模型的传递形式为 Green函数为 平稳AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1, 1 , 0,1jGjj212202102

11、1)()(jjtjjtVarGxVar47协方差函数 在平稳AR(p)模型两边同乘 ，再求期望 根据 得协方差函数的递推公式)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk221148例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差 递推公式 平稳AR(1)模型的方差为 协方差函数的递推公式为0111kkk212011,12121kkk49例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差 平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为21)1)(1)(1 (12211201122121220kkkk，50自相关系数 自相关系数的定义 平稳AR(P)模型

12、的自相关系数递推公式0kk1122kkkpkp 51常用AR模型自相关系数递推公式 AR(1)模型 AR(2)模型0,1kkk2110, 1221121kkkkkk52AR模型自相关系数的性质 拖尾性 呈复指数衰减1( )pkiiikc不能恒等于零pccc,211( )pkiiikc053例3.5:考察如下AR模型的自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (54例3.5 自相关系数按复指数单调收敛到零1(1)0.8tttxx55例3.5:1(2)0.8tttxx 56 例3.5: 自相关系数呈现出“伪

13、周期”性12(3)0.5ttttxxx57例3.5: 自相关系数不规则衰减12(4)0.5ttttxxx 58偏自相关系数 定义对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量 的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后， 对 影响的相关度量。用数学语言描述就是121,ktttxxxktxtx2,)()(11ktktktktttxxxxxExExExxExEkttktt59偏自相关系数的计算 滞后k偏自相关系数实际上就等于k阶自回归模型第个k回归系数的值。02211202112112011kkkkkkkkkkkkkkkkk)()(2ktktktktttkkxExExExxExE60偏自相关系数的截尾性 AR(p)模型偏自相关系数P阶截尾pkkk,061例3.5续:考察如下AR模型的偏自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115 . 0)4(5 . 0)3(8 . 0)2(8 . 0) 1 (62例