数学实验：2-斐波那契数列

1、实验一 斐波那契数列一、 实验目的与要求1 认识Fibonacci数列，体验发现其通项公式的过程；2 了解matlab软件中进行数据显示与数据拟合的方式；3 掌握matlab软件中plot, polyfit等函数的基本用法；4 提高对数据进行分析与处理的能力。二、 问题描述某人养了一对兔（公母各一只），一个月后这对兔子生育了一对小兔。假设小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且兔子不会死亡。问：一年后共有多少对兔子？三、 问题分析这个问题，最早由意大利数学家斐波那契(Fibonacci，1170-1240)于1202年在其著作珠算原理中提出。根据问题的假设，兔子的总数

2、目是如下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，问题的答案就是此数列的第12项，即一年后共有144对兔子。这个数列通常被称为斐波那契(Fibonacci)数列，研究这个问题就是研究Fibonacci数列。把这个问题作更深入的研究，我们会问：第n个月后，总共有多少对兔子？即Fibonacci数列的第n项是多少？这就需要我们探素Fibonacci数列的通项公式。根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于第n+1个月后兔子的对数（表示原来就有的老兔子对数），加上第n个月后兔子的对数（表示生育出来的新兔子对数）。这样就得到关于Fibonacci数列的一个

3、递推公式：利用matlab软件的数据可视化功能将这些数据显示成平面曲线的形式后，我们可以观察到Fibonacci数列的变化规律；通过matlab软件的数据拟合功能，我们可以大概知道Fibonacci数列的函数关系式，结合上面的递推公式，就可以推导出来Fibonacci数列的通项公式。四、 背景知识介绍1 数据的可视化将离散的数据：，看成平面坐标系里的点：，利用matlab软件的plot函数在平面坐标系里划出一个点列，就可以实现离散数据的可视化。plot函数的基本使用格式为：plot(y)，其中参数y表示竖坐标，即需要显示的数据。例1 y=1:20;y=y.3;plot(y)2 数据的拟合数据拟

4、合就是寻找一个目标函数，作为被拟合数据的近似函数关系。目标函数的类型，可以是多项式、指数函数等。作数据拟合，首先需要估计目标函数的类型，这一点可以通过数据可视化来观察得到，而一阶多项式是最常见的目标函数，此时称为线性回归。确定拟合系数的原则是最小二乘法，即所有误差的平方和取最小值。在matlab软件中以多项式为目标函数作数据拟合的函数是polyfit，它的基本使用格式为：polyfit (x,y,n)。其中(x,y)是被拟合的数据，即平面上的一个点列，而n是事先确定的多项式的阶数。例2 x=1,3,4,5,6,7,8,9,10;y=10,5,4,2,1,1,2,3,4; p=polyfit (

5、x,y,2)结果：调用f = polyval(p,x)，可以查看拟合多项式的对应于x的离散数值。3 数列的通项公式寻找一个整标函数，使得它在n处的函数值，等于数列的第n项的值，这个函数就是数列的通项公式。4 黄金分割把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比（如下图）。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分协调美观，因此称之为黄金分割。五、 实验过程本试验将Fibonacci数列的有限项，看成是待处理的数据。首先利用matlab软件的可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其图形类似什么曲线，结论是：指数函数的曲线。

6、进一步，利用指数函数与对数函数的互逆关系，将原有数据取对数，再观察其曲线形状是否类似直线，以验证原来的观察是否正确。通过观察到的目标函数，然后利用matlab软件的数据拟合功能，得到Fibonacci数列通项公式的近似关系。最后，从近似关系出发，推导出来Fibonacci数列的通项公式。1 观察数据的大概函数关系为了研究Fibonacci数列的变化规律，我们取此数列的前30项来观察。利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。具体的实现流程为：（1）定义数组fn；（2）显示数组fn。具体的代码如下：function plotfibo(n) %定义

7、函数显示Fibonacci数列前n项fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来这个函数的调用方式是：plotfibo(30)，显示出来的图像为图1，经观察，觉得曲线的形状象指数函数的曲线，其数据无限增大。可以改变参数n的值，反复观察。 图1 n=30 图2 n=50 图3 n=500 图4 n=10002 进一步验证上一步得到的结论经过上一步的观察，觉得这些数据应该是指数函数的形式。为了进一步验证这个结论是否

8、正确，可以利用指数函数与对数函数的互逆关系。如果这些数据确实是指数函数的形式，则经过取对数后应该是一个线性关系，即一阶多项式，从图形上看应该象一条直线。因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。具体的实现流程为：（1）定义数组fn；（2）数组fn取对数；（3）显示数组fn。具体的代码如下：function plotlnfibo(n) %显示取对数后的前n项fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结

9、束fn=log(fn)； %将原来的数据取对数plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来这个函数的调用方式是：plotlnfibo(30)，显示出来的图像为图5，经观察，觉得它确实象一条直线。可以改变参数n的值，反复观察。 图5 n=30 图6 n=50 图7 n=500 图8 n=10003 获得数据的近似关系式经过以上第一步的观察，确定Fibonacci数列的数据是指数函数的关系，第二步验证了第一步得到的结论，因此我们认为Fibonacci数列的数据关系就是指数函数，取对数后就是线性函数，即一阶多项式。利用Matlab软件的数据拟合功能，通过取对数后的数据，用一阶多项式拟合出它的函

10、数关系式，可以得到Fibonacci数列通项公式的一个近似表达式。具体的实现流程为：（1）定义数组fn；（2）数组fn取对数；（3）用一阶多项式拟合数组fn。具体的代码如下：function fitlnfibo(n) %根据取对数后的数据，拟合出线性表达式fn=1,1; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项 fn=fn,fn(i-2)+fn(i-1); %将第i项添加到数组fn中end %循环结束xn=1:n; %定义横坐标fn=log(fn)； %将原来的数据取对数polyfit(xn,fn,1) %拟合装有数列前n项的数组这个函数的调用方式是：fitln

11、fibo(30)，运行后返回结果是：0.4799， -0.7768。这两个数据就是一阶多项式的系数，即：为了提高精度，可以加大n的值。取n1000时得到：从上面的表达式，可以得到数列通项公式的近似：4 观察拟合数据与原始数据的吻合程度经过第三步的拟合，得到了Fibonacci数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将Fibonacci数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。具体的实现流程为：（1）定义数组fn1,fn2；（2）显示数组fn1,fn2。具体的代码如下：function plotfibo2(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=; %装拟合数据的数组for

12、 i=1:n %fn1的第1项到第n项 fn1=fn1,0.4476*1.618i; %将第i项添加到数组fn1中end fn2=1,1; %装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n %fn2的第3项到第n项 fn2=fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1); %将第i项添加到数组fn2中end x=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,'r*') %显示, fn1兰线，fn2红星这个函数的调用方式是：fitlnfibo2(20)，显示出来的图像为图9，或fitlnfibo2(50)，显示出来的图像为图10。 图9 n=20 图10 n=505 猜测Fi

13、bonacci数列的通项公式通过以上的观察和分析，我们知道Fibonacci数列的数据大概是指数函数的关系。因此，我们猜测它的通项公式具有形式：。将这个表达式代入递推公式中，得到：。经过简化得到：这是一个一元二次的代数方程，其两个根形式如下：考虑到Fibonacci数列的数据无限增大，我们取，于是得到通项公式如下：上面的公式对吗？我们可以来验证。取n=1和n=2代入上面的公式中计算，显然得不到，因此它不是Fibonacci数列的通项公式。但这个公式并非一无是处，我们可以来考虑这个公式与Fibonacci数列到底相差多少。因此，我们引入以下一个数列：可以验证，这个新的数列也满足同样的递推公式：，

14、因此我们猜测它同样是指数函数的形式，可以假设其表达式为：，代入递推公式后，同样可以得到：。这里的r显然不同于上面的r，故这个r取值为：，从而得到：。故有：由条件确定其中的常数，得到：可以验证，它确实就是Fibonacci数列的通项公式。这个公式是法国数学家比内(Binet)在1843年发现的，称为比内公式。6 推导Fibonacci数列的通项公式Fibonacci数列具有如下递推关系：这个等式实际上是一个二阶常系数线性齐次差分方程，可以仿照二阶常系数线性齐次微分方程来求解。首先由递推等式得到如下特征方程：这是一个一元二次的代数方程，其两个根形式如下：因此，我们得到差分方程的通解如下：取n=1和

15、n=2代入上面的公式中，解得：从而得到：六、 结论与应用1 Fibonacci数列的阶通过以上实验过程，我们得到了Fibonacci数列的通项公式，它类似一个指数函数，当n无限增大时，其数据也无限增大，变化的阶是：在Fibonacci数列的通项公式中，出现了和等无理数，而它们运算以后的结果确是正整数，多么奇妙啊！2 Fibonacci数列与黄金分割数的关系上面的两个无理数之间，存在着这样的关系：而就是著名的黄金分割数。因此，Fibonacci数列的通项公式又可以写成如下形式：可以验证，Fibonacci数列与黄金分割数之间还有如下的关系：（怎么证明上式？）3 Fibonacci数列通项公式的其

16、它形式Fibonacci数列的通项公式还有其它形式，比如：4 自然界中的Fibonacci数列Fibonacci数列与自然界中的许多现象有着紧密的联系。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。 又如植物的分枝生长、向日葵种子的排列、花瓣的数量、晶体的结构等都是Fibonacci数列。花瓣的数量，一般都是Fibonacci数以斐波那契螺旋方式的排列如果顺时针与逆时针螺旋的数目，是斐波那契数列中相邻的2项，可称其为斐波那契螺旋，也被称作黄金螺旋。这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气。5 应用Fibonacci数列在纯粹数学、运筹优化、计算机科学等领域具有重大的应用价值，在现代物理、准晶体结构、化学等领域有直接的应用。本实验研究的是Fibonacci数列的变化规律，而数列本质上就是一些数据。因此，对于一般的数据（比如：从调查中获得的数据、从试验中获得的数据）,