2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

1、2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1（5分）已知集合A=x|x（x4）0，B=0，1，5，则AB= 2（5分）设复数z=a+i（aR，i为虚数单位），若（1+i）z为纯虚数，则a的值为 3（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50，100上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80）（单位：分钟）内的学生人数为 4（5分）执行如图所示的伪代

2、码，若x=0，则输出的y的值为 5（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 6（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为 7（5分）设函数y=exa的值域为A，若A0，+），则实数a的取值范围是 8（5分）已知锐角，满足（tan1）（tan1）=2，则+的值为 9（5分）若函数y=sinx在区间0，2上单调递增，则实数的取值范围是 10（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若an的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为 11（5分）设函数f（x）是偶

3、函数，当x0时，f（x）=，若函数y=f（x）m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 12（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x3）上存在一点P，圆x2+（y1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为 13（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为 14（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC19sinBsinC对任意ABC都成立，则实数k的最小值为 二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，

4、CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点（1）求证：BN平面A1MC；（2）若A1MAB1，求证：AB1A1C16（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值17（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N（1）当BE长为1分米时，求

5、折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？18（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（ab0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程19（16分）设数列an满足a=an+1an1+（a2a1）2，其中n2，且nN，为常数（1）若an是等差数列，且公差d0，求的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r3，7，使得mannr对任意

6、的nN*都成立，求m的最小值；（3）若0，且数列an不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的nN*均成立求所有满足条件的数列an中T的最小值20（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，cR）（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；（2）当b=3a时，若对任意x0（1，+）和任意a（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点求证：x1x2x2bx1x2x

7、1选做题（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内）选修4-1：几何证明选讲图21（10分）如图，已知AB为O的直径，直线DE与O相切于点E，AD垂直DE于点D若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF选修4-2：矩阵与变换22（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，直线cos（+）=1与曲线=r（r0）相切，求r的值选修4-5：不等式选讲24已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值25（10分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是菱形，

8、AC与BD交于点O，OP底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4（1）求直线AP与BM所成角的余弦值；（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值26（10分）已知nN*，nf（n）=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+nCnn1Cnn（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1（5分）已知集合A=x|x（x4）0，B=0，1，5，则AB=1【解答】

9、解：集合A=x|x（x4）0=x|0x4，B=0，1，5，AB=1故答案为：12（5分）设复数z=a+i（aR，i为虚数单位），若（1+i）z为纯虚数，则a的值为1【解答】解：z=a+i，（1+i）z=（1+i）（a+i）=a1+（a+1）i，又（1+i）z为为纯虚数，a1=0即a=1故答案为：13（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间50，100上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80）（单位：分钟）内的学生人数为1200【解答】解：由频率分布直

10、方图得：该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在70，80）（单位：分钟）内的频率为：1（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在70，80）（单位：分钟）内的学生人数为：4000×0.3=1200故答案为：12004（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为1【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数y=，当x=0时，y=e0=1故答案为：15（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率

11、为【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n=6，摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个，摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=故答案为：6（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为6【解答】解：双曲线的方程，a2=4，b2=5，可得c=3，因此双曲线的右焦点为F（3，0），抛物线y2=2px（p0）的焦点与双曲线的右焦点重合，=3，解之得p=6故答案为：67（5分）设函数y=exa的值域为A，若A0，+），则实数a的取值范围是

12、（，2【解答】解：函数y=exa的值域为Aex=2，值域为A=2a，+）又A0，+），2a0，即a2故答案为：（，28（5分）已知锐角，满足（tan1）（tan1）=2，则+的值为【解答】解：（tan1）（tan1）=2，可得：tan+tan+1=tantan，tan（+）=1，锐角，可得：+（0，），+=故答案为：9（5分）若函数y=sinx在区间0，2上单调递增，则实数的取值范围是（0，【解答】解：由函数y=sinx，图象过原点，可得0在区间0，2上单调递增，即故答案为：（0，10（5分）设Sn为等差数列an的前n项和，若an的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为4034

13、【解答】解：因为 Sn为等差数列an的前n项和，且an的前2017项中的奇数项和为2018，所以S奇=a1+a3+a5+a2017=1009×（a1+a2017）×=1009×a1009=2018，得a1009=2则 S偶=a2+a4+a6+a2016=1008×（a2+a2016）×=1008×a1009=1008×2=2016 则S2017=S奇+S偶=2018+2016=4034故答案为：403411（5分）设函数f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=，若函数y=f（x）m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是1，）

14、【解答】解：由0x3可得f（x）0，x3时，f（x）（0，1）画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示，函数y=f（x）m有四个不同的零点，函数y=f（x）与y=m的图象有4个交点，由图象可得m的取值范围为1，），故答案为：1，）12（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x3）上存在一点P，圆x2+（y1）2=1上存在一点Q，满足=3，则实数k的最小值为【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）；则y1=k（x13），+（y21）2=1；由=3，得，即，代入得+=9；此方程表示的圆心（0，3）到直线kxy3k=0的距离为dr；即3，解得k0实数k的最小值为故答案为：13（5

15、分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则的最大值为24【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A（，），B（0，0），那么容易得到C（0，5）时，D的位置可以有三个位置，其中D1（，），D2（，0），D3（，），此时=（，），=（，），=（，5），=（，），则=21，=24，=22.5，则的最大值为24，故答案为：2414（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC19sinBsinC对任意ABC都成立，则实数k的最小值为100【解答】解：ksin2B+sinAsinC19sinBsi

16、nC，由正弦定理可得：kb2+ac19bc，k，只需k大于右侧表达式的最大值即可，显然cb时，表达式才能取得最大值，又cbab+c，bcabc，19+（）=20（）2=100（10）2，当=10时，20（）2取得最大值20×10102=100k100，即实数k的最小值为100故答案为：100二、解答题（共6小题，满分90分）15（14分）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点（1）求证：BN平面A1MC；（2）若A1MAB1，求证：AB1A1C【解答】证明：（1）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以ABA1B1，且AB=A1B1，又

17、点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MBA1N所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1MBN 又BN平面A1MC，A1M平面A1MC，所以BN平面A1MC；（2）因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1底面ABC，而AA1侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1底面ABC又CA=CB，且M是AB的中点，所以CMAB则由侧面ABB1A1底面ABC，侧面ABB1A1底面ABC=AB，CMAB，且CM底面ABC，得CM侧面ABB1A1又AB1侧面ABB1A1，所以AB1CM 又AB1A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1MMC=M，所以AB1平面A1MC 又A1C平面A1M

18、C，所以ABA1C16（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=（1）若C=2B，求cosB的值；（2）若=，求cos（B）的值【解答】解：（1）因为c=，则由正弦定理，得sinC=sinB （2分）又C=2B，所以sin2B=sinB，即2sinBcosB=sinB （4分）又B是ABC的内角，所以sinB0，故cosB= （6分）（2）因为=，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，得b2+c2a2=b2+a2c2，得a=c （10分）从而cosB=，（12分）又0B，所以sinB=从而cos（B+）=cosBcossinBsin= （14分）17（14分）有

19、一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、EOF=120°的扇形，且弧，分别与边BC，AD相切于点M，N（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T设OE=OF=OM=R，在RtOET中，因为EOT=EOF=60°，所以OT=，则MT=0MOT=从而BE=MT=，即R=2BE=

20、2故所得柱体的底面积S=S扇形OEFSOEF=R2R2sin120°=，又所得柱体的高EG=4，所以V=S×EG=4答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为4立方分米（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积S=S扇形OEFSOEF=R2R2sin120°=（）x2，又所得柱体的高EG=62x，所以V=S×EG=（2）（x3+3x2），其中0x3令f（x）=x3+3x2，0x3，则由f（x）=3x2+6x=3x（x2）=0，解得x=2列表如下：x（0，2）2（2，3）f（x）+0f（x）增极大值减所以当x=2时，f（x）取得最大值答：当

21、BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大18（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（ab0）的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点当点N运动到点（）处时，点Q的坐标为（）（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且=2时，求直线BM的方程【解答】解：（1）由N（），点Q的坐标为（），得直线NQ的方程为y=x，令x=0，得点B的坐标为（0，）所以椭圆的方程为+=1将点N的坐标（，）代入，得+=1，解得a2=4所以椭圆C的标准方程为+=1（2）：设直线BM的斜率为k（k0），则

22、直线BM的方程为y=x在y=kx中，令y=0，得xP=，而点Q是线段OP的中点，所以xQ=所以直线BN的斜率kBN=kBQ=2k联立，消去y，得（3+4k2）x28kx=0，解得xM=用2k代k，得xN=又=2，所以xN=2（xMxN），得2xM=3xN，故2×=3×，又k0，解得k=所以直线BM的方程为y=x19（16分）设数列an满足a=an+1an1+（a2a1）2，其中n2，且nN，为常数（1）若an是等差数列，且公差d0，求的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r3，7，使得mannr对任意的nN*都成立，求m的最小值；（3）若0，且数列an不是常数列

23、，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的nN*均成立求所有满足条件的数列an中T的最小值【解答】解：（1）由题意，可得a=（an+d）（and）+d2，化简得（1）d2=0，又d0，所以=1（2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件，可得4=1×4+，解得=0，所以a=an+1an1，所以数列an是首项为1，公比q=2的等比数列，所以an=2n1欲存在r3，7，使得m2n1nr，即rnm2n1对任意nN*都成立，则7nm2n1，所以m对任意nN*都成立令bn=，则bn+1bn=，所以当n8时，bn+1bn；当n=8时，b9=b8；当n8时，bn+1bn所以bn的最大值为b9

24、=b8=，所以m的最小值为；（3）因为数列an不是常数列，所以T2，若T=2，则an+2=an恒成立，从而a3=a1，a4=a2，所以，所以（a2a1）2=0，又0，所以a2=a1，可得an是常数列，矛盾所以T=2不合题意若T=3，取an=（*），满足an+3=an恒成立 由a22=a1a3+（a2a1）2，得=7则条件式变为an2=an+1an1+7由22=1×（3）+7，知a3k12=a3k2a3k+（a2a1）2；由（3）2=2×1+7，知a3k2=a3k1a3k+1+（a2a1）2；由12=2×（3）+7，知a3k+12=a3ka3k+2+（a2a1）2；

25、所以，数列（*）适合题意所以T的最小值为320（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+（a，b，cR）（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；（2）当b=3a时，若对任意x0（1，+）和任意a（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2）两点求证：x1x2x2bx1x2x1【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f（x）=，所以f（1）=1，当c=0时，g（x）=ax

26、+，所以g（x）=a，所以g（1）=ab，因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，所以，即，解得a=，b=；（2）当x01时，则f（x0）0，又b=3a，设t=f（x0），则题意可转化为方程ax+c=t（t0）在（0，+）上有相异两实根x1，x2 即关于x的方程ax2（c+t）x+（3a）=0（t0）在（0，+）上有相异两实根x1，x2 所以，得，所以c2t对t（0，+），a（0，3）恒成立 因为0a3，所以22=3（当且仅当a=时取等号），又t0，所以2t的取值范围是（，3），所以c3故c的最小值为3（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，所以，两式

27、相减，得b=x1x2（1），要证明x1x2x2bx1x2x1，即证x1x2x2x1x2（1）x1x2x1，即证，即证1ln1令=t，则t1，此时即证1lntt1令（t）=lnt+1，所以（t）=0，所以当t1时，函数（t）单调递增又（1）=0，所以（t）=lnt+10，即1lnt成立；再令m（t）=lntt+1，所以m（t）=1=0，所以当t1时，函数m（t）单调递减，又m（1）=0，所以m（t）=lntt+10，即lntt1也成立综上所述，实数x1，x2满足x1x2x2bx1x2x1选做题（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内）选

28、修4-1：几何证明选讲图21（10分）如图，已知AB为O的直径，直线DE与O相切于点E，AD垂直DE于点D若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF【解答】解：如图，连接AE，OE，因为直线DE与O相切于点E，所以DEOE，又因为ADDE于D，所以ADOE，所以DAE=OEA，在O中，OE=OA，所以OEA=OAE，（5分）由得DAE=OAE，即DAE=FAE，又ADE=AFE，AE=AE，所以ADEAFE，所以DE=FE，又DE=4，所以FE=4，即E到直径AB的距离为4（10分）选修4-2：矩阵与变换22（10分）已知矩阵M=，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点，则=1，设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y），则=，即，解得，（5分）代入=1，得=1，圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为=1（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，直线cos（+）=1与曲线=r（r0）相切，求r的值【解答】解：直线cos（+）=1，转化为：，曲线=r（r0）转化为：x2+y2