自动控制理论_13根轨迹法

1、第四章第四章 根轨迹法根轨迹法控制系统控制系统4.1.2 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 )()(1)()(sHsGsGs) 12)(1() 12)(1()(222221212221sTsTsTsssKsGvG式中，式中， 为前向通道增益，为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益，它为前向通道根轨迹增益，它们之间相差一个比例常数们之间相差一个比例常数GKGK设控制系统如图所设控制系统如图所示，闭环传递函数为示，闭环传递函数为)()(11iqiifiGpszsK221221TTKKGG反馈通路传递反馈通路传递函数可表示为函数可表示为 )()()(11jhj

2、jljHpszsKsH 为反馈通道的根轨迹增益。于是，系统的开环传递为反馈通道的根轨迹增益。于是，系统的开环传递函数可表示为函数可表示为HK)()()()()()(1111jhjiqijljifiHGpspszszsKKsHsG)()()()()()(1111jhjiqijljifipspszszsKsHsG 为开环系统根轨迹增益。它与开环增益为开环系统根轨迹增益。它与开环增益K之间的关之间的关系相差一个比例常数。系相差一个比例常数。K对于有对于有m个开环零点个开环零点n个开环极点的系统，必有个开环极点的系统，必有 nhqmlf,)()()()()(1*111kmkknkjhjifiGzsKp

3、spszsKs比较开、闭环得比较开、闭环得(1) 闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通道根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益就等于开环系增益；对于单位反馈系统，闭环根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益。统根轨迹增益。 (2) 闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就传递函数的极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。是开环零点。 (3) 闭环极点与开环零点、极点以及根轨迹增益闭环极点与开环零点、极点以及根轨迹增益 均有关均有关K

4、根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点根轨迹法的基本任务在于：如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。一旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定。旦确定闭环极点后，闭环传递函数的形式便不难确定。)()()()()()()(11*1111jljifiHGjhjiqijhjifiGzszsKKpspspszsKs)()()()()()(1111jhjiqijljifiHGpspszszsKKsHsG0)()(1sHsG所以我们可得到根轨迹方程为所以我们可得到根轨迹方程为 1)()(11iniimips

5、zsK考虑到考虑到)12(11kje), 2, 1, 0(k因此，根轨迹方程可用如下两个方程描述因此，根轨迹方程可用如下两个方程描述) 12()()(11kpszsniimii), 2, 1, 0(kimiinizspsK11闭环系统的特征方程为闭环系统的特征方程为三三.根轨迹方程根轨迹方程此乃：相角方程和模值方程。相角方程是确定此乃：相角方程和模值方程。相角方程是确定s平面上根平面上根轨迹的充要条件。轨迹的充要条件。判断根轨迹判断根轨迹 直接应用相角方程可判断。举例说明。设直接应用相角方程可判断。举例说明。设开环传递函数为开环传递函数为)()()()(321pspsszsKsHsG为了判断根

6、轨迹，可以在为了判断根轨迹，可以在s平面上任取平面上任取s1点，画出从各开点，画出从各开环零、极点到环零、极点到s1点的向量，然后根据相角方程检验点的向量，然后根据相角方程检验s1点是点是否属于根轨迹上的点。即若下式成立否属于根轨迹上的点。即若下式成立) 12()(3211k), 2, 1, 0(k那么，那么，s1是根轨迹上的一点，其对应的根轨迹增益可按模是根轨迹上的一点，其对应的根轨迹增益可按模值方程算出值方程算出.EBCDK * 式中，式中，B.C.D代表各开环极点到代表各开环极点到s1点的点的向量模值向量模值，E代表代表 向量向量 的模值。的模值。11sz 模值方程与相模值方程与相角方程

7、的应用角方程的应用-1.5- -1- -20.5=0.466=0.466 n n=2.34=2.34s s1 1=-0.825=-0.825s s2,32,3= -1.09= -1.09j2.07j2.07- -1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.262.112.612.072= 6.006892.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= 180oS1=1.5+j1.2553Lik*=0.2643.826i39.91.82668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.

8、3164.4k*=0.266180.3o一一 根轨迹的分支数：等于开环特征方程的阶数根轨迹的分支数：等于开环特征方程的阶数n n，与开环，与开环极点个数相同。极点个数相同。 证明：证明： 采用理论归纳论证采用理论归纳论证 根轨迹是根的轨迹，有多少闭环根就有多少轨迹，根轨迹是根的轨迹，有多少闭环根就有多少轨迹，因此分支数与闭环根数目一致。根据根轨迹方程，特征因此分支数与闭环根数目一致。根据根轨迹方程，特征根个数就等于根个数就等于n n。 闭环特征方程中的系数是闭环特征方程中的系数是K K* * 的函数，因此的函数，因此K K* * 做连续做连续变化时，这些系数也随之改变，导致闭环根的变化是连变化

9、时，这些系数也随之改变，导致闭环根的变化是连续的。续的。4-2 4-2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则 二二 根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于实根轨迹的连续性与对称性：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。轴的曲线。 三三 根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。若开环零点数环零点。若开环零点数mm小于开环极点数小于开环极点数n n，则有，则有n-mn-m条根条根轨迹趋于无穷远处。轨迹趋于无穷远处。证明证明:根轨迹起点是指根轨迹增益根轨迹起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹的根轨迹,而终点则而终点则是指是指 的根轨迹。设

10、系统开环传递函数为（的根轨迹。设系统开环传递函数为（4-13），），则闭环系统的特征方程式为则闭环系统的特征方程式为K0)()(11imiinizsKps式中式中 可以从零变到无穷。当可以从零变到无穷。当K*=0时，有时，有Kips ), 2 , 1(ni说明说明K*=0时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极时，闭环特征方程式的根就是开环传递函数的极点，所以根轨迹必起于开环极点。点，所以根轨迹必起于开环极点。 将特征方程改写成如下形式将特征方程改写成如下形式0)()(111imiinizspsK当当 时，可得时，可得Kizs ), 2 , 1(mj所以根轨迹必终于开环零点。所以根轨迹必终于

11、开环零点。实际系统中，实际系统中， ，因此有，因此有 条根轨迹的终点将条根轨迹的终点将在无穷远处。当在无穷远处。当 时，时，nm mnsmnsimiinisszspsKlimlim11 具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫具有有限值的零点为有限零点，处于无穷远处的零点叫无限零点。无限零点。j01p2p3p4p1z2z3zs四四 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 实轴上某一区域，其右方实轴上开实轴上某一区域，其右方实轴上开环系统零点数和极点数的总和为奇数，则该区域必是根轨环系统零点数和极点数的总和为奇数，则该区域必是根轨迹。迹。 证明：如右图所示，成对出现证明：如右图所示，成对出现的开环

12、共轭复数零点或极点对的开环共轭复数零点或极点对实轴上任一试探点实轴上任一试探点s构成的两构成的两向量的相角之和在任何情况下向量的相角之和在任何情况下都等于都等于0，即，即 0)()(43pspss左方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为左方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为0 0)(1zss右方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为右方实轴上任一开环零点或极点对该点构成的向量的相角为180 180)(1ps180满足根轨迹方程的相角方程。故实轴上的点若在根轨迹上，其满足根轨迹方程的相角方程。故实轴上的点若在根轨迹上，其右方实轴上的开环零点和极点之和必为奇数。

13、右方实轴上的开环零点和极点之和必为奇数。 例1 设系统开环传递函数为 )20)(5)(1()5 . 0()(2sssssKsG判断实轴上的根轨迹区间。 解解 系统的开环零点为系统的开环零点为 ，开环极点为，开环极点为-1，-5，-20以以及原点（两重根）。如图所示。及原点（两重根）。如图所示。 5 . 0区间区间20，5右方的开环零点数和极点数总和为右方的开环零点数和极点数总和为5，区，区间间1，0.5右方的开环零点数和极点数总和为右方的开环零点数和极点数总和为3。故实。故实轴上根轨迹在上述区间内。轴上根轨迹在上述区间内。 mnka) 12() 1, 2 , 1 , 0(mnkmnzpnimi

14、iia11证明：渐近线就是证明：渐近线就是s s值很大时的根轨迹，因此渐近线也一值很大时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得定对称于实轴。将开环传递函数写成多项式比值形式，得五五 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数根轨迹的渐近线：当开环有限极点数n大于有限零点大于有限零点数数m时时, ,有有n- -m条根轨迹分支沿着与实轴交角为条根轨迹分支沿着与实轴交角为 ，交点，交点为为 的一组渐近线趋向无穷远处的一组渐近线趋向无穷远处aa)()()()(11iniimipszsKsHsGnnnnmmmmasasasbsbsbsK111111式中式中 miizb11nii

15、pa11当当 时，上式可近似为时，上式可近似为s111)()()(mnmnsbasKsHsG令令 1)()(sHsG得渐近线方程得渐近线方程 Ksbasmn)1 (11mnmnKsbas1111)()1 (根据二项式定理根据二项式定理 21111111)(11(1! 21)(11)1 (sbamnmnsbamnsbamn当当 时，近似有时，近似有 ssmnbasbamn)(1)1 (11111mnmnKsmnbassbas111111)()(1 )1 (：代入上页最后一个方程现在以js1,.1 , 0) 12(sin) 12(cos)(*11mnkmnkjmnkKjmnbamn：令实部和虚部分

16、别相等mnkKmnkKmnbamnmn) 12(sin,) 12(cos*11从最后两个方程解出：aaamntgK)(,sin*mnka) 12(mnzpmnbanimiiia1111直线方程例例2.设控制系统如图所示，其开环传递函数为设控制系统如图所示，其开环传递函数为 )22)(4() 1()(2sssssKsG画出渐近线。画出渐近线。解：将开环零点、极点标注在解：将开环零点、极点标注在s平面的直角坐标系上，以平面的直角坐标系上，以“”表示表示开环极点，以开环极点，以“”表示开环零点。在根轨迹绘制过程中，由于需表示开环零点。在根轨迹绘制过程中，由于需要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与

17、纵坐标必须采用相同要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与纵坐标必须采用相同的比例尺。的比例尺。 由法则由法则3，根轨迹起于，根轨迹起于 的极点的极点 ， 和和 ， 终于终于 的有限零点的有限零点 以及无穷远处。以及无穷远处。由法则由法则1，根轨迹的分支数有，根轨迹的分支数有4条，它们是连续的且对称于实轴。条，它们是连续的且对称于实轴。 )(sG4, 021ppjp 13jp 14)(sG11z由法则由法则5，有，有 条根轨迹渐近线，它们的交点为条根轨迹渐近线，它们的交点为3mn67. 13) 1()1140(3)(411jjzpiia各渐近线与实轴的交角分别为各渐近线与实轴的交角分别为60)

18、 12(mnka)0( k180) 12(mnka) 1( k300) 12(mnka)2( k六、根轨迹的起始角与终止角六、根轨迹的起始角与终止角: :根轨迹离开开环复数极点根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与处的切线方向与正正实轴方向的夹角实轴方向的夹角, ,称为起始角称为起始角, ,以以 表示，见图表示，见图4-10 4-10 ；根轨迹进入开环复数零点处的切；根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与线方向与正正实轴方向的夹角，称为终止角，以实轴方向的夹角，称为终止角，以 表示，表示，见图见图4-104-10ip21,ppzi2, 1zz在右图所示的根轨迹上取一试在右图所示的根轨迹上取一试验点

19、验点 ，使，使 无限地靠近开无限地靠近开环复数极点环复数极点 , ,即认为即认为 , ,则这时则这时 ，依据相，依据相角方程有角方程有 1s1s1p11ps 1)(11pps)()()()()()(31211111pspspszssHsG) 12(k= )()()() 12(3121111ppppzpKp nijjjimjjipppzpKi11)()() 12( 同理可得同理可得 njjimijjjizpzzzKi11)()() 12()()()()()(3121111ppppzpsHsGp) 12(K= 例3*(2)(2)( )( )(12)(12)Ksj sjG s H ssjsj 设系统

20、开环传递函数试计算起始角和终止角。解 板书七、根轨迹的分离点坐标d：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。分离点的坐标d可由下面方程求得 nimjjizdpd1111jz式中： 为各开环零点的数值， 为各开环极点的数值。ip一般采用极值法极值法求分离点坐标求分离点坐标 )()()()()()(*11*sDsNKpszsKsHsGiniimi闭环系统特征方程为闭环系统特征方程为 0)()(0)()(1*sNKsDsDsNK0)()(*sNKsD设且0)()(*sNKsD0)()()()(sDsNsDsN联立二

21、式，消去联立二式，消去K* *，得，得： 从这个公式中解得的从这个公式中解得的s就是所求的分离点。就是所求的分离点。 0)()(11dsimiinizspsdsd也可采用下式也可采用下式 本题的实轴根轨迹区间为本题的实轴根轨迹区间为 和和 ，因，因s2不在根轨不在根轨迹区间，所以分离点必落在迹区间，所以分离点必落在 s1处。处。例例4 4 设控制系统的开环传递函数为设控制系统的开环传递函数为：)2)(1()()(*sssKsHsG求根轨迹在实轴上的分离点求根轨迹在实轴上的分离点。解：用极值法求解：用极值法求本题中本题中1)(),2)(1()(sNssssD故故0)(, 263)(2sNsssD

22、0)()()()(sDsNsDsN代入代入有有02632 ss解之得解之得2,(0, 1577. 1,423. 021ss八、分离角与会合角所谓所谓分离角分离角是指根轨迹离开分离点处的切是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。线与实轴正方向的夹角。分离角计算公式lk/) 12(仅限实轴分离角仅限实轴分离角九、根轨迹与虚轴的交点：根轨迹与虚轴相交，交点对应根轨迹与虚轴相交，交点对应的的 值和值和 值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程值可用劳斯判据确定，也可令闭环特征方程中的中的 然后分别令其实部和虚部为零而求得。然后分别令其实部和虚部为零而求得。 Kjs 证明：若根轨迹与虚轴相交，则表

23、示闭环系统存在纯虚根，证明：若根轨迹与虚轴相交，则表示闭环系统存在纯虚根，这意味着这意味着 的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此，的数值使闭环系统处于临界稳定状态。因此，令劳斯表第一列中包含令劳斯表第一列中包含 的项为零，即可确定根轨迹与的项为零，即可确定根轨迹与虚轴交点上的虚轴交点上的 值。值。KKK此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以此外，因为一对纯虚根是数值相同但符号相异的根，所以利用劳斯表中利用劳斯表中 行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚行的系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴相交的根的数值，这一数值就是根轨迹与虚轴相交的 值。如值。如果根轨

24、迹与正虚轴（或负虚轴）有一个以上的交点，应采果根轨迹与正虚轴（或负虚轴）有一个以上的交点，应采用劳斯表中大于用劳斯表中大于2 2的的 偶次方行的系数构造辅助方程。偶次方行的系数构造辅助方程。 2ss确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是确定根轨迹与虚轴交点处参数的另一种方法，是将将 代入闭环特征方程代入闭环特征方程，得到得到 js 0)()(1jHjG令上述方程的实部和虚部分别为零，有令上述方程的实部和虚部分别为零，有 0)()(1RejHjG和和 0)()(1ImjHjG从而可求得从而可求得 值和值和 值。值。 K 解解 控制系统的特征方程是控制系统的特征方程是 例例5 5 求系统根轨迹与虚轴交点的坐标及临界参数值求系统根轨迹与虚轴交点的坐标及临界参数值K K* *023*23Ksss将将 代入上式，得代入上式，得 js 023*23Kjj03*2K023根轨迹与虚轴的交点坐标为根轨迹与虚轴的交点坐标为 )(21s将将 的值代入实部方程得的值代入实部方程得K*=6 当当K*6时，系统将不稳定。时，系统将不稳定。 )2)(1()()(*sssKsHsG例例6 6 负