数学思维的特征与方法

1、数学思维的特征与方法张鹤一、 目前数学教学的现状大概是去年（2012年）十月份左右，我给国培班讲的是“通过课例分析讲有意义的教学”，主题是关键性教学。这次我稍作调整，从数学教学的这个层面和各位老师做一个交流，题目是“数学的思维特征与方法”。想到这个主题与我做教研员，经常到一线听课、交流的经验有关。我发现现在的数学课堂上存在一个很值得关注的问题，即数学知识的教学中，缺乏对学生学科思维、学科观念的培养。当前，社会更关注学生的分数，教师也更加在意学生是不是能取得一个比较满意的成绩。然而，数学教师在数学课堂的教学所承载的责任或者说是使命，绝对不是仅仅是一个分数。数学教学本身承载的教育的价值和教学的意义

2、应该远大于此。数学教学如果仅仅为了一个升学目标或者成绩，那么老师们的心态就容易变得非常浮躁。现在很多数学课都不像课，而像“题”。上课就是讲题，上来“咔”一道题，学生就开始做，做完以后，老师讲解，再来一道题，学生们再做。这样如此反复，一节课做三道题，虽然有师生交流，但那无非就是说说解答过程。这样的课堂没有整体性，更没有思维的碰撞。实际上，一个学生在高考数学中考了满分，作为老师的我们，也没有任何值得夸耀的。而作为一名教师真正值得骄傲的是，你教的这个班学生在毕业了之后，甚至走上大学之后，确实能感觉到，老师教的东西在大学、甚至在将来走向工作之后都非常有用。那么，什么才能叫做有用？我认为是教师教给他们的

3、一种思维，这种思维能够让学生们建立起一种扎实的逻辑思维的基础。“高分低能”，很早就有这种提法了，就是说学生到了大学不会学习，而这个问题的端倪很可能出现在中学。某种程度上说，我们当前的数学教学实际上是一种失败的教育。这种失败就在于我们仅仅满足于应试，满足于一个好的分数，而没有教给学生思维的方法。在学生学习最佳的年龄阶段，我们让他们记忆了大量的东西，做了大量重复性的习题，而其中很多练习都是没有什么思维含量的，大量都是模仿、重复。数学有很多公式，学生题做不好，我们老师就说“你怎么没记下来”，或是“我讲的你怎么没记住”、“我昨天刚讲的你怎么就又忘了”等等。这样一种教导，实际上就是引导学生靠“记”，靠“

4、勤奋”来学习。什么叫勤奋呢？就是多做题，而那个题往往是重复性的，大量都是模仿、重复，为了一个公式在那儿来回的套用。这种方式也许能够帮助学生得到一个满意的高分，但从实际长远价值来看，我认为没有太大的意义。所以我认为，从目前课堂教学现状来看，一个很重要的问题就是：教师应该树立一个“好”的数学教育理念。我们教学的价值最终要归于让学生爱听，激发他们对学科的兴趣，这样才能让他们从中真正受益，学到东西。我认为当前许多老师对数学教学理解存在一个非常大的偏差，就是认为教学的目标在于让学生会做题，取得好成绩。我认为每一个有责任心、立志当一名好的数学老师，上每节课之前，每次接触学生之前，应该重新思考一下“你的数学

5、教育目的是什么”这个问题。这不仅是每一位老师需要思考的，更是我们整个行业应该反思的。我想我们应该将教学的目标放得更高远一些。二、 数学知识的思维特征与观念性教学教师的数学教学任务，很大的程度上是要通过你的教学活动，让学生领悟数学的各个学科的思维特征，并能够用这种学科的思维方法理解数学问题并解决数学问题。对学生数学能力的提高起决定作用的是学生的数学思维水平的提高，在这一点上，作为数学教师要有充分的认识。下面我就高中数学中的几个重要的单元的思维特征谈一谈自己的认识和理解，供老师们参考。1. 集合部分知识的思维特征高一就要开始学习集合，在集合内容的教学中，我们应该教给学生什么样的思维层面的东西？其实

6、集合的定义已经告诉我们集合由对象的全体构成，所以对象是集合的本质。在谈集合之间的关系的时候，无论是子集关系或者是真子集关系也好，核心都是元素，一个集合的元素和另外一个集合之间具备着什么关系。再比如说集合的运算也渗透着利用集合和元素的关系来判断集合之间的关系，然后再进行集合之间的运算。这就是我们在集合教学中要渗透的，而不仅仅是告诉学生交集、并集、补集的概念。举一个课例，我们来探讨一下这个课是简洁还是简单。教师板书“补集运算”，先告诉学生全集的概念，然后下面就说什么叫补集运算呢？给了一个全集、集合A和集合B，集合A的补集、集合B的补集。这样非常直观，也的确易于掌握，但是这样的教学呢，学生就没有机会

7、去体会和研究集合的思维方法及思维方式。也就是通过元素与几何集合的关系来刻画几何集合之间的关系，以及几何集合的运算。如果老师就讲到这个层面的话，那就一点数学思维的东西都没有。尽管学生可能会很熟练进行交并补的运算，但无从知道这种运算背后的数学观点和数学原理。对于一个刚步入高中的学生来说，如果他面临的是这么浅显的教学，他可能会觉得太简单了。集合本身是一种很重要的数学语言，虽然概念比较简单，但是必须让学生感受到里面蕴含的数学思维。2. 函数部分知识的思维特征函数是中学数学中的重要内容，常定位为重点内容，核心内容，主轴内容。函数部分知识的价值毋庸置疑，函数在我们数学教学中尽管是讲的比较多的内容，但这部分

8、内容对于学生来说，不管是高一的学生还是高三的学生，学习的效果总是不佳，原因何在呢？这里最大的问题就是教师在函数教学的过程中无法渗透思维层面的东西，思维的含量的东西讲不出来。在函数的教学中如何体现函数的思维特征呢？关键是教学中要能够揭示自变量是如何引起因变量变化的，要关注自变量以及因变量的关系。对于函数性质的讨论，我们要教给学生用函数的思维去解决函数性质的有关问题，因此在函数这一单元的学习或复习中，教学的重点是要让学生理解并逐步掌握函数的思维特征，即：理解函数问题、研究函数问题、就要分析函数在自变量变化下函数值相应的变化。比如说函数的奇偶性，我们现在要问一个高三学生，什么叫奇函数，好一点的学生能

9、说出，但是大部分答的是“定义域关于原点对称”或者“图象关于原点对称”。学生答的是图象，而最原始、最本质的东西反而不知道。原因在哪里？显然是在老师身上，老师不让他这么想。我们应该让学生把这种符号的语言，用自己的语言表述，如果是奇函数，那么它的自变量取相反的两个值的时候，对应的函数值相反。这才是奇函数的本质，或者说是它的代数特征。为什么函数图象关于原点对称呢？不是拿计算机演示一下就是这个结果，那是结论。我们应该要让学生从这个函数表达式，符号语言中分析出来。在直角坐标系下的几何含义是什么？是这一个动点，在直角坐标系下是点。那么我们就可以问学生，这样的两个点的特征是什么？这样的点当然不仅是一个或者一组

10、，从而得到图像本身是原点对称的。我们还可以拓展这个问题：1) 是奇函数，能不能用符号语言来描述？2) 如果关于对称，那么满足什么性质？3) 若，那么这个函数的的图象有什么性质，函数有什么性质？4) 将上题改成呢？同样，对于是偶函数也在教学中用函数思维的角度去落实。要让学生既能够从代数的角度认识偶函数的本质，又要能够从偶函数的本质出发理解其图象关于y轴对称的原因。如果满足，那么称这个函数是偶函数。其代数表达式的含义是：当自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等，这就是偶函数的本质；再从几何的角度看，在偶函数的图象上，总有这个的两个点，和，这两个点是关于y轴对称的。我们多做这样一些练习，比如

11、。就是图象关于对称，看着好像挺悬乎的，其实是自变量x取了两个相反数，一个，一个是，函数值相等。反过来，如果不是这个，是，或者都可以试着让学生写出描述性语言。学生应该知道，当这个函数的自变量，分别取以1为中点的两个自变量的值的时候，函数值应该是相等的，让学生试图这样去想。然后学生便可以取以1为中点的两个自变量，、也行，、也可以，学生便可以真正体会是关于对称的。函数的周期性也是教学的一个难点，进行三角函数的时候，要引入周期函数的概念。老师在教学中，一个问题是容易讲错，另一个问题是容易非常激进和机械。比如，认为非得套着，才把那个对上，才知道那是周期。我们要让学生认识到，其实这个括号里面的两个值，自变

12、量取得两个值，他什么样的都行。比如和，没关系的，我不用费力去还原。先看看这两个自变量，是相等，是和为常数，还是差为常数。如果和为常数，那么是对称的；差为常数，那常数就是函数的周期。我们要解放学生的思维，而不是拧，或者是让学生的思维僵化。反过来你要会描述，如果一个函数的最小正周期是2，怎么表述？其实这每一次的问题都是在逼着学生去想，谁是那个函数的自变量。如果写那绝对是错误的。首先要让学生看清哪个量是自变量，自变量是。当分别取，函数值相等，这就是周期概念。如果你写，可以，函数值还是相等的，这就是周期。你写符号，得让学生会读。我们常常出现一个问题，教了三年的学生，他们也仅仅知道可以取任意值，但不能完

13、全读懂符号。如果我们当数学课是一种类似英语一样的语言学科的话，那么学生没读懂函数符号，就等于完全没学会数学的语言。这张图是我自己总结的函数知识结构图，竖着来看是思维层面的东西。思维层面提供思维特征至关重要，如果一个函数，满足函数值相等的话，那么我们要分析这个函数的两个自变量和的关系。如果这两个自变量和为常数，比如说等于，那这个函数的图像就关于直线对称；如果差为常数，周期为；如果，这还是看自变量，我们在教学中引导学生盯住自变量。那么这个自变量如果和为常数，它就是关于点为中心，如果差为，是个常数，那么周期就是。这是实际上我借着我自己总结的知识结构图，把刚才所说的简单概括一下。接下来我再谈谈函数的研

14、究方法。竖着从思维的载体来看，也可以再加一个图像语言。图像语言可能就是这种描述性语言和符号语言之间的关系，中间的过渡可能借助于图像语言，函数图象可以不画，但是不能不想。解决函数教学的重点和难点，都在于语言的掌握。为什么产生了特值法，产生了特殊函数法，往往就是回避函数的符号语言，但是其实这样的教学实际上是回避了教学的本质。到了高中阶段，如果学生还没有一种抽象的函数概念的话，到了大学怎么去学习？所以我觉得呢，这点是不能回避的。从研究方法来看，我认为可以从两个途径来研究函数。一个是从解析式研究，一个是从图象研究。从解析式研究，不是拿解析式去画图，有的解析式是画不了图的，而是要研究函数的性质。这个性质

15、一开始要研究什么？要研究对称性。因为首先要看函数整体，如果明明是个偶函数，还从负无穷到正无穷去研究它的单调性，那就显得复杂了。所以一定要先研究对称性，特别是研究奇偶性。如果具备，那再研究单调性，那就缩小了研究的范围。还要研究函数的周期性，研究函数值的分布。最后画示意图，把这些性质直观地呈现出来。比如说，和这种两个初等函数相加而成的函数，老师其实有的时候就教给学生图象组合的那种方法，当然本质是就是描点法，但这实际上是增加教学难度。研究函数的性质，利用性质的一些特征，去画示意图，就完全可以解决问题了，所以没必要让学生用描点法来画复杂的函数图象。例题1 已知函数很多学生奋不顾身的就要往里代，讨论一下

16、方和是正还是负，思维灵活一点的呢，讨论四次，要是不管不顾的呢，可能就瞎代一个，上头一个，下头一个就完了。当然那个也能做对，因为他实际上是对任何情况都是这样的。这反映了学生怎样的思维呢？学生缺乏研究函数性质的意识。学生还是以计算作为解决数学问题的主要方法。其实如果学生有这种倾向，其实我们甚至可以就不提问题，我们可以仅给出解析式，问问学生，你能从这个解析式得到函数的什么性质？有一学生说那我画图，可以。画图本身，给解析式画图，也是一种训练，画出一个图象，一看是单调递增，那我们也可以问学生，如果不画图，你能不能研究出它的性质。单调性你知道，有没有奇偶性呢？学生会发现自变量相反时，函数值相反，这个时候可

17、能更比单纯的解这道题有价值。那我们看一下这道题，从这个问题来看，首先，要用性质来解决，所以要探索这个函数，特别是是跟单调性有关的性质，画图是一种办法。我们稍微改一下这个问题，就能逼着学生去分析它的奇偶性，怎么办？要让学生看到，我首先把这个式子变成，那这个负号如果能进去，那当然就可以用刚才的办法。这个时候就需要研究它是不是奇函数。所以我觉得在函数解析式的教学中，老师的这个教学的思维的焦点，一定要明确。例题2 画出函数的示意图。这个函数解析式源自山东的09年左右的一道高考选择题，是给了一个解析式，给了四个图。学生首先要想到定义域、自变量的范围、奇偶性。这是一个奇函数，但是单调性是个难点。如果学生上

18、来就求导，那必然要走向很复杂的计算。所以我们也说这个化简意识的可贵，我们必须要要求学生能够有这种化简的意识，到处都是自变量，那为什么不减少它，这是分式，完全可以做变形，所以上下同乘，然后再利用这个把分母凑出来，配出来，这样的话，只有一个位置上有。当一个函数的解析式化到这个程度，就一个位置有自变量，其实也不用求了，对吧，因为也算是一个初等函数。利用的单调性我们马上就可以逐步的画出函数的图象，由于你已经知道是奇函数了，你就只要看y轴右侧了。这里也可以先问问学生，这个函数图象分布在哪里，是依次向前都有，还是跟x轴有交点，还是仅在某一象限，这些都是很好的思维的素材。例题3 设函数，则满足的的取值范围是

19、A B C D像这道去年全国地方的高考题，是一个分段函数，其实这题谁都会做，也做不错啊，但是我觉得这里面呢，就是老师的那种思维的导向要清楚。学生会怎么做呢？当的时候，算出的范围，然后呢，算出的范围，然后取并集。这样的做法其实是把这个分段函数看成了两个函数。没有从这个函数的整体去认识这个函数的图象，要研究的是什么呢？是的性质，而并不是算一个不等式。需要一个什么样的性质呢？单调性。对吧，而这个2是什么呢？显然是。我这个图是比较标准的一个图形。其实如果你要从性质的角度来看，上面是减，下面是减函数，然后由于x=1的时候是连续的，所以他就是一个减函数，一笔下来就完了，根本不用那个连接点跟段。而2是谁呢？

20、是，图都不用画。如果这是一个减函数，的话，那就是，这题就做完了。所以要让我们的学生学会分析函数性质。比如这个题：函数，这也是一道高考题。学生会把两个图象都画出来，费了半天劲。其实呢，他完全可以把这个解析式先化简，。其实就马上能发现这个函数其实是一个奇函数。既然是奇函数的话，就可以利用对称性帮助我们画图，让学生体会到研究函数性质的价值在哪里。当问题是，求的范围时，学生总是这边，那边一起来想这个问题，那就很吃力了。如果知道这个是一个奇函数的话，马上就化简成一个符号了，。 如果前面算一种解法的话，那我觉得教师对那种解法实际上是要持批判态度的。我们应该让学生感受到分析一个函数性质，把一个分段函数看成一

21、个整体函数的价值所在。所以我觉得老师有的时候一定要坚定自己的一些教师的想法。 那么如果拿到函数图象怎么想？咱们不能讲的天花乱坠，一个函数题讲了那么种做法，我们就是要研究函数解析式，与之前说的完全一样，为什么一样？我们还是要研究，而不是算。所以看到图象，肯定知道对称性了，这是能看出来的。你看到单调性，你不是看热闹，你是要看极值，看极值点，看内部的东西。看周期干嘛使的，是为了化简用，不是为了算。 比如三次函数，有两种状态，我们就可以问问学生。当你看到这样两个图象的时候，你对这个函数解析式的比如某些系数是不是就有认识。让学生知道，其实，增减增，那是；减增减，。这其实是源于导函数，第一个导函数是开口朝

22、上抛物线，第二个开口朝下抛物线。有的时候我们就会发现，明明这个图象是增减增，学生算出来的待定系数a反而是负的，一点感觉都没有。这就是学生没有完全是一种处于计算，他对数学问题的理解，仅仅是那些数值而已，没有其它的含义。例题4 的图象如图所示，则b的值一定（ ）A等于0 B大于0 C小于0 D小于或等于0像类似这样的问题吧，学生还是可能会算，算的做法是什么呢？ ，然后就开始算，其实这样做是不科学的，因为和的符号并不能刻画这个函数的单调性，函数极值不一定受它影响，可能甚至是正的，极值根本没改变。要看到什么呢？其实应该看到这个函数的两个极值点，一个是负的一个是正的，一个绝对值大，负的绝对值大，正的绝对

23、值小，甚至可以把导函数图象画出来。因为是正的，导函数是开口朝上的抛物线，所以只需要找和的关系就行了，而要找和的关系，只要让导函数取0就行，那么可以用两个根的关系就找到了，两个和一个是负，一负根一正和，负根绝对值大嘛。例题5 已知函数的图像如图所示，则A B C D这道高考题非常好，但是后来发现有的省市模仿这道题，就显得不够创新了，这个已经很好的例子了。学生有一部分的同学是怎样呢？他一看这个图就想到，我应该要算，算，算，最后再算。这么去做这道题消耗的时间很大，很不合算，而实际上即使你平时做也不应该这么想，还是应该想什么呢？这个图象的性质是什么？他的性质一方面从图来看，一方面从解析式来看，余弦型函

24、数与轴的交点都是函数的零点，说错了，说零点没意义，都是对称中心。都是这个函数的对称中心，而甚至可以看出，就是对称轴。还可以算周期，周期，然后呢，我可以把这个自变量0移到图象那边去，移到。那么，既然已经知道，也就知道一个自变量等于函数值已经知道了，那我就要知道和，这俩自变量是什么关系。因为中心对称都设计到两个自变量是否关于那个点横坐标对称的问题，显然，是以为对称。因为这个就是，不就是，中间正好就是，从而得到答案。总的来说，函数的教学要突出函数的学科观点，让学生在我们的函数的教学过程中，能够始终感受到两个相互依赖的变量，其中一个变量的变化引起另外一个变量的变化。我们要引导学生理解函数问题中的自变量

25、的确定及如何影响函数的因变量的变化的，让学生明确函数的性质都是由函数的自变量的变化引起的，也可以说函数的性质都是针对函数的自变量的。3. 解析几何部分知识的思维特征我觉得解析几何部分知识挺好的，我感触挺深的，所以一定要跟老师们分享。我先从椭圆的几何性质这节课谈起。你看这个老师很年轻，大概是四年前做的一节课，这是他的学案，彩色字是我当时笔记的。他说，首先拿出预习中用描点法画出椭圆所示的图形，同时呢，计算机给出作图过程，纠正学生作图中存在的问题。这一上课学生拿出昨天晚上做的那个椭圆，就在屏幕上演示，老师来说一说那画的不好。然后呢，老师黑板上就打出PPT是一个标准的椭圆图形了，然后跟学生就说，椭圆画

26、好了，今天我们就来学习椭圆的几何性质。然后我们还是看他的学案，你会发现整节课他都是让学生观察图形。介绍顶点的时候，请同学们继续观察这个椭圆与坐标轴有几个交点，其它性质也全是围绕着这个图来进行。我们知道解析几何的学科特点是什么呢？是用代数方法研究几何问题，所以我们在解析几何教学的时候，无论是介绍椭圆性质或者是双曲线性质，我们都要传授给学生的学科思维是什么呢？是怎么样用代数的方法，用方程去研究几何性质。而不是依赖图形，所以这节课完全违背了解析几何的基本思想-用代数方法解决几何问题,用方程研究椭圆的几何性质，要观察的不应该是图象，应该是方程！应该让学生看一看，这个方程有什么特点。对吧，圆的方程你讲了

27、，直线方程你讲了，相对于这些方程，那么这个曲线方程的特征是什么？要看的是方程，而绝对不是椭圆。像椭圆的对称性，不是靠观察得出关于轴对称，再去证明关于轴对称，关于轴对称而应该是通过方程寻找椭圆的特点。其实从这个方程我们就可以看到，你把代入方程的左端，方程还是成立， 也成立，往里代还是成立。那么既然有这样的代数性质，我们就可以问问学生对应的几何特征是什么？点，、都满足方程，而这个点显然也在曲线上，这又说明了什么？所以是从这样的一个思维，这样的一个角度来研究对称性，而不是什么去证明对称性。 顶点也是这样的，顶点是什么？从定义来看，应该是对称轴和曲线的交点，所以你要求顶点坐标那就是点与方程。然后要求顶

28、点坐标，长轴上的两个顶点可以由直线与椭圆方程去联立，而绝对不是简简单单的就是一个看出那个、。接下来，由， 可以得出的范围，由，得出的范围，然后得出，的时候，我们再让学生去理解横纵坐标的范围内，这个矩形应该是这样出来，而不是你画出来的。所以我觉得一个老师如果对一个学科的思想把握不住的话，表面看来这节课不错，板书，教态，基本功也都到位，学生的互动，各种理念都可以放上去，但是实际上这是一节差课。王建彬老师跟我们说过这么一句话，你要想看一个老师的水平，就让他上一节解析几何课就够了，听15分钟就能把老师的水平查的一清二楚。我原来当教研组长的时候，招聘教师基本都是解析几何课，讲椭圆的性质啊，讲轨迹等等。我

29、们发现很多老师其实讲不出东西来，讲的都是那种算的层面的东西，而讲不出这种学科的思维。解析几何的教学，就要牢牢抓住用代数的方法解决几何问题这一关键！ 四年后我又听了这个老师的解析几何课，那就讲的非常好了，就是他对这门学科完全把握住了，所以一个老师的成长，特别是作为一个数学老师的成长，最重要的是数学素质的修养，对数学本质的挖掘，而说上课生评分挺高或者怎么样。说实话，这个课学生还听不出来呢，学生根本也不知道解析课应该是这样上，还是那样上，但是最为老师，必须要知道。就像我们常常教育学生那样：好的学习方法，关键是要动脑筋，勤思考一样，我们作为教师，不能把我们每天的上课看成是机械的、重复性的、简单的体力劳

30、动，而是要研究知识的内在规律，研究教学的内在规律，研究学生的学习规律。好，那我下面就讲一下解析几何的我的一些想法。 从知识层面上说，现在来看，直线与方程，圆与方程，圆锥曲线，这么三块，思维特征是什么？解析几何的思维特征是什么呢？就跟函数思维想法一样，我觉得曲线与方程的思维，应该是解析几何的思维特征。动点运动形成轨迹，那么在直角坐标系下呢，就需要知道到底形成了什么样的轨迹，从而就设动点坐标，找到横坐标满足的等量关系方程，再由方程来判断形成了什么样的轨迹。我觉得这是解析几何所面临的问题。从研究方法来来看，拿到一个几何对象以后，我要进行代数化，要进行代数运算，那么怎么来完成这个代数化。其实这一中间的

31、思维过程呢，咱们目前的教学应该说还是比较粗糙一些，或者说老师讲得不是太明确，导致咱们的学生基本上都认为解析几何就是算。有方程就联立，就坐标就代入。是这样一种思维状态。老师甚至指导，像那个大题，一上去就就联立，联立算到哪儿不行就算了，赶紧做下一题。教了整个高中的解析几何，最后就落的这么一个下场，解析几何不会想。我想应该是拿到几何对象，直线圆椭圆曲线这样的几何对象之后，先研究几何特征，而这个几何特征可以从几个角度能得到。那我先从代数化的观点来看，代数化的观点是什么呢？所以有时候我就拿这样的很简单的问题考学生，比如说，我说直线在这个平面上，我说你还能不能进一步的做一些代数化，学生就什么也看不出来，只

32、能说斜率，交点坐标。学生觉得其实都已经代数化了。这反映出什么呢？学生觉得代数化就是计算，算斜率，算两个轴的交点坐标。其实如果从几何的角度来看，直线在平面上，直线把平面呢分成了两部分，分成了两个区域。那么在的前提下，显然右下区域就是可以用不等式来表示，左上区域那就是，这样的一个代数化，完全可以做的。所以这就反映出我们在进行代数化的这种训练的时候呢，要首先有一个台阶，给学生搭一个台阶，就是你要思考，在你面临问题中的几何的东西是什么，而不要上来就想去算。 所以从学生解决这个问题所遇到的障碍，我们就可以看出在学生的头脑中没有一个比较明确的解析几何的方法，而这也正是我们教学中要坚持不懈强调的，堂堂都要落

33、实的东西。要落实什么呢？不是说把概念说的一清二楚，背的滚瓜烂熟，不是这些东西，我们要培养学生会想问题，而这个想问题呢，不是泛泛地想问题，每个学科都有每个学科的特征，特点，思维方法。所以我们在每个学科的教育中教给学生怎么想。所以在这个解析几何的教学中，其实就像跟函数的教学类似，函数研究方法刚才我们谈到，不管是给解析式，还是给图象，你要干吗呢？要研究性质。解析几何绝对不是上来就算，而是要研究几何特征，从图形，从方程，从数值上去研究几何特点，再进行代数化，最后得出代数集。 高考考察解析几何的时候，往往很关注这门学科的思维特征的，不会拿解析几何作为一个送分题，如果咱们说有送分题的话，是要看你对这个学科

34、的理解是不是到位了。例题6 直线与圆相交于两点，且是直角三角形，则点与的距离最大值_。我们来看一个例子，这是海淀的10年的，第一届课标版的高考的海淀一模文科第八题。函数和解析几何两种思路其实都有意义。如果用函数，就是认为这个最值是由坐标产生的，所以这个距离呢，可以用a、b表达出来，。就需要找到a、b的等量关系，得代换，不能两个变量，两个自变量。他们的等量关系在哪儿呢？就在第一句话中去找，什么叫做直线和圆相交于A、B得到直角三角形。这个时候又回到我们刚才那个图形分析中了，要分析几何含义，不要上来就计算。别急着用弦长公式，那么O点到AB距离，这才是最好用的一个办法, 。那这样的话，0到直线距离不就

35、是吗？马上就可以找到一个a、b的等量关系。好，那也就是，从而找刚才那个解析式，包括定域，自变量的范围都找到了。用函数的想法就解决了，当然，计算量稍大一点。但我觉得这个也是我们值得学生掌握的一种代法。如果要从解析几何的角度来看呢，那我就要找点A、B规律，轨迹。同样你还是要找A、B满足的等量关系，也就是还是刚才的那个方程，意味着什么呢？其实就是不就是横坐标，不就是纵坐标吗，相当于这个点满足，是个椭圆。这时就把这个最值问题产生了又一个代数的一个数值的变化，最后变成一个点的运动的变化，当然就要用到轨迹了。这实际上是一个立着的椭圆，点也有他的特征了，是椭圆的一个焦点。所以椭圆上的动点到焦点距离的最大值，

36、或者是最小值都一目了然了。 所以如果我们的学生经过我们的解析几何的教育教学，能够建立起这种学科的观点，学科的修养的话，这说明他会想一个问题了，他可以从变量的角度想，也可以从一个运动的点去想问题，这就是我们要达到的教学目标。三、 如何进行有效的观念性教学真正有意义的教学是观念性的教学。纵观我们的数学课堂，我认为数学教学可以分为两类：一类是图解知识的教学。上这种课的数学教师不能说不努力备课，不钻研教材，但他的教学水平是停留在怎样把课本的概念讲得再清楚一些，让学生记住、会应用，并通过大量的练习让学生掌握。做这样的老师的学生，很少能够感受到学习数学的快乐。还有一类数学课堂是教给学生观念的，这样的数学课

37、能够让学生感受到数学的快乐。这种快乐是思维的快乐，是逻辑的快乐。教师的责任不是让学生的数学考试考高分，如果有人这样认为的话，那是对自己为之工作一生的职业的误解，也是对自己存在价值的亵渎！数学教师要能够帮助学生理解数学的本质，要让学生学会用数学的思维思考问题，通过你的数学课堂，学生能够为逻辑的力量所折服，所倾倒！数学考试得高分不是我们教学的目的，让学生真正从内心喜欢思考、喜欢数学、学生的思维具有逻辑性才是我们数学教师存在的价值。我认为数学教学应该是“观念性”的，我将这种教学称为“观念性的教学”。学生可能在上课之前没有形成一个很好的观念，或者有一个错误的观念，那么我们必须去改变。上一部分，我讲了若

38、干数学知识的教学案例与题型，就是为了让大家感受到数学思维的核心价值。如何才能进行有效的观念性教学呢？以下是我总结的几条途径与关键点：1. 教学富有意义前提是为了让学生能够理解问题如果上课仅仅是做题，讲解解题过程，而没有讲知识的本质，没有给学生揭示出思维层次的东西，那么学生很难达到对具体知识的深刻理解。我们的课堂教学不是为了把正确的解题过程或者正确的思想完全“复制”到学生的头脑中。但是我们常常看到一些学生的数学学习总是停留在记结论，记公式，套用一些解题的方法，学生对数学概念的理解很浅薄，不深入，看不到数学知识本质的东西，掌握不了数学思考问题的思维方式。例如在平移变换中仅记住“左加右减”口诀，在三

39、角函数伸缩变换中仅知道y=sin2x可以纵坐标不变，横坐标伸长两倍得到y=sinx。这些现象的出现很大程度上源于学生对数学知识的理解是单一、平面化的。一些教师认为只要在课堂上把所讲授的内容解释清楚了，那么学生就一定能够理解并掌握数学知识。这样的教师满足于如何把课本的知识以结论的形式尽快地让学生接受，并陶醉于学生能够快速、正确地应用，以及不错的检测成绩。而学生是否理解了这段知识背后的观念性的东西，是否感受到了思考问题的过程，是否真正理解了所教授内容的本质则被教师忽略不计。这样照本宣科式的教学不能促进学生深入地思考数学问题、不会思考数学问题，使得学生对数学知识的误解和学习方法的误解一步步加深。学生

40、的能力不仅仅在会做难题，或者是能考出个好成绩，而是真正学会了数学的思维。2. 教学富有意义的关键是教师有清晰的教学观念毫无疑问，教师在教学活动中的作用至关重要：如果一个教师的教学理念出现了问题，必将导致教学结果的无效；如果一个教师的教研能力出现了缺失，也将导致学生所得知识的浅薄。我认为最关键的是教师要明白自己所教授的学科是怎么回事，要踏踏实实得研究所教授的数学，把数学中的每一块知识搞明白，要做到这点就必须多思考。只有教给学生东西的观念性的、本质的，学生才能受益，只有教师自己从观念上明白了所教授的内容，才能交给学生真正的数学。举个术语的例子，符号语言对于学科思维的形成是非常重要的。作为老师，课堂

41、语言一定要带入学科的术语。比如，学生这一个月在学习函数，那么我们教学的话语一定要代入函数的东西。我上周听了一个老师讲函数的奇偶性、函数的单调性的课，但是我并没有听出感觉、听出思维、听出真正的理解。因为老师的课堂话语中，“自变量”、“因变量”没有出现多少次，而是一口一句“横坐标”、“纵坐标”，他始终围绕图像讲。虽然这也没什么问题，但是如果你希望学生真正形成数学思维的话，就不能这么做。你看，最后那位老师让学生归纳所学知识的时候，学生都这么说：“横坐标小于，那么纵坐标小于”。从这个例子中，你可以看到老师的不规范语言会给学生带来多大的影响。以小见大，数学教学需要教师深入的研究所教授的内容。研究的越深，

42、教师本人的感触就越深。我们要教给学生的、要学生看到的是，你是怎样学习的，你是怎样提出问题，思考问题，解决问题的，也就是你是怎样做学问的。因此，从这一角度说，要上好一节课，是需要下很大的工夫的，需要教师长期的积累，要对所教学科的每一门课程的特点，整体的知识的脉络、结构有着完整的把握。教师既要能以学生的角度去认识理解所教知识，感受学生可能遇到的问题；又要能站在较高的角度认识看待教材。3. 教学富有意义的目的是解放学生的思维、避免思维僵化最后一点，我们课堂的教学目的是让学生的思维活跃起来，让学生从课堂学习中获得能够“超越”我们老师的力量。教师应该启发学生思考，而不是死记硬背。数学本身是一个思考问题的

43、过程，我们要教给学生的是怎么思考问题的方法，而不是具体的解决一道题的办法。如果我们只是把正确的答案、解法完全复制到学生的头脑中，学生能超越知识、习题，能超越教师吗？根本不可能。从学生个人的发展来看，我们教师的指导作用应该体现在对学生思维的解放、激发上。许多老师很害怕学生提出一些不同的意见，总是希望课堂上学生的思维能够随着设计好的思路走，这样实际上是很不好的。满足于正确答案而进行的教学，只能使学生思考和做事都变得刻板。对学生来说，如果认为自己的主要任务就是接受和重复真理，这必然会导致他们思维的呆板与对教师和教材的迷信和盲从。这样的教学，不可能实现学生对学习内容的理解，更为可怕的是，学生不再喜欢数

44、学！要使我们的课堂教学更具有吸引力，使学习的内容更易于理解，我们在教学中就要坚持提出有思考价值的问题，不要急于给出答案，要通过问题引起悬念并激发学生不间断地反思与追问，就像引人入胜的小说、电影一样，它们都是通过激起人们的疑问却不急于给出答案来吸引读者或观众的。任何一名学生都是喜欢思考问题的，同样，任何一名学生也都厌恶死记硬背一些不理解的所谓的知识！作为数学教师，你的职责就是要在每一节的数学课中去创设问题的情景，让学生在这个情景中去体验思考数学问题带来的那种专注，去感受挑战困难、战胜困难的愉悦。在课堂上，只有围绕着能够体现数学思维本质的有价值的问题组织教学，我们才可能克服那种以表面活动为基础，以

45、灌输为中心的教学，同时也才能帮助学生克服那种死记硬背式的学习方式。四、 对课堂教学的一些思考与感悟1. 关于学案教学学案教学在北京已经是铺天盖地，到处都是。一进课堂就是学案，常见的学案就是一些例题加习题，教师在上课的时候基本是按着题号顺着往下讲，边讲边练，讲讲练练都有，程度好一些的学生基本不理老师，就是忙着做完篇子上的题目。这样的课堂教学就是在讲篇子！学案往往是前一周或更早的时候准备出来的，这和我们每天在上课的头一天晚上备课和写教案完全是两码事。实际上，我看到的好学案课并不多，或者说看不到，看到更多的是弊端。因为学案把整个课堂教学的那种紧凑感、神秘感全给破坏掉了。使用学案的课堂，给我的第一感受

46、就是没有了课堂的整体感。学生大多数时间是在埋头做着学案上的习题，老师的讲解很多时候是对着埋着头的学生讲，学生倒也配合，头不抬也能和老师呼应一下。人大附中的课堂没有学案，但却是好的、生动的课堂。当前在学案的主宰下，教学已经没有教师本人的特色了，都是按照一个备课组同一份学案在讲那些题。我不理解为什么有的学校非要统一备课组的教案。要求集体备课是没问题的，但没有必要要求教案也要集体统一。我们面对的学生不一样，教的对象不一样，如何能要求讲课的学案是一样的。而我们心目中的课堂，抽象看，师生的思维是交织的；形象看，师生的目光是交流的。但在学案的束缚下，我们已经很少能够看到这样的情景了。我能听到的常常是老师的

47、“请抬起头”这样的教学语言！这样的课堂哪里还有活力？2. 关于数学教学改革的思考暑假在北师大，有机会接触到广东江门和贵州遵义两地来京参加培训的数学教师。我把自己对于数学的理解和思考，我在教学中的一些心得向外地的同行们做了交流。在休息的时候，也听到一些教师对新课改下的数学教学的困惑、不解甚至无奈。老师们听了我的讲座，在赞同我的观点、甚至以“实力派”这样的词汇褒奖我的同时，也毫不留情地质疑我是不是反对新课改。我在为我进行辩解的同时（我的证据是：2004年我就开始在海南、宁夏、广东进行新课改的教材培训，近三年的北京市的新课改培训我也是尽心尽力了），也为数学教学的现状感到了一丝悲哀！讲数学本质的教学，

48、讲数学思维的教学与现今的倡导新理念的课程改革对立了起来。在一些类似于“把课堂还给学生”这样冠冕堂皇的理念下的数学课堂，看不到数学思维活动的过程；看不到教师对教材、对知识的精辟的分析；也看不到充满思维活力的智慧的碰撞。本应能够给学生带来观念性变化的有意义的数学课堂在新课改的旗号下被异化了。上个世纪90年代末的教育改革从电化教育手段引入课堂开始，蔓延到教学模式、教学方法的改革一直到现如今的声势浩大的新课程教改。期间关于教育改革的争论此起彼伏。我感受最深刻的是关于启发式教学的争论。启发式教学就是灌输式的教学，就是满堂灌，是要改革的教学方式等等，这样一类的议论、批评之声不绝于耳。我记得在评价某一节评优

49、课的时候，有位上课的年轻老师数学思维非常好，通过和学生的思维交流对教学的内容揭示的非常深刻、到位，可以说真正上出了数学课的味道。但由于学校的主要领导认为这节课没有新意、没有教改的氛围而无人喝彩。在当时，很多教师很茫然，不知道课堂教学要向哪个方向发展才是符合潮流的，一些国外的教育理论盲目的照搬过来很受赏识，而坚守中国教学传统的教学方法倍受压力。在学校中，没有学术讨论的空间，有些时候见识广的领导成了学术的权威！我在自己的课堂上，是崇尚启发式教学的，这也源于四中八年给我的教学风格打下的深深地烙印。我的教学实践告诉我，能够上出一节够味道的启发式教学的数学课，不是那么容易的。记得在教改红红火火的时候，我

50、在学校上了一次观摩课。课后，听到一位以改革闻名的外地调到北京的特级教师的议论是：不就是一节启发式教学吗？太传统了！我无语。在现在的很多的教案中的教学方式的叙述中，更多的老师愿意写探究式，而不愿写启发式教学或至少不情愿只写启发式教学。不是觉得上不好启发式，可能怕的是被贴上太传统的帽子了。教学改革带给课堂上的好的变化是毋庸置疑的，对数学教师教学理念的更新、提升也是有目共睹的，但需要思考的是，课堂教学的改革不要丢了我们自己的几千年来积淀下来的教学理论的精髓。作为教师要能够克服内心的浮躁，要能够沉下心来，认真钻研我们所要教授的知识。如果我们只是在课堂的组织形式上改来改去，苦心积虑地钻研所谓的教学模式，

51、而没有把精力放在我们的教学的内容研究上，耽误的不仅仅是学生，也是你自己！杨绛先生（钱钟书夫人），她说得挺好，“教育首先是启发人的学习兴趣、学习的自觉性、培养人的上进心。教育要引导人们好学、不断完善自己，要让学生在不知不觉中接受教育，让学生潜移默化的学习。”我觉得这句话点出了教学的本质。杨先生自称是老人，净说些老话，对于时代，自谦是落伍者。但我觉得能够用朴实的话说出真理，就是智慧！不能不让我们这些晚辈佩服，向这位百岁老人致敬。现如今，搞教育的人越来越多，而懂得教育真谛的人却越来越少。如果我们的教学仅仅是在形式上作秀的话，学生其实看得一清二楚。学生们肯定看得明白，后面没旁听教师就一人堂，一来外人旁

52、听就组织讨论。我们去外地听课，常在走廊上观察到老师对学生说“下节课好好表现啊”。这学生和老师演双簧都演得很熟练了。所以，像这种表面蒙人的“唧唧喳喳的学习”、“小组讨论”是值得反思的。表面的热闹之下，实际上是没有东西的。我们的数学教学应该关注思维的问题，需要让学生能够沉下来，静静地思考。3. 关于教学模式的思考我们教学的对象是人，是充满对知识渴望的学生，我们进行教学的目的是要让学生们通过和教师的思维的交流，理解所要学习的数学知识，喜欢数学的思维方式，在享受数学学习的过程中，提高思维的逻辑性。而要达到这个目的，不可能有一个固定的操作模式，或者说有几个教学模式。因为人是活的，思维是活的，进行教学的教

53、师就是要能够在和学生的思维的碰撞中不断地去发现问题、提出问题、思考问题。而思维的交流是要靠启发的，而且这种启发是相互的，很多时候学生的问题、思考同样能够启发我们， 所以说，正是由于这种启发才将教学活动引向深入。关于教学模式的改革，我认为启发式教学是最适合数学教学的一种方式，因为启发就是针对思维的！由于数学是思维的科学，这个特点就决定了它不可能像物理、化学等实验性学科那样，有大量的操作性的教学活动。数学的探究活动也是思维的活动，而要展开思维的活动，就如前面所说，最重要的是相互启发！启发式教学不是一种教学的模式，而是一种教学思想、教学理念！这正是这种教学方式具有如此强大生命力之所在。而模式化的教学

54、不是关注学生的发展，关注的是这种模式如何更加完美。学生包括老师成了这种模式的工具。可以想象，如果一个学校的所有学科都按着一种教学模式进行教学的话，学生在学校的学习中都是在一种教学模式下展开，将会是多么可怕的事情。但事实上，这样的事情可能就发生在我们的身边。在数学课堂中，采取小组讨论的方式学习数学是演绎“合作学习”的标准动作。我们常常能看到的是，老师在讲课的过程中，提出了某一个问题，学生迟疑答不出来，这个时候老师的杀手锏就是“那就大家讨论一下吧”。于是，安静的课堂就出现了热闹的景象，同桌的、附近的三、四个同学展开了比较热烈的讨论。特别是在初中的课堂中，场景更热闹一些。几分钟之后，刚才还疑惑的问题

55、似乎就有了答案，一节课又顺顺当当地进行了下去。还有一种形式，就是小组讨论，派代表汇报，教师作适当的点评。我听过很多的这种小组讨论的课，总有一种不真实的感觉。原因在于这种在很短的时间内完成的“小组讨论”基本上是为了讨论而讨论，具体能够讨论出个什么结果好像并不是最重要的，而重要的是小组讨论的这个形式。而实际上，由于数学这门课的特点，实际上它不适合几个人围在一起吵吵嚷嚷就能够解决的，如果能解决，也一定是没有什么思维含量的问题。它需要一个人静静的思考、分析。在课堂上，需要在老师的启发下，不断地深入地思考数学问题；在同学和老师的交流中得到启发，寻找到解决问题的途径。很多时候数学学习是个人的行为，而不是合

56、作学习所能办到的。数学教学的改革，一定不能走形式，要实事求是。要让学生能够从教学的活动中真正受益。如果学生们仅仅是为了配合自己的老师，非常认真地表演着讨论，那就违背了教育的初衷，甚至给学生一种弄虚作假的印象。 还有一种现象也是伴随着课堂教学改革出现的。就是在一节课的最后几分钟，上课的老师都要找1到2个同学谈谈“你这节课又学了那些东西或数学思想”。这种情景常常能够出现在有人听课的时候。应该说这是一个很好的总结课堂学习的方法。但是，一旦这种形式被固定下来，成为表演的套路，课堂也就随之失去了活力，丧失了魅力。课堂的魅力在于学生和老师都要面对许多未知的问题，课堂上存在着许多的不确定的因素，随着思维活动

57、的展开跌宕起伏。学生如果喜欢数学的学习，一定是因为数学学习满足了他的好奇心、求知欲。教师之所以要钻研教材，认真备课，就是要能够通过你的教学把数学的这种魅力展示出来。 好的数学课堂应该是自然的，最真实的。它需要教师认真的准备，但不需要表演，哪怕表演得再真实！数学的思维是具有逻辑性的，如果把这种思维僵化，模式化，就必然失去其应有的意义。4. 关于解题教学的思考数学课的一个很重要的教学任务就是要做例题分析，在这个分析的过程中，教师要引导学生如何理解问题，如何确定解题的思路或策略，如何实施具体的解题过程。一个好的例题分析一般不会仅仅局限于这个例题本身，而是能够借助这道题目的背景，将研究的问题不断地引向

58、深入，能够找到解决这个例题的思维方法与解决其它数学问题在思维上的共性，从而使学生对解决数学问题思维方法的一般性有更清晰地理解与把握。数学教师的责任不是教给学生一道又一道例题的不同的解法，也不在于教给学生对一道例题的多种不同的解法，而是要通过对不同的例题进行分析或者是对同一道例题的不同方法的探究，帮助学生形成一种观念或者是一种意识。学生的解题能力的提高不是通过解题的数量的多少能够决定的，而在于通过解题的思维活动去不断地概括思维的方法，将思维的共性的东西内化到自己的思维模式中。 因此，教师在课堂上选择什么样的例题进行教学也就明确了。如果在一节课中教师所选的不同的例题在思维上没有太多的共性的东西，解决问题的思维方法缺乏一般性，解题的手段更多的是依赖于所谓的技巧的话，这样的例题就不适合在课堂上进行分析。有时我们评价一节课时常说“好像老师什么都讲了，可又感觉什么也没讲”其实说的就是这个道理。 那么，题型教学是不是就是属于关注思维共性的教学呢？其实，从“题型”的字意上就不难看出，这种教学关注的是题目的形式，是问题外在的、形式化的共性，而不是思维的本质上的共同点。目前在例题教学中存在的共性问题是教师所做的是在解题而不是解题分析；是在黑板上板演标准的习题的答案而不是在揭示思维的方法。 在不同单元知识的教学中，我们要揭示思维的共性。如