数学不等式的证明

1、 目 录摘要（2）一、比较法（4）二、综合法（5）三、分析法（6）四、换元法（6）五、分析法（8）六、放缩法（9）七、数学归纳法（9）八、柯西不等式证明（10）九、几何不等式证明（10）十、中值定理证明（11）十一、利用辅助函数的单调明（12）十二、利用泰勒展开式证明（13）致谢 （15）参考文献 （16）中小学数学不等式摘要：不等式作为工具，被广泛地应用到数学的各个领域。不等式的证明是高考和数学竞赛中的热门话题。不等式的形式多种多样，证明手法也是灵活多变，它常常和许多内容相结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途

2、径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。下面就结合不等式教学实际谈谈如何让学生通过不等式的证明这个知识点进行横向扩散和纵向扩散。关键词：不等式 性质 基本不等式 证明School Mathematics Inequalities Abstract Inequality as a tool, is widely applied to various fields of mathematics. Inequality is a mathematics competition in the entrance and the hot topic. Inequalities

3、in many forms, proof of means is flexible, it is often combined with many content, so the specific issues and problems is the essence of Inequality. Inequality problem is also concentrated expression of a variety of ways of thinking, so difficult. The way to solve this problem is to master the natur

4、e of inequality and some basic inequalities, flexible use of common proof. The following inequality for teaching practice with students to talk about how this knowledge through the point of Inequality horizontal proliferation and vertical proliferation.Keywords: Inequality Nature Fundamental inequal

5、ity Prove不等式证明是数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。1、比较法：比较两个式子的大小,求差、求商或过渡比较法都是最基本最常用的方法。1.1求差法：要证不等式ab,只需证明a-b0即可，其步骤为：做差a-b变形(常用变形方法有:通分，因式分解，配方等)判断符号。例1 求证：x2+33x证明：(x2+3)-3x= + 0 x2+33x例2 已知a,bR+，并且ab，求证 a5+b5a3b2+ a2b2证明：(a5+b5)-( a3b2+ a2b2)=( a5- a3b2)-( a2b2- b5)= a3(a2-b2)-b3(

6、a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)a,bR+ a+b0, a2+ab+b20又因为ab,所以（a-b）20(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)0 即(a5+b5)-( a3b2+ a2b2)0a5+b5a3b2+ a2b21.2求商法：当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数式可采用作商比较法。若b0,欲证ab,只需证明a/b1;欲证:ab,只需证明:a/b0,b0,求证:aabb(ab).分析：因两边都是乘积的幂指数运算形式，而a0,b0,故可作商与1比大小.证明： 1）若ab0,则,故1。2）若ba0,则01,1.3）若b=a0,则 =

7、1.综上:a abb(ab).【解后归纳】 本题在判断商与1的大小关系时,使用了指数函数的性质,即：若y=mx(m1),则y1x0;若y=mx(0m1),则y1x0。1.3过渡比较法：若要比较的几个数能与某已知数相比较，则可利用这个已知数作媒介进行比较。例4：比较log0.60.5和0.50.6的大小。分析：log0.60.5的底数大于0而小于1，真数也是大于0而小于1，那么log0.60.50；也是一个大于0的数。针对这样类型的题我们选取的媒介数往往为1或0，而本题我们选取媒介数1就可以进行比较了。解： log0.60.5log0.60.6=1 0.50.6= 1 log0.60.50.50

8、.62、综合法：从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法。用综合法证明不等式的基本思路是：找一个基本不等或已知结论作为出发点，进行不等式的变形，最后推出要证明的结论，有的不等式其一边具备某个定理的条件(或变形后具备)，则可以直接由定理推出另一边，从而完成不等式的证明，可见综合法证明不等式是一种“执因导果”的证明方法，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧。例 5 设且求证： 分析： 因所以，即证明，不等式左边含有“”的形式，我们可以创设运用基本不等式。证明： 且又 由不等式的性质，得 3、分析法：证明不等式时

9、，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题。如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。例 6 已知a、bR+，求证：a3+b3a2b+ab2证明：要证明不等式，a3+b3a2b+ab2 只要证：(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b),又a+b0 只要证：a2-ab+b2ab 只要证：a2-2ab+b20 只要证：(a+b) 20 而(a+b) 20显然成立， 原不等式成立，得证。4、换元法：解不等式题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换

10、元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。4.1局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例7 已知(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y20，求证：(3-5 )/2x2+y2 (3 +5 )/2证明：令x2+y2t由(x2-y2+1) 2+4x2y2-x2-y20整理得： (x2+y2) 2-3(x2+y2)+1-4x2 (x2+y2

11、) 2-3(x2+y2)+10 t2-3t+10，解之得：(3-5 )/2t(3 +5 )/2 (3-5 )/2x2+y2(3 +5 )/2得证4.2三角换元 应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。例8 已知(x-1)2+(y+2) 225，求证：-286x-8y72证明：x-1tsin，y+2tcos；其中0t5则6x-8y6 tsin-8tcos+22 10tsin(-arctan3/4)+22 又-10t10tsin(-arctan3/4)10t，0t5 -5010tsin(-arctan3/4)50 -2810tsin(-arcta

12、n3/4)+2272 -286x-8y72得证4.3 均值换元:常见是均值不等式有如下几种：1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an)2、几何平均数：Gn=(a1a2.an)(1/n)=n次(a1*a2*a3*.*an)3、算术平均数：An=(a1+a2+.+an)/n4、平方平均数：Qn= (a12+a22+.+an2)/n这四种平均数满足HnGnAnQn，a1、a2、 、anR +，当且仅当a1=a2= =an时取“=”号例 9 已知x-1(y+1)/2(z-2)/3，求证：x2+y2+z259/14证明：设x-1(y+1)/2(z-2)/3k， 则xk+1，y2k-1

13、，z3k+2 x2+y2+z2(k+1) 2+(2k-1) 2+( 3k+2) 2 14k2+10k+614(k2+5k/7)+6 14(k+5/14) 2+59/1459/14 x2+y2+z259/14得证5、反证法：对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即先假定要证不等式的反面成立，然后推出与已知条件（或已知真命题）和矛盾的结论，从而断定反证假定错误，因而要证不等式成立。这种方法叫做反证法。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步 作出与所证不等式相反的假定；第三步 从条件和假定出发，应

14、用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。例10 设0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,则三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 与矛盾原式成立6、放缩法：所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。放缩法的常

15、见技巧：（1）舍掉（或加进）一些项。（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩。（4）应用函数的单调性进行放缩。（5）根据题目条件进行放缩。例11 已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以7、数学归纳法：数学归纳法证明不等式的典型类型有两类，一类是与数列或数列求和有关的问题，另一类是函数迭代问题。凡是与数列或数列求和有关的问题都可统一表述成 的形式或近似于上述形式例11 观察下面两个数列，从第几项起an始终小于bn？证明你的结论。an=n2：1，4，9，16，25，36，49，64，81，；bn2n：2，4，8，16，32，64，128，256，512，；分析：

16、由数列的前几项猜想，从第5项起ann，即n22n (nN+，n5)。用数学归纳法证明上述猜想时，第（1）步应证明n5的情形。证明：（1）当n5时有5225,命题成立。(2)假设当n=k(k5)时命题成立,即有k22k.当n=k+1时,因为(k+1)2= k2+2k+1 k2+3k k2+ k2=2 k222k=2k+1所以(k+1)22k+1,即当n=k+1时命题成立.由(1)(2)可知, n22n (nN+，n5)。8、柯西不等式证明法:柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。Cauchy不等式的形式化写法就是： 例12 设a、b、c

17、 为正数且各不相等。求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)9/(a+b+c)分析：a 、b 、c 均为正数 为证结论正确只需证：2*(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)9 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b) 又 9=(1+1+1)(1+1+1)证明： 2(a+b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)= (a+b)+(a+c)+(b+c)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)XYMoAB图（）(1+1+1)(1+1+1)=9又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立原不等式成立。9、利用几何法证明不等式:在某些不等

18、式中，若能根据不等式的结构特点，挖掘出问题蕴含的几何意义，构建恰当的图形或模型，便可以找到较为简便的解法。例13设解：如图（），设点，的坐标为（b1 ,a1）,(b2,a2),则线段的中点为 ，显然，分别是直线，的斜率，而直线夹在直线，之间，则有10、中值定理定理法利用中值定理（罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应用条件，可将原不等式通过变形找到一个辅助函数，使其在所给区间上满足中值定理的条件，证明的关键是处理好点，分析函数或其导数在该点的性质即可得到所要结论，在证明过程中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。例1 设e

19、AB4e2(b-a)。解：对函数ln2x在a, b上应用拉格朗日中值定理，得ln2b-ln2a=2ln(b-a)，ae时，(x)(e2)，即ln lne2e2=2e2，故ln2b-ln2a4e2(b-a)。 也可利用函数的单调性证明，可设(x)=ln2x-4e2x例2 设不恒为常数的函数f(x)在闭区间a ,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，证明在（a ,b）内至少存在一点，使得f()0。 解：因f(x)不恒为常数且f(a)f(b)，故至少存在一点c(a, b),使得f(c)f(a)=f(b)。 若f(c)f(a)则在a ,c上f(x)满足拉格朗日中值定理条件，因此至少

20、存在一点(a ,c)(a ,b)，使得f()=1c-af(c)-f(a)0。11、利用辅助函数的单调性证明辅助函数方法比较常用，其主要思想是将不等式通过等价变形，找到一个辅助函数，通过求导确定函数在所给区间上的单调性，即可证明出结论。常用的方法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，另不等号右端为零，左端即为所求辅助函数。例3 试证：当x0时，(x2-1)ln x(x-1)2。 解：设f(x)=(x2-1)ln x-(x-1)2，易知f(1)=0。 又f(x)=2xlnx-x+2-1x，f(1)=0, f(x)=2lnx+1+1x2,f(1)=20 f(x)=2(x2-1)x3可见，当0X0；当

21、1x0，因此有当0X0。又由f(1)=0及f(x)是单调增加的函数推知，当0X1时，F′(X)0；当1X0，因此进一步有f(x)f(1)=0(0X0时，(x2-1)ln x(x-1)2。例4 设bae， 证明a bb a。 分析：要证a bb a，只需证b ln aa ln b或ln a aln bb 解一：令f(x)=x ln a-a ln x(x a),因为f(x)=ln a-ax1-ax0(x a) 所以f(x)在x a时单调增加。因此当ba时，有f(b)f(a)=0，即有b ln a a ln b， 也即 a bb a 解二：令f(x)=ln x x , xe,则有f(x)

22、=1-lnxx2e)，因此f(x)单调减少，故当bae时，有ln a a ln bb即a bb a。12、利用泰勒展开式证明泰勒展开式的证明常用的是将函数f(x)在所给区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点）进行展开，通过分析余项在点的性质，而得出不等式。另外若余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不等式。例5 设f(x)在0，1上具有二阶可导函数，且满足条件|f(x)|a,|f(x)|b,其中a,b都是非负常数，c是（0，1）内任意一点，证明|f(x)|2a+b2 。 分析: 已知f(x)二阶可导，应考虑用二阶泰勒展开式。本题涉及证明|f(x)|2a+b2，应在特定点x=c处将f(x

23、)按泰勒公式展开。解： 对f(x)在x=c处用泰勒公式展开，得 f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+f()2!(x-c)2（1） 其中=c+(x-c),01，在（1）式中令x=0，有 f(0)=f(c)+f(c)(0-c)+f()2!c2, 01C1 在（1）式中令x=1，有f(1)=f(c)+f(c)(1-c)+f()2!c2, 0CΞ21 上述两式相减得 f(1)-f(0)=f(c)12! f(2)(1-c)2-f(1)c2, 于是|f(c)|=|f(1)-f(0)-12 f(2)(1-c)2-f(1)c2| |f(1)|+|f(0)|+12|f(2)| (1-c)2+12 |f(1)|c2 2a+b2(1-c)2+c2, 又因当c(0,1)时，有 (1-c)2+c21 故 |f(c)|2a+b2 因这里与x有关，可将其记为(x)，那么当令x分别取0和1时，对应的可分别用1和2表示。以上归纳的十二种证明不等式的方法，在中学不等式的证明当中灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。我们要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。除了上述方法，我们还可以通过构造函数、方程