静定结构的内力计算

1、 如下所示结构在竖向如下所示结构在竖向 荷载作用下，水平反力荷载作用下，水平反力 等于零，因此它不是拱等于零，因此它不是拱 结构，而是曲梁结构。结构，而是曲梁结构。 下面所示结构在竖向荷下面所示结构在竖向荷 载作用下，会产生水平反载作用下，会产生水平反 力，因此它是拱结构。力，因此它是拱结构。 曲梁曲梁FPFP三铰拱三铰拱拱式结构：拱式结构：指的是在竖向荷载作用下，会产生水指的是在竖向荷载作用下，会产生水 平推力的结构。通常情况下它的杆轴线是曲线的。平推力的结构。通常情况下它的杆轴线是曲线的。拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。 拱结构的优缺点：

2、拱结构的优缺点： a a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯 矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就 可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度。可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度。 b b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用 抗抗 拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。 c c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因 此它需要更坚固的基

3、础或下部结构。同时它的外形此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形 复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大 。拱各部分的名称：拱各部分的名称： L跨度（拱趾之间的水平距离）跨度（拱趾之间的水平距离） f/L高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这 个值控制在个值控制在11/10 ） f矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离）矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离） 拱拱趾趾拱拱顶顶fL起拱线起拱线拱高拱高常见的拱式结构有：常见的拱式结构有：两铰拱两铰拱三铰拱三铰拱带拉杆三铰拱带拉杆三铰拱无铰拱无铰拱FP

4、3FP 2FP 1kCBAkykxkCBAfb3a3b2a2LLb1a1L2L1LFP 3FP 2FP 1 在研究它的反力、在研究它的反力、 内力计算时，为了便于内力计算时，为了便于 理解，始终与相应的简理解，始终与相应的简 支梁作对比。支梁作对比。1 1）支座反力的计算）支座反力的计算 0BM 0PiiYAYAF bFFL0AM0PiiYBYBF aFFL取左半跨为隔离体：取左半跨为隔离体： 0CM01111212YAPPCFLFLaFLaMHffFP 3FP 2FP 1kCBAkykxkCBAfb3a3b2a2LLb1a1L2L1LFP 3FP 2FP 1 由前面计算可见：由前面计算可见：

5、 三铰拱的竖向反力与相应简支梁的相同，水平三铰拱的竖向反力与相应简支梁的相同，水平反力等于相应简支梁反力等于相应简支梁C C点的弯矩除以拱高点的弯矩除以拱高f f。H H与与f f成反比，成反比，f f越小，越小，H H越大，越大，f f越大，越大，H H越小。也就是越小。也就是说：说：f f越小，拱的特性就越突出。越小，拱的特性就越突出。 2 2）弯矩计算）弯矩计算 求拱轴线上任意点求拱轴线上任意点k的弯矩，的弯矩， 为此取为此取Ak为隔离体：为隔离体： MkFQ kFY AkFP 1MKFQ kFN kHFY AFP 1k0kM 11kYAkPkkMF xFxaHy3 3）剪力计算）剪力计

6、算 求拱轴线上任意点求拱轴线上任意点k的剪力，的剪力， 同样以同样以Ak为隔离体：为隔离体：01QkYAkkPkFF CosHSinF Cos1YAPkkFFCosHSin0QkQkkkFF CosHSin相应简支相应简支 梁的剪力梁的剪力4 4）轴力计算）轴力计算 求拱轴线上任意点求拱轴线上任意点k k的剪力，的剪力， 同样取同样取AkAk为隔离体：为隔离体： MkFQ kFY AkFP 1MKFQ kFN kHFY AFP 1k01NkYAkkPkFF SinHCosF Sin 1YAPkkFFSinHCos 0NkQkkkFF SinHCos 三铰拱内力计算公式：三铰拱内力计算公式： 0

7、kkkMMHy0QkQkkkFF CosHSin0NkQkkkFF SinHCos 例例1：图示三铰拱的拱轴线方程为：图示三铰拱的拱轴线方程为： 24()fyLx xL请求出其请求出其D点处的内力。点处的内力。 20kN/m100kNDBCA3m3m6myx4m解：解：a、求反力、求反力 0BM(20 6 3 100 9)/12105YAFkN 0Y 10020 6 105115YBFkN 105 6 100 382.54HkN 先求计算参数：先求计算参数： b、求、求D点的内力点的内力 2443(123) 3312DDxmym22444(2 )(122 3)0.66712DdyftgLxdx

8、L33 420.8320.555DDDCosSin求弯矩：求弯矩：左左左左CFY AHFN CFQ CMC0105 382.5 367.5DDDMMHykN m 求剪力：求剪力： 由于由于D点处有集中力作用，简支梁的剪力有突变，点处有集中力作用，简支梁的剪力有突变， 因此三铰拱在此处的剪力和轴力都有突变。因此三铰拱在此处的剪力和轴力都有突变。 左左左左CFY AHFN CFQ CMC0QDQDDDFFCosHSin左左105 0.83282.5 0.55541.6kN0NDQDDDFFSinHCos 左左105 0.55582.5 0.832127kN 1 0 0 k NMCFQ CFN CH

9、FY AC右右右右0QDQDDDFFCosHSin右右(105 100) 0.83282.5 0.55541.6kN 0NDQDDDFFSinHCos 右右(105 100)0.55582.5 0.83271.4kN 三、三铰拱的合理拱轴三、三铰拱的合理拱轴已知：已知： 0kkkMMHy00kkkMMHy令：令：有：有：0/kkyMH 为了充分利用材料的潜力，应设法减小拱截面上为了充分利用材料的潜力，应设法减小拱截面上的弯矩，以使其处于均匀受压状态。的弯矩，以使其处于均匀受压状态。 最理想的情况是使拱轴上所有截面弯矩均为零，最理想的情况是使拱轴上所有截面弯矩均为零，只有轴力，该拱轴线称为只有轴

10、力，该拱轴线称为合理拱轴线合理拱轴线。例：求图示对三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。例：求图示对三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线。 qLfABC 解：解： 021122kMqLxqx02222248CMqLLqLHffqLf2214()()28qLfqx LxLx xfL0/kkyMH 由上可见：在均布荷载作用下，三铰拱的合理由上可见：在均布荷载作用下，三铰拱的合理 拱轴线是一抛物线。拱轴线是一抛物线。 上弦下弦斜杆竖杆 N N节间桁架是由若干直杆在其两端用铰连接而成的结构，桁架是由若干直杆在其两端用铰连接而成的结构，是大跨度结构常用的一种结构形式。是大跨度结构常用的一种结构形式。计算简图

11、桁架基本假定桁架基本假定: :理想桁架理想桁架: : 各杆只受轴力各杆只受轴力, ,称其为理想桁架。称其为理想桁架。上下弦杆承受梁中的弯矩上下弦杆承受梁中的弯矩, ,腹杆腹杆( (竖杆和斜杆竖杆和斜杆) )承受剪力。承受剪力。由理想桁架计算得到内力是实际桁架的由理想桁架计算得到内力是实际桁架的主内力主内力。 a a、所有的结点都是理想的铰结点；、所有的结点都是理想的铰结点； b b、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心； c c、荷载与支座反力都作用在结点上、荷载与支座反力都作用在结点上。 武汉长江大桥的主体桁架结构钢筋混凝土屋架锥形桁架筒承力结构 美国芝加哥的

12、约翰汉考可大楼 转换层桁架传力结构 上海锦江饭店新楼 1 1、简单桁架：、简单桁架：由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加二元体所组成的桁架。2 2、联合桁架：、联合桁架：由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的桁架。3 3、复杂桁架：、复杂桁架：不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何不变性往往不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法无法用两刚片及三刚片组成法则加以分析，需用零荷载法等予以判别。等予以判别。 取单结点为分离体，取单结点为分离体，其受力图为一平面汇其受力图为一平面汇交力系。交力系。 它有两个独它有两个独立的平衡方程。

13、立的平衡方程。 为避免解联立方程为避免解联立方程,应从未知力不超过两应从未知力不超过两个的结点开始计算。个的结点开始计算。AA1 1） 结点法结点法解：解： 1 、整体平衡求反力、整体平衡求反力 X=0 H=0 M80 , V1=80kN Y=0 , V8=100kNH=0V1=80kNV8=100kN2、求内力、求内力180kNN12N13Y13X13Y=0 ， Y13=80，由比例关系得X13=80 3 /4 =60kNN13 =80 5 /4 =100kNX=0 ， N12=60，1006080606040304050依次考虑5、4、6、7的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。熟练之后

14、可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。-90-90075152025807510075125例例 试求桁架各杆内力3m4=12m4m1234567840kN60kN80kN 取结点140kN60kNN24N23取结点2X=0 ， N24=60，Y=0 ， N23=40，-60-80 40N35X34Y34N34取结点3Y=0 ， Y34=8040=40，X34=40 3 /4 =30，N13 =40 5 /4=50X=0 ， N35= 60 X34= 90。15751008020901007510075Y=80+20100=0，X=907515=0。Y=100100=0，X=7575

15、=0。 L型结点型结点0X0Y10NF20NFFN1FN2判断零杆判断零杆 桁架中有时会出现轴力等于零的杆件，称为桁架中有时会出现轴力等于零的杆件，称为零杆零杆。计算前应先进行零杆的判断，这样可以简化计算。计算前应先进行零杆的判断，这样可以简化计算。零杆判断的方法如下：零杆判断的方法如下： 不共线的两杆结点。无荷载时两杆均为零杆；当荷载沿一根杆不共线的两杆结点。无荷载时两杆均为零杆；当荷载沿一根杆的方向作用时，另一杆为零杆。的方向作用时，另一杆为零杆。 T型结点型结点0Y10NF X型结点型结点 0X12NNFF0Y34NNFFFN1FN4FN3FN2FN1三杆汇交的结点，其中两杆共线。结点上

16、无荷载时，第三三杆汇交的结点，其中两杆共线。结点上无荷载时，第三杆为零杆。杆为零杆。四杆结点两两共线，结点上无荷载时，共线两杆轴力相等四杆结点两两共线，结点上无荷载时，共线两杆轴力相等且性质相同。且性质相同。 X型结点型结点 四杆结点，其中两杆共线，另两杆在该直线同侧且交角相四杆结点，其中两杆共线，另两杆在该直线同侧且交角相等，当结点上无荷载时，不共线两杆轴力相等，其一为拉等，当结点上无荷载时，不共线两杆轴力相等，其一为拉力，另一为压力，共线两杆轴力不等；若该结点在对称轴力，另一为压力，共线两杆轴力不等；若该结点在对称轴上，则不共线的两杆为零杆，共线两杆轴力相等，性质相上，则不共线的两杆为零杆

17、，共线两杆轴力相等，性质相同。同。N1 N2=N1N3 N42 2）截面法）截面法取桁架中包含两个或两个以上结点的部分为分离体取桁架中包含两个或两个以上结点的部分为分离体, ,其受其受力图为一平面任意力系力图为一平面任意力系, ,可建立三个独立的平衡方程。可建立三个独立的平衡方程。例：求指定三杆的内力PPN1N2N3DCh2aa16ah23PPACDPP由 MD=2aP+N1h=0得N1=2Pa/h由 MC=3aPPa3h=0得 N3=2Pa/h由 Y=Y2+PP=0得 Y2=0 N2=0单独使用结点法或截面法有时并不简洁。为了寻找有效的解题途径，必须不拘先后地应用结点法和截面法。那就是要注意

18、：选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到计算目标；选择合适的截面，即巧取分离体，使出现的未知力较少。选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴，并注意列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含一个未知力。3 3） 结点法与截面法的联合应用结点法与截面法的联合应用 解：解：a、求反力、求反力 0AM3344PPYBFdFFdh/2 h/24dFPkbannBA0Y 344PPYAPFFFF例：计算图示例：计算图示K K字型桁架中字型桁架中a a、b b杆的力。杆的力。 b、求内力、求内力 取取k结点为隔离体：结点为隔离体： 0X NaNbFF作作n-n截面，取左半部分：截面，取左半部分： 0Y 24PNaFF Sin8PNaNbFFFSinFN bFN ak一、静定结构解答的唯一性：一、静定结构解答的唯一性：满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯一解答。满足全部平衡条件的解答是静定结构的唯一解答。二、静定结构中温度改变、支座移动、制造误差二、静定结构中温度改变、支座移动、制造误差及材料收缩等均不会引起内力和反力。及材料收缩等均不会引起内力和反力。t CCD 三、静定结构的内力与结构的材料、构件的截面三、静定结构的内力与结构的材料、构件的截面形状和尺寸无关。形状和尺寸无关。四、当平衡力系加在静定结构的某一内部几何不四、当平衡力系加在静定结构的某一内部几何不变部分时，结构中只有该部分受