关于实数完备性的基本定理

1、说明: 定义 定义表明构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即闭区间的端点满足不等式:,具有如下性质设闭区间列nnba;, 2 , 1,)(11L=+nbabainnnn, 0)(lim)(=-nnnabii.,简称区间套为闭区间套则称nnba.1221bbbaaannLLL一 区间套定理 定理 (区间套定理) 定理的几何意义 区间套定理的几何意义是:有一列闭线段(两个端点也属于此线段),后者被包含在前者之中,并且这些闭线段的长构成的数列以0为极限,则这一列闭线段存在唯一一个公共点,x的一点则在实数系中存在唯一是一个区间套若，bann., 2 , 1,L=nbannx使得., 2 , 1,L

2、=nbannx即x定理的证明 ，an为递增有界数列由区间套定义知 ，a，nx有极限依单调有界定理., 2 , 1L=，nanx且有 有并按区间套的条件也有极限递减有界数列同理)(ii，b，n,limlimx=nnnnab., 2 , 1L=，nbnx且., 2 , 1L=，nbannx从而有.是唯一的的下面证明满足题设条件x, 2 , 1,L=nbannxx也满足设., 2 , 1,L=-nabnnxx则得由区间套定义)(ii, 0)(lim=-nnnabxx则.xx=故有证毕.推论是闭区间套若), 2 , 1(,=nbax,nnba则所确定的点，).;(, 0 xUbaNnNNnn+有说明:

3、区间套中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理结论的成立.二 聚点定理 定义 设 为数轴上的点集, 为定点,(它可以属于 ,也可以不属于SxSS若 的任何邻域内都含有 中无穷多个点,则称 为 的聚点.SSxx说明: 聚点概念和下面两个定义等价: 对于点集 , 若点 的任何 邻域都含有 中异于 的点,即 ,则称 为 的聚点.SSSxxx,);(x。U说明: 若存在各项互异的收敛数 ,则其极限 称为 的聚点. Sxnx=nnxlimSM-M,b,aM,-M,S0,M，S11=记使得故为有界点集因定理 (Weierstrass聚点定理) 实轴上任一有界无限点集 至少有一个聚点.S定理的证明故两个区间中

4、至少为无限点集因等分为两个区间现将，S，b,a11则记此子区间为中无穷多个点有一个含有,b,a，S22.)(21,b,ab,a11222211Mabab=-=-且中间含有则其中至少有一个子区等分成两个子区间将S，b,a22则记其为无穷多个点,b,a，33.2)(21,b,ab,a22333322Mabab=-=-且满足则得区间列无限进行,，nnba, 2 , 1,b,ab,a1n1nnnL=+n),(, 021=-nMabnnn.S，b,ann中无穷多外点有且其中每个闭区间都含是区间套即，由区间套定理及推论).;(, 0, 0, 2 , 1, b,annxxUbaNnNnnn=有L，S);U(

5、中无穷多个点内含有即x. S的一个聚点为从而x证毕.推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.三 有限覆盖定理 定义 若 中开区间的个数是无限(有限)的, 则称 为 的一个无限(有限)开覆盖.SHH 设 为数轴上的点集, 为开区间的集合,(即 的每一个元素都是形如 的开区间).若 中任何一点都含在至少一个开区间内,则称 为 的一个开覆盖,或简称 覆盖 .SHSHHHSS),(定理 (Heine-Borele 有限覆盖定理) 设 为闭区间 的一个(无限)开覆盖,则从 中可选出有限个开区间来覆盖 .HH,ba,ba定理的证明中有限个即不能用假设定理的结论不成立用反证法H，.,ba开区间来覆盖H，b

6、a间不能用则其中至少有一个子区等分为两个子区间将,则记其为中有限个开区间来覆盖,.11ba).(21,11,11ababbaba-=-且它满足则得到一个闭区间列不断进行下去,nnba，区间不能用同样其中至少有一个子等分为两个子区间将，ba,11则记其为中有限个开区间来覆盖,.22baH).(21,222,1122ababbaba-=-且, 2 , 1,11L=+nbabannnn).(0)(21-=-nababnnn中有限个不能用且其中每一个闭区间都是区间套即H，bann,由区间套定理有限个开区间来覆盖，的一个开覆盖是由于, 2 , 1,baHnbannL=x于是由区间套定理推论使故),(,)

7、,(xH).,(,nnban充分大时有当，Hbann就能覆盖中的一个开区间只须用这表明),(,.”“,矛盾中有限个开区间来覆盖不能用时的假设与挑选Hbann.,baH的有限个开区间能覆盖从而证得必存在属于四 小结 (1) 区间套的概念;(2) 区间套定理;(3) 聚点的概念;(4) Weierstrass聚点定理;(5) 开覆盖的概念;(6) Heine-Borel有限覆盖定理;五 作业 P168: 1, 2, 3, 5, 6.一 有界性定理 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有界.ff,ba,ba证明: ，性由连续函数的局部有界使得0),;(,xxMxUbax.,);()(baxUxMxf

8、xx,);(baxxUHx=考虑开区间集，baH由有限覆盖定理的一个无限开覆盖是显然, 2 , 1,);(kibaxxUHHiiiL=的一个有限子集存在(应用有限覆盖定理证明)., 2 , 1)(.,);(kiMxfbaxUxiiiL=有ikiMM=1max令.)();(,MMxfxUxbaxiii必属于某则.,上有界在从而baf二 最大最小值定理 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上有最大值和最小值.ff,ba,ba证明: 使得且存在正数覆盖了,21KMMM，baL(应用确界原理证明)，bafbaf有上确界故由确界原理上有界在由于已证得),(,.,.M记为.)(,:Mfba=xx使以下证明令

9、都有假设,)(,Mxfbax.,)(1)(baxxfMxg-=，gG，baxg，baxg的一个上界是设上有界在故上连续在则,)(,)(.,)(1)(0baxGxfMxg-=则.,1)(baxGMxf-从而推得.)(),(相矛盾最小上界的上确界为这与bafM.,.)(,上有最大值在即使所以必bafMfba=xx.,上有最小值在同理可证baf三 介值性定理 设函数 在闭区间 上连续,且 ,若 为介于 和 之间任何实数, 则存在 , 使得 . f=)(0 xf,ba),(0bax )()(bfaf)(af)(bf证明: (应用区间套定理证明),)()(),()(-=xfxgbfaf令不妨设0)(,

10、0)(,bgag，bag且上的连续函数是则).(0)(),(00根的存在性定理使得即证=xgbax;, 0)(,即为所求则若与等分为两个子区间将ccg，bccaba=，cabacgcg,0)(, 0)(11=时记则当若，bcbacg,0)(11= 时记当).(21, 0)(0)(111111abab，babab，gag-=-且则有:,11得到重复上述过程出发再从，ba, 0)(,1111=cgcba上有的中点或者在且上满足或者在, 0)(, 0)(,2222bgagba:将出现两种情形去将上述过程不断进行下，).(21,2221122ababbaba-=-;, 0)()(即为所求则上有在某一区

11、间的中点iiiccgci=, 0)()(nniibacgcii则得到闭区间列上均有在任一区间的中点且满足, 0)(. 0)(nnbgag., 2 , 1,0L=nbax，由区间套定理. 0)(0=xg下证由局部保号性不妨设假设, 0)(. 0)(00 xgxg, 0)(),;(00 xgxU使在其内有),;(,0 xUban，nn充分大时有当由区间套定理推论.0)(,矛盾选取时这与nnnagba. 0)(nag因而有. 0)(0=xg故必有., 2 , 1),(21,11L=-=-+nabab，babannnnnnn四 一致连续性定理 若函数 在闭区间 上连续,则 在 上一致连续.ff,ba,ba证明: (应用有限覆盖定理证明)上的连续性在由,baf时有当);(, 0, 0 xxxUxbax.)()(-xfxf,)2,(baxxUHx=考虑开区间集合由在限覆盖定理的一个开覆盖是显然，baH, 2 , 1)2,(kixUHHiiL=的一个有限子集存在. 02min.,1=ikkba记覆盖了，Hxxxbaxx中某个开区间必属于- ,此时有即设，xxxUxii